論理回路第２回

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今日の内容• 前回の課題の説明• 数の体系– 数の表現– 代表的な数– 基数の変換– 補数

今日の内容• 以下の装置（電池，スイッチ，電球）を

繋いで，表の動作を実現する回路を考える電池 スイッチ 電球

スイッチ 電球OFF ONON OFF

NOT 回路（もどき）

前回の課題１（１）

抵抗

前回の課題１（２）スイッチA

スイッチB

電球

OFF OFF OFFOFF ON ONON OFF ONON ON ON

OR 回路（もどき）

スイッチ A

スイッチ B

スイッチ A

スイッチ B

前回の課題１（３）

スイッチ A スイッチ B

スイッチA

スイッチB

電球

OFF OFF OFFOFF ON OFFON OFF OFFON ON ON

AND 回路（もどき）

スイッチ A スイッチ B

前回の課題２• 10 進数の１００を， 2 進数と 16 進数で表

せ．

– 2 進数：　 01100100– 16 進数： 64

数体系

０ １ １ ０ ０ １ ０ ０

６４１００

数の表現

• 漢字：　一（イチ），二（ニイ），三（サン）．．．

• ローマ数字：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．．．• アラビア数字：１，２，３．．．

「２３」はどうやって表すか？１．ローマ数字：ⅩⅩⅢ　（Ⅹが２個と，Ⅰが３

個）⇒ 記号を繰り返し書くことで表現

２．漢字：二十三　（「十」が２個と，「三」が１個）⇒ 記号の個数を数で表現

３．アラビア数字（インド）：２３⇒ 記号の位置で表現（“桁”の概念の導入）

数の表現

• 桁（ digit ）：数字の表記順序によって，あらゆる大きさの数を表そうとする考え方．

１桁の数　⇒　数字１個で表わす

• 基数（又は底）：１桁に用いる数字の数（種類）のこと

基数１０の場合：０，１，２，３，４，５，６，７，８，９の１０種類

数の表現• 基数１０の場合：

０，１，２，３，４，５，６，７，８，９の１０種類

２進数：０，１（基数２）からなる数

８進数：０，１，２，．．．，６，７ ( 基数８）からなる数

１６進数： ０，１，２，３，．．．７，８，９， A ， B ， C ， D ， E ， F （基数１６）からなる数

１０進数

数の表現• 大きな数を表す場合：漢字表記では，「京，兆，

億，万」といった字を知らないと表現できない

桁表記　２３９３００４８２１６５４０２７６１

漢字表記　二十三京九千三百兆四千八百二十一億六千五百四十万二千七百六十一

代表的な数

• q 進数の数 N （整数）の一般的な表現

N = (anan-1an-2 ・・・・ a1a0)q

= an ・ qn + an-1 ・ qn-1 + an-2 ・ qn-2 　

+ ・・・ +a1 ・ q1 + a0 ・ q0

代表的な数

• q 進数の数 N （ 0<N<1 ）の一般的な表現

N = (.a-1a-2a-3 ・・・・ a-m)q

= a-1 ・ q-1+a-2 ・ q-2+ ・・・ +a-m ・ q-m

• 整数の部分と小数の部分をつなぎ合わせた一般的表現はN = (anan-1an-2 ・・・・ a1a0.a-1a-2a-3 ・・・・ a-m)q

小数点

整数部分 小数部分

１０進数（ decimal number ）

• ０，１，２，３，４，５，６，７，８，９の１０種類を使用N = 259.7(10)

= 2×102+5×101+9×100+7×10-1

２進数（ binary number ）

• ０と１のみを使用する最も簡単な数体系• 2 進数の桁は「ビット（ bit ）」と呼ばれる

N = 11100101.11(2)

=1×27+1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21

+1×20+1×2-1+1×2-2

=128+64+32+4+1+0.5+0.25

=229.75

小数部分

8 進数（ octal number ）• ０，１，２，３，４，５，６，７の数字を使

用• 2 進数と特別な関係がある

N = 257(8)

=2×82+5×81+7×80

=175(10)• 23 = 8 の関係があるため， 2 進数の 3 桁が

8 進数の 1 桁と同じ大きさ２進数：　０１１　１００　０１０８進数：　　３　　　４　　　２

16 進数（ hexadecimal number ）• ０～９以外に A ， B ， C ， D ， E ， F の文字

を使用• 2 進数と特別な関係がある

N = 17AF(16)

=1×163+7×162+(10)×161+(15)×160

=6063(10)

• 24 = 16 の関係があるため， 2 進数の 4 桁が16 進数の 1 桁と同じ大きさ

　２進数：　１０１１　００１１　１１０１１６進数：　　 B 　　　　　３　　　　 D

A F

基数の変換（整数： 10 進数⇒ q 進数）

0← ・・・← S2 ← S1 ← S0 ← N (q 　　　　　 ↓ ↓ ↓ ↓ 　　　　　 r3 r2 r1 r0

　　　　　 (a3) (a2) (a1) (a0)

剰余を置く

q で割算（商を置く）

ただし， N>1

A =

基数の変換（整数： 10 進数⇒ 2 進数）

0 ← 1 ← 3 ← 7 ← 14 ← 28 ← 57 ← 114 ← 229 (2　　 ↓ ↓ ↓ ↓　 ↓ ↓ ↓ ↓　　 １　 １　 １　 ０　 ０　 １　 ０　 １

ただし， N>1

したがって　　 229(10) = 11100101(2)

剰余

q で割算（商を置く）

基数の変換（整数： 10 進数⇒ 8 進数）

0 ← 3 ← 28 ← 229 ( ８ ↓ ↓ ↓　　 ３　　４　　　５

ただし， N>1

したがって　　 229(10) = 345(8)

剰余

q で割算（商を置く）

基数の変換（小数： 10 進数⇒ q 進数）

q ） N → v-1 → v-2 → v-3 → ・・・→ 0 ↓ ↓ ↓ ↓ u-1 u-2 u-3 u-4

. a-1 a-2 a-3 a-4

整数部を置く

q の乗算

ただし， 0<N<1

A =

基数の変換（小数： 10 進数⇒ 2 進数）

2 ） 0.625 → 0.250 → 0.500 → 0.000 ↓ ↓ ↓ 1 0 1

整数部を置く

q の乗算

ただし， 0<N<1

したがって　　 0.625(10) = .101(2)

補数（ 2 進数）• １の補数：各ビットを反転させたもの• ２の補数：１の補数に１を加えたもの

（例）　 N = 10110(2)

N の 1 の補数： 01001(2)

N の 2 の補数： 01010(2)

2 の補数表現は，負の数を表現するのに用いられる

課題（締め切り： 4 月 27 日）テキスト　 pp.10-11 の以下の問すべて• 問 1.1 (1), (2)• 問 1.2 (1), (2)• 問 1.3 (3)• 問 1.4 (1), (2)• 問 1.5 (1), (2)

注意事項• 講義に関する質問・課題提出など：

2009lcx@gmail.com

• メールについて件名は，学籍番号＋半角スペース＋氏名

（例） S09F2099 　松木裕二

本文にも短いカバーレター（説明）をつける課題は Word などで作り，添付ファイルとして送る