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第三节 高阶导数. 一、高阶导数的定义 二、高阶导数求导举例. 一、高阶导数的定义. 引例 变速直线运动的加速度. 定义. 记作. 二阶导数的导数称为三阶导数 ,. 三阶导数的导数称为四阶导数 ,. 二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数. 二、 高阶导数求法举例. 例 1. 解. 例 2. 解. 例 3. 解. 例 4. 解. 同理可得. 高阶导数的运算法则 :. 莱布尼兹公式. 例 6. 解. 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率. 一、隐函数的导数 二、对数求导法 - PowerPoint PPT Presentation
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第三节 高阶导数• 一、高阶导数的定义• 二、高阶导数求导举例
一、高阶导数的定义引例 变速直线运动的加速度 .
.
),(
a
tfs
求加速度，其位移函数为一物体做变速直线运动设
) ( ) ( ,
), (
t f t v
t f s
瞬时速度 由导数的物理意义知位移函数为
的变化率对时间是速度加速度 tva.])([)()( tftvta
定义
.)())((,
)()(lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在
即处可导在点的导数如果函数
xxfxfx
xfxxfxf
xxfxf
x
记作 .)(
,),(2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或
记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf
.)(
,),( )()(
n
n
n
nnn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数 ,
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 .
.)(;)(, 称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf
.,),(3
3
dx
ydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数 ,
.,),(4
4)4()4(
dx
ydyxf
二、 高阶导数求法举例
例 1 ).0(),0(,1
1)(
2ff
xxf
求设
解 )1
1()(
2
xxf
22 )1(
2
x
x
))1(
2()(
22
x
xxf
32
2
)1(
)13(2
x
x
022 )1(
2)0(
xx
xf 032
2
)1(
)13(2)0(
xx
xf;0 .2
例 2 .),( )(nyRxy 求设
解 1 xy
)( 1 xy 2)1( x
32 )2)(1())1(( xxy
)1()1()1()( nxny nn
则为自然数若 ,n
)()( )( nnn xy ,!n )!()1( ny n .0
例 3 .),1ln( )(nyxy 求设
解x
y
1
12)1(
1
xy
3)1(
!2
xy
4)4(
)1(
!3
xy
)1!0,1()1(
)!1()1( 1)(
nx
ny
n
nn
例 4 .,sin )(nyxy 求设
解 xy cos )2
sin(
x
)2
cos(
xy )22
sin(
x )2
2sin(
x
)2
2cos(
xy )2
3sin(
x
)2
sin()( nxy n
)2
cos()(cos )( nxx n同理可得
高阶导数的运算法则 :
则阶导数具有和设函数 ,nvu)()()()()1( nnn vuvu
)()()()2( nn CuCu
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(!2
)1()()3(
kknn
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvuk
knnn
vunn
vnuvuvu
莱布尼兹公式
例 6 ., )20(22 yexy x 求设
解 则由莱布尼兹公式知设 ,, 22 xveu x
0)()(!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
xe
xexey
x
xx
22!2
1920
22202
218
2192220
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 xxe x
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
• 一、隐函数的导数• 二、对数求导法• 三、由参数方程所确定的函数的导数• 四、相关变化率
一、隐函数的导数
隐函数求导法则 :
用复合函数求导法则直接对方程两边求导 .
例 1
.,
0
0
x
yx
dx
dy
dx
dyy
eexy
的导数
所确定的隐函数求由方程
解 ,求导方程两边对x
0dx
dyee
dx
dyxy yx
解得 ,y
x
ex
ye
dx
dy
,0,0 yx由原方程知
000
yxy
x
x ex
ye
dx
dy.1
例 2 .)32
3,2(,1
916
22
处的切线方程在点求椭圆 yx
解 ,求导方程两边对x 09
2
8 y
yx
4
3
16
9
)32
3,2()3
2
3,2(
y
xy
所求切线方程为 )2(4
33
2
3 xy
.03843 yx即
例 3 .)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx
解 求导得方程两边对x
)1(044 33 yyyxyx
得代入 1,0 yx ;4
1
10
yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 yyyyyxyx
得4
1
10
yxy,1,0 yx代入 .
