武进区礼嘉中学 数学组：吴志凌

椭圆的定义？焦点？焦距？ 平面内到两个定点 F1 ， F2的距离的和等于常数 ( 大于 F1F2 )的点的轨迹——椭圆

两个定点 F1 ， F2—— 椭圆的焦点两焦点间的距离——椭圆的焦距

汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆．

它们是椭圆？

地球绕太阳运动的轨迹像椭圆．

它是椭圆吗？

将一个圆进行均匀压缩变形后，所得的图形也像椭圆．

问题 1 ：它们是不是数学概念上 的椭圆？怎样来检验所 得的曲线是不是椭圆？

问题 2 ：如何建立椭圆的方程？

y

xO

),( yxP

r

设圆上任意一点 P(x ， y)

以圆心 O 为原点，建立直角坐标系

rOP ryx 22

两边平方，得 222 ryx

1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标坐标法 坐标法

5.化简方程

椭圆方程的建立：步骤 1 ：建立直角坐标系步骤 2 ：设动点坐标步骤 4 ：代入坐标步骤 5 ：化简方程步骤 3 ：列等式

设椭圆的两个焦点分别为 F1 ， F2 ，它们之间的距离为 2c ，椭圆上任意一点 P 到 F1 ， F2 的距离的和为 2a(2a>2c) ．

P

F1 F2

以 F1 ， F2 所在直线为 x 轴，线段F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则 F1 ， F2 的坐标分别为 ( －c ， 0) ， (c ， 0) ．

步骤 1 ：建立直角坐标系

x

y

O

P

F1 F2

设椭圆上任意一点 P 的坐标为 (x ， y) ，步骤 3 ：列出等式根据椭圆定义知： PF1 ＋ PF2 ＝ 2a ，

步骤 4 ：代入坐标aycxycx 2)()( 2222 即： ．

步骤 2 ：设动点坐标

步骤 5 ：化简方程

两边再平方得： a4 － 2a2cx ＋ c2x2 ＝ a2x2 － 2a2cx ＋ a2c2 ＋a2y2 ，整理得： (a2 － c2)x2 ＋ a2y2 ＝ a2(a2 －c2) ．

2222 )(2)( ycxaycx 移项得： ，2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

两边平方得： ，222 )( ycxacxa 整理得： ．

步骤 5 ：化简方程因为 a2(a2 － c2) ≠0 ，所以两边同除以 a2(a2 － c2) 得： ，122

2

2

2

ca

yax

又因为 a2 － c2 ＞ 0 ，所以可设 a2 －c2 ＝b2(b ＞ 0) ，于是得： ．)0(12

2

2

2

baby

ax

1F

2F P

X

y

O

acyxcyx 22222 )()(

aPFPF 221 ),0(,),0( 21 cFcF

),( yx

122 ba

2x 2y

)0(12

2

2

2

babx

ay

o

y

x

1F

2F

),( yxP

o

y

x

2F

1F

),( yxP

12

2

2

2

by

ax 12

2

2

2

bx

ay

如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？

(a>b>0)

(a>b>0)

椭圆的焦点位置可由方程中 x2

与 y2 的分母的大小来确定，焦点在分母 大的项所对应的坐标轴上．

练习1 1

925

22

yx

1 ．已知椭圆的方程为 ，则 a=_____ ， b=_______ ， c =_______ ，焦点坐标为 ___________________ ，焦距等 ________ ．

练习 2 1

54

22

yx

2 ．已知椭圆的方程为 ，则 a=_____ ， b =_____ ， c=_____ ，焦点坐标为 __________________ ，焦距等 __________ ．

xO

y

例 1 、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 2.4 m ，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为 3 m ，求这个椭圆的标准方程

F1 F2

P

解：以两个焦点 F1 ， F2 所在的直线为 x 轴，以线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为)0(12

2

2

2

baby

ax

181.025.2

22

yx

根据题意知， 2a=3 ， 2c=2.4 ，即a=1.5 ， c=1.2 。所以 b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81 ，因此椭圆的标准方程为

例 2 、 已知椭圆的焦点为 F1(0 ，－ 6) ，F2(0 ， 6) ，且椭圆过点 P(2 ， 5) ，求椭圆的标准方程．

)0(12

2

2

2

baby

ax )0(12

2

2

2

babx

ay

1 、方程建立的过程：建立直角坐标系 设坐标列等式 代坐标 化简方程

回 顾

2 、根据已知条件求椭圆的标准方程：(1) 确定焦点所在的位置，选择标准方程的形式；(2) 求解 a ， b 的值，写出椭圆的标准方程．

0ba 1by

ax

2

2

2

2

0ba 1bx

ay

2

2

2

2

定 义

图 图

形形

方 程焦 点 F(±c ， 0) F(0F(0 ，， ±c)±c) a,b,c

的关系222 cab

{P|PF1+PF2=2a,2a>F1F2}

1 2

y

oF F

P

x

y

xo

2

F

PF

1

最大中、、 acba

3 、两种标准方程的比较

1. 推导焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程；2. 课本 P32---- 习题 2 ． 2(1)

第 1 题，第 2 题．

课 后作 业