第三章 导数

3.1.1曲线的切线

问题：曲线的切线是与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线吗？

一 .曲线的切线

β

y=f(x)

P

Q

MΔx

Δy

O x

y

βP

y=f(x)Q

MΔx

Δy

O x

y

如图，曲线 C是函数 y=f(x)的图象， P(x0,y0)是曲线 C上的任意一点， Q(x0+Δx,y0+Δy)为 P邻近一点， PQ为 C的割线，

.tan

,,:

x

y

yMQxMP则

.就是割线的斜率表明：x

y

PM//x轴 ,QM//y轴，β为 PQ的倾斜角 .

P

Q

o x

y y=f(x)

割线

切线T

请看当点 Q沿着曲线逐渐向点 P接近时，割线PQ绕着点 P逐渐转动的情况 .

我们发现 ,当点 Q沿着曲线无限接近点 P,即Δx→0时 ,若割线 PQ有一个极限位置 PT.则我们把直线 PT称为曲线在点 P处的切线 . 设切线的倾斜角为 α,那么当 Δx→0时 ,割线PQ的斜率 ,称为曲线在点 P处的切线的斜率 .

即 :x

xfxxf

x

yk

xx

)()(limlimtan 00

00切线

这个概念 :①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 ;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限 .注：（ 1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限 （ 2）若割线在 P点有极限位置，则在此点有切线 ,且切线是唯一的 ;如不存在 ,则在此点处无切线 ; （ 3）曲线的切线 ,并不一定与曲线只有一个交点 ,可以有多个 ,甚至可以无穷多个 .

（ 3）曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗？

求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步：

（ 1）求⊿ y；

并整理；求x

y

)2(

；求x

yx

0lim)3(

求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率，然后利用点斜式求切线方程 .