以時間序列分析法偵測台灣一等二級水準網之殘留系統誤差Detecting Remained Systematic Errors In The First-Order ClassII Leveling Network of Taiwan By Using Time series 指導教授：許榮欣 學生：李明一

前言 時間序列分析法 臺灣一等水準網 實驗與成果 結論與討論 參考文獻

前言

時間序列（ Time series ），係指以時間順序型態出現之一連串觀測值集合

時間序列分析是一種數理統計的方法，它可以計算兩筆相近資料間的統計相關性，因此可用來判斷是否含有系統誤差。

吾人可加以利用的數據包含有測段閉合差、測段長、坡度、往返施測時的氣溫及測段方位角…等眾多數據 [Vanicek, P. & Craymer, M. ， 1983] 。

時間序列分析法 -1

一組觀測值，若沿著時間先後有順序地產生，則稱此組觀測值為一時間序列，而正整數 N 被稱為時間序列的長度 [ 葉小蓁， 1998] 。

圖 1 時間序列 [ 葉小蓁， 1998]

時間序列分析法 -2

利用互變異數來測度任何一對隨機變數所存在之線性關係，吾人稱其為自我互變異數（ Autocovariance ）

(1)

式中 ，對所有 t 值皆有相等性，此為平穩型隨機過程之特性 [ 林茂文， 1992] 。

kttkttk ZZEXX ,cov

tZE

時間序列分析法 -3

隨機變數與在相隔期之自我相關係數（ Autocorrelation at lag k ）

(2)

其中平穩型隨機過程之特性為在時間 t 與 t+k均具有相同的變異數 [ 林茂文， 1992] ，而 被稱為自我相關函數（ Autocorrelation Function ， ACF ）。

020

)var()var(

),cov(

kk

ktt

kttk

XX

XX

0kk

時間序列分析法 -4

自我相關函數有如下之特性： [ 葉小蓁， 1998]

(1)

(2) ， (3) 無單位

(4) ，

10 11 j ,...2,1j

j

jj ,...2,1j

時間序列分析法 -5

平穩型時間序列（ Stationary Time Series ）係指一個時間序列其統計特性將不隨時間之變化而改變者 ，即隨機過程需滿足以下三個條件：

(1)

(2)

(3)

其中 E 表示期望值， var 表示變異數， cov 表示共變數， 、 及 均為有限的固定參數 [Hsu,R,2002] 。

iXE

0var iX mmii XX ,cov

0 m

時間序列分析法 -6

每個觀測值可以表示為諸個互相獨立且具有相同機率分配之隨機變數序列 之線性組合。此種序列隨機變數 稱為白色干擾過程（ White Noise Process ）。

(3)

式中 與 為固定的參數值， 稱為權數（ Weight ），通常設 ， 為決定過程之平均水準。

...,, 21 ttt aaa

,...,, 21 ttt aaa

...22110 tttt aaaX

j ,...2,1,0jj

10

時間序列分析法 -7

若一個時間序列為平穩型，即此序列為對固定均值上下隨機波動，若時間序列為非平穩型，則可知該序列無固定平均值。一般而言，假若權數 為有限（ Finite ）或無限且收斂（ Infinite and Convergent ）者，則可知此時間序列 為對平均數之平穩型時間序列 [ 林茂文， 199

2] 。

j

tX

時間序列分析法 -8

q 階之移動平均過程（ Moving Average Process of Order q ， MA(q) ）

(4)

式中 亦稱為震動影響或記憶函數（ Shock-Effect or Memory Function ），表示震動 將持續影響

等 個時期後消失。 MA(q) 之自我相關函數經相關推導已得知在時間位差時不

為零，而自落後 q 個時期始為零，即自我相關函數在時間位差 q 之後截斷（ Cuts Off at Lag k ） [ 林茂文， 1992] 。

qtqtttt aaaaX ...2211

),...,,,1( 21 q ta

qttt ,...,1, )1( q

時間序列分析法 -9

p階自我迴歸過程（ Autoregressive Process of Order p ，AR(p) ）

(5)

