临潼区徐杨高级职业中学

高三数学朱晓莹

第二课时 直线的方程

考纲要求：

掌握确定直线位置的几何要素，掌握直方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。

重点难点 :（ 1 ）由直线方程找出斜率与倾斜角；（ 2 ）确定斜率与倾斜角的范围；（ 3 ）灵活地设直线方程各形式，求解直线方程

；（ 4 ）直线方程的五种形式之间的熟练转化。

课时安排： 1 课时

知识梳理 :

（ 1 ）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 L ，如果绕着交点按逆时针方向旋转到和直线 L 重合时所转的最小正角记为 α ，那么 α 就叫做直线 L 的倾斜角。 当直线 L 和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 00 。 故倾斜角的范围是 [0 ， π] 。

（ 2 ）斜率：倾斜角不是 900 的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率 k ，即 k=tanα （ α≠ 900 ）；倾斜角为 900 的直线的斜率不存在。

（ 3 ）过两点 P1 (x1,y1) , P2 (x2,y2) , (x1≠x2)

的直线的斜率公式— k=tanα= 12

12

xx

yy

直线方程的几种形式：

注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

1b

y

a

x

直线名称 方程形式 常数意义 适用范围

① 点斜式 y-y0=k(x-x0)

K 斜率 ,(x0,y0) 直线上定点 K 存在

② 斜截式 y=kx+b K 斜率 ,b 为 y 轴上截距 K 存在

③ 两点式 (x1,y1), (x2,y2) 是直线上两定

点且 (x1≠x2 ,y1≠,y2)

不垂直 x,y 轴

④ 截距式 a,b 分别为 x,y 轴上截距 横纵截距都存在且都不为零

⑤ 一般式 Ax+By+C=0 A,B 不同时为 0 任意直线

【基础自测】

1. 过两点 ( – 1, 1) 和 (3, 9) 的直线在 x 轴上的截距是 ______

2. 过点 P ( – 1 , 2) 且方向向量为 a = ( – 1, 2) 的直线方程为 ( )

A. 2x + y = 0 B. x – 2y + 5 = 0

C. x – 2y = 0 D. x + 2y – 5 = 0

3. 过点 (1, 3) 作直线 l , 若经过点 (a , 0) 和 (0 ,b) ，且 a , b 均为 正整数 ，则可作出的 l 的条数为 ( )

A. 1 B. 2 C.3 D. 4

4. 过点 A(1 , 4), 且纵横截距的绝对值相等的直线共有 ___ 条 .

A. 1 B. 2 C.3 D. 4

典例试解：

–3/2

A

B

C

例 1 、已知△ ABC 的三个顶点是 A(3, – 4), B(0,3), C(– 6,0). 求它的三条边所在的直线方程。

O

B(0,3)

A(3,-4)

C(-6,0)x

y

【评注】 合理选取直线方程的形式有利于提高解题的速度 .

解：直线 BC 的方程为 12030

yx

化为一般式为 062 yx

直线 AB 的方程为 33

7 xy

化为一般式为 0937 yx

AC 的方程为 )6(9

40 xy

化为一般式为 02494 yx

数形结合的思想

例 2 、一条直线经过点 P(3 , 2 ) ，且倾斜角是直线 x – 4y + 3 = 0 的倾斜角的两倍，求该直线方程。解析 :

设已知直线的倾斜角为 α ，则所求直线倾斜角为 2α ， 因为 已知直线的方程为 x – 4y + 3 = 0

所以 tan α =

所以 tan 2 α =

¼

8/15

即所求直线的斜率为 8/15

故所求直线的方程为 y – 2 = 8/15 (x – 3) 即 8x – 15y + 6 = 0

例 3 、某房地产公司要在荒地 ABCDE （如图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如何设计才能使面积最大？并求面积的最大值 （精确到 1m2 ）。

所以，当 x = 5 , y = 50 /3 时， S 取最大值 6017 平方米。

解析：

在线段 AB 上任取一点 P , 过 P 作 CD 、 DE 的垂线， 则 AB 的方程为 x /30 +y /20 = 1 ,0≤x ≤30设 P （ x , 20 – 2x /3)

则 S = (100 – x ) [ 80 – (20 – 2x /3) ] , 0≤x ≤30

得 S = –2x2 /3 + 20x /3 + 6000 = –2/3 (x – 5)2 + 50 /3 + 6000 ， 0≤x ≤30

例 4 、 一 条 直 线 被 两 直 线 L1 ：4x+y+6=0,

L2 ： 3x － 5y － 6=0 截得的线段的中点恰好为坐标原点 , 求这条直线的方程 .解：由题意可设所求直线的方程为 y = kx

分别与 L1 ,L2 的方程联立，得两交点的横坐标分别为

与 , 4

6

k k53

6

令 + =0 ，得 4

6

k k53

6

6

1k

从而所求直线方程为 x+6y=0

课堂小结 :

(1) 直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方 程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推导。直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解。 (2) 直线方程的五种形式之间的熟练转化； (3) 注意几种特定题型的解法。 总而言之，求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，再利用待定系数法求解。

注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。

直线方程的几种形式：

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

1b

y

a

x

直线名称 方程形式 常数意义 适用范围 备注

① 点斜式 y-y0=k(x-x0)

K 斜率 ,(x0,y0) 直线上定点 K 存在 K 不存在时 x=

x0

② 斜截式 y=kx+b K 斜率 ,b 为 y 轴上截距 K 存在 K 不 存 在 时 x= x0

③ 两点式 (x1,y1), (x2,y2) 是

直 线 上 两 定 点且 (x1≠x2 ,y1≠,y2)

不垂直 x,y 轴 x1=x2

时， x=x1 y1=y2时， y=y1

④ 截距式 a,b 分别为x,y 轴上截距

横纵截距都存在且都不为零

a=b=0时， y=kx

⑤ 一般式 Ax+By+C=0 A,B 不同时为 0 任意直线 A,B,C 为 0 时 ,直线的特点

布置作业 金榜 1 号 : P192 、 P193 、 P194

谢谢，再见！