16
1
10
yxy
二、对数求导法
观察函数 .,)4(
1)1( sin2
3x
xxy
ex
xxy
方法 :先在方程两边取对数 , 然后利用隐函数的求导方法求出导数 .
-------- 对数求导法适用范围 :
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
一般地)0)(()()( )( xuxuxf xv
)()(
1)(ln xf
dxd
xfxf
dxd
又
)(ln)()( xfdxd
xfxf
])(
)()()(ln)([)()( )(
xuxuxv
xuxvxuxf xv
)(ln)()(ln xuxvxf
例 4
解
]24
2
)1(3
1
1
1[
)4(
1)1(2
3
xxxex
xxy
x
等式两边取对数得xxxxy 2)4ln(2)1ln(
3
1)1ln(ln
求导得上式两边对 x
24
2
)1(3
1
1
1
xxxy
y
.,)4(
1)1(22
3
yex
xxy
x
求设
例 5
解
.),0(sin yxxy x 求设
等式两边取对数得 xxy lnsinln
求导得上式两边对x
xxxxy
y
1sinlncos
1
)1
sinln(cosx
xxxyy
)sin
ln(cossin
x
xxxx x
三、由参数方程所确定的函数的导数
.
,)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xyty
tx
,0)(,)(),( ttytx 且都可导设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy
dt
dxdt
dy 1
)()(tt
dtdxdtdy
dxdy
即
,)(
)(二阶可导若函数
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd
dx
dt
t
t
dt
d)
)(
)((
)(1
)()()()()(
2 tttttt
.)(
)()()()(32
2
t
tttt
dx
yd
即
例 6
解
dt
dxdt
dy
dx
dy
tt
cos1sin
taa
ta
cos
sin
2cos1
2sin
2
tdx
dy.1
.方程
处的切线在求摆线2)cos1(
)sin(
ttay
ttax
.),12
(,2
ayaxt 时当
所求切线方程为
)12
(
axay
)2
2(
axy即
例 7
解.)2(
;)1(
,21
sin
,cos
,
,,
0
0
2
0
0
0
的速度大小炮弹在时刻
的运动方向炮弹在时刻求
其运动方程为发射炮弹
发射角以初速度不计空气的阻力
t
t
gttvy
tvx
v
x
y
o
v
xv
yv
0v
.
,
)1(
0
0
可由切线的斜率来反映
时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在t
t
)cos(
)2
1sin(
0
20
tv
gttv
dx
dy
cossin
0
0
vgtv
.cos
sin
0
000
v
gtv
dx
dytt
轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt ,)2( 0
00)cos( 0 ttttx tv
dt
dxv cos0v
00)
2
1sin( 2
0 tttty gttvdt
dyv 00 sin gtv
时刻炮弹的速度为在 0t22yx vvv 2
0
2
00
2
0 sin2 tggtvv
例 8
解
.sin
cos3
3
表示的函数的二阶导数求由方程
tay
tax
dt
dxdt
dy
dx
dy
)sin(cos3
cossin32
2
tta
tta
ttan
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd
)cos(
)tan(3
ta
ttta
tsincos3
sec2
2
tat
sin3sec4
四、相关变化率
.
,
,
,)()(
变化率称为相关变化率
这样两个相互依赖的之间也存在一定关系
与从而它们的变化率之间存在某种关系
与而变量都是可导函数及设
dtdy
dtdx
y
xtyytxx
相关变化率问题 :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率 ?
例 9
解?
,500./140,
500
率是多少观察员视线的仰角增加米时当气球高度为秒米其速率为上升
米处离地面铅直一汽球从离开观察员
则的仰角为观察员视线其高度为秒后设气球上升
,
,,
ht
500tan
h
求导得上式两边对 tdtdh
dtd
5001
sec2
,/140 秒米dt
dh 2sec,500 2 米时当 h
)/(14.0 分弧度仰角增加率为
dt
d
米500
米500