自我迴歸過程名稱之由來係將隨機過程 中任一當期值（ Current Value of the Process ） 視為迴歸模型中的應變數，而將前 p期值 視為自變數做一複迴歸，而自變數與應變數來自同一隨機過程，因此而得自我迴歸之名 [ 葉小蓁， 1998] 。

tptpttt aXXXCX ...2211

1ttX

tX pttt XXX ,...,, 21

時間序列分析法 -10

(p,q) 階混合自我迴歸與移動平均過程 (Mixed Autoregressive-Moving Average Process of Order (p,q),ARMA(p,q))

(6)

同時採用包含有自我迴歸與移動平均項，以推導出較僅有自我迴歸項或僅有移動平均項更貼近實際之模式。

qtqtttptpttt aaaaXXXCX ...... 22112211

時間序列分析法 -11

差分可被視為非平穩型時間序列變為平穩型的一種轉換，但差分次數不宜過多，過度的差分將使資料喪失實際含意而不易解釋，且會使序列的變異數變大，一般實務上通常以目測原始序列圖形的方法，來判斷圖形是否已達平穩的狀態 [ 葉小蓁， 1998] 。

時間序列分析法 -12

(p,d,q) 階之整合自我迴歸移動平均模型 (Autoregressive Integrated Moving Average Model of Order (p,d,q) ， ARIMA(p,d,q)) ，其中 p 表示為自我迴歸過程之階數， d 為差分次數， q表示為移動平均過程之階數。

若某序列的 SACF 值呈極緩慢消失，以及序列圖不在一固定水準內擺動，則顯示此序列為非平穩型，吾人需先將此序列差分直至序列之 SACF很快消失為止

時間序列分析法 -13

若原始序列經判斷為平穩型，則由 Bartlett公式可決定SACF(Sample Autocorrelation Function)於何處截斷，判定 之模型 MA(q)

理論上， 則對樣本的 SACF ，期差 k>q 大之後的 具以下兩個漸進性質：

(1) N夠大時 (N>50)

， (7)

(2) 的漸進抽樣分配為常態

(8)

tX0...21 qq

k̂

q

jjk N 1

2211

)ˆvar( qk

k̂

)ˆvar(,0~ˆ kk N

式 (7) 及 (8) ）可利用統計檢定的方式鑑定模型 MA(q) 之 q 值 [ 葉小蓁， 1998] 。

時間序列分析法 -14

模型為 AR(p) ， 的時間序列， SACF會呈退化的指數形式或阻尼正弦函數的相似特徵，故不易由 SACF來區分 p 值。

由 (5) 式，將其改寫為 (9)

其中 被稱為 之第 k 期差（ k-th lag ）的偏自我相關係數， k=1,2,…；而 被稱為偏自我相關函數（ Partial Autocorrelation Function ， PACF ）。

1p

tktkktktkt aXXXX ...2211

kk }{ tX1}{ kkk

由 Cramer’s 法則，可分別解： [Faires, J. & Burden, R., 2003]

111

21

212

1

1

21

1

22 1

1

1

1

1

1

1

1

1

12

11

21

312

21

11

33

1...

1............

..................

...1

...1

...

..................

...1

...1

1321

1

2311

1221

1321

2311

1221

kkk

kk

kk

kkkk

k

k

kk

時間序列分析法 -15

鑑定單純的 AR(p)模型，若僅用 SACF不夠，尚須考慮 SPACF的顯著性以判定階數 p；故在應用上以 Quenouille 的公式以求出 SPACF，之截點：設 為一平穩的時間序列，由某一自我迴歸模型 AR(p)產生，其 PACF理論值中， ， 期差 k 大於 p 之後的具有以下兩個漸進性質：

(1) 當 N夠大時（ N>50 ） ， 。 (9)

(2) 的漸近抽樣分配為 ， 。 (10)

NttX 1}{

0kk 1 pk

Nkk

1)ˆvar( 1 pk

)1

,0(~ˆN

Nkk

kk̂

1 pk

同樣的，可以統計檢定的方式逐步檢定之顯著性 [ 葉小蓁， 1998] 。

時間序列分析法 -16

將 ACF 與 PACF 的特徵合併

臺灣一等水準網

一等一級水準網於民國 89年 12月至 90年 9月間完成總計 1010 個一等一級水準點之測量作業，水準路線涵蓋台灣本島外圍及中橫、南橫等路線，共 1357 條測線，全長總計約 2052公里。

一等二級水準網一等二級水準測量需閉合或附合於一等一級水準點，於民國 91年 6月至 91年 12月完成總計 1055 個一等二級水準點之外業工作，水準路線主要分佈於台灣本島西部及北部，共 1155 條測段，全長總計約 2200公里 [蘇哲民， 2003] 。

臺灣一等水準網

實驗與成果

2002年測設的台灣一等二級水準網共有 86 條測線， 1155 個測段。其中，部分測段因經系統誤差改正後 [蘇哲民， 2003] 測段之往返閉合差或有超過規範值（ 2.5mm√K ），因此本次實驗將此部分測段排除不計。

實驗與成果 -1

依測段長短作排序視為時間序列的時間軸，各測段閉合差視為當期觀測值，繪製時間序列圖，如圖二。

圖二 依測段長短排序 -3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

1 45 89 133 177 221 265 309 353 397 441 485 529 573 617 661 705 749 793 837 881 925 969 1013105711011145

mm

實驗與成果 -2

閉合差值似有隨著橫軸數值增加的趨勢，即序列圖不在一固定水準內擺動，由目測的方式判斷其尚為非平穩型，取其一次差後序列圖如圖三

圖三 依測段長短排序一次差後 -6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 44 87 130 173 216 259 302 345 388 431 474 517 560 603 646 689 732 775 818 861 904 947 990 103310761119

實驗與成果 -3

差分前與差分後數列的自我相關函數（ ACF ），經一次差分後的數列其 ACF很快的便趨近於 0 ，故可判斷經差分 d=1 次後數列達平穩狀態。

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

1 2 3 4 5 6 7 未差分一次差

ACF 未差分 一次差

lag 1 0.18496 -0.48742

lag 2 0.16222 -0.02135

lag 3 0.17771 -0.00457

lag 4 0.20048 0.041355

lag 5 0.16137 -0.0096

lag 6 0.13421 -0.04626

lag 7 0.17861 0.01523

實驗與成果 -4

由 cramer’s 法則求取偏自我相關函數 PACF

分別以 Quenouille 及 Bartlett 的公式求出 PACF 、 ACF

之截點

實驗與成果 -5

綜合上述 PACF 及 ACF檢定結果，吾人可說，依測段長短加以排序後之序列呈 ARIMA(0,1,1) 之模型。再利用 MINITAB 統計軟體，可獲得其 ARIMA 模型的參數值，可知其參數最後呈收斂的情形，故可推知其數列確呈 ARIMA

(0,1,1) ：

實驗與成果 -6

分別對其他可能造成系統誤差之因素排序後再加以分析，得到「溫度 _高程差排序， ARIMA(0,1,1)」、「溫度 _測段長排序， ARIMA(1,0,1)」、「溫度 _擺站數排序，ARIMA(1,0,1)」、「依坡度絕對值排序， ARIMA(0,1,1)」，而「依高程差排序」經兩次差分後 ACF 及 PACF均未有收斂的情形產生，因差分次數過多將會使資料喪失實際含意不易解釋，故不再加以討論。

結論與討論

發現仍有殘留之系統誤差存在於水準網上未消除，甚至有需經一次差分後方達穩定之情形，此情形是否表示有一固定殘差存在？

現既以手邊所擁有之相關觀測資料利用多種因素排序作時間序列分析，擬以所獲得的成果再加以推測造成系統誤差的可能因素。

參考文獻

1.Vanicek, P. & Craymer, M., 1983.”Autocorrelation Functions as A Diagnostic Tool in Level.” Precise Level, pp.327-340.2. Hsu, R.,2002,”Adjustment Treatments of Surveying Measurements”, Nation Taiwan University, ch 5 pp.7.3. Faires, J. and Burden, R., 2003, “Numerical Methods”, Thomson, pp. 269.4. 葉小蓁， 1998 ，「時間序列分析與應用」，國立台灣大學。5. 林茂文， 1992 ，「時間數列分析與預測」，華泰書局。6. 蘇哲民， 2003 ，「 TWVD2001 一等水準觀測資料之系統誤差 分析」，國立成功大學測量工程學系碩士論文， pp.32-34 。