Разпределение на вероятностите

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Брой на растения / квадрат

0

10

20

30

40

50

60

Бро

й (

чест

ота

)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

веро

ятност

Alchornea latifolia

Модели на разпределениеМодели на разпределениена вероятности:на вероятности:

• Биномно• Поасоново• Отрицателно биномно

• Нормално

Използва се когато:Използва се когато:

Наблюденията могат да се класират в Наблюденията могат да се класират в две категории две категории ((алтернативна алтернативна групировкагрупировка))

Отчита се броя на обектитеОтчита се броя на обектите Дисперсията е по-малка от средната Дисперсията е по-малка от средната

аритметичнааритметична CV<1 CV<1 Изследваните обекти са разпределени Изследваните обекти са разпределени

равномерно равномерно

Условия:Условия:

• Честотата да е постоянна

• Обемът на съвкупността да е достатъчно голям

Dixella attica (Diptera: Dixidae)

При изследване на езерни съобщества, се установил вида Dixella attica. От растителността по водната повърхност са събирани какавиди, които в лабораторни условия са оставяни да имагинират

БройБройизпитизпитваниявания

Възможни изходиВъзможни изходи

22

БройБройкомби-комби-нациинации

ОбщаОбща

вероятноствероятност

11

ММ ЖЖ

p q p q

0.5 0.5 0.5 0.5

22 ½ + ½ = 1½ + ½ = 1

p + q = 1 p + q = 1

Dixella attica p = q = 0.5

БройБрой

изпитизпитваниявания


44

БройБрой

комби-комби-нациинации

ОбщаОбща


22 МЖМЖ

ММ ЖМ ЖЖММ ЖМ ЖЖ

p p 22 2pq q 2pq q 22

0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25

33 ¼¼ + 2/4 + ¼ + 2/4 + ¼

= 1= 1

pp22++ 2pq+ q2pq+ q22=1 =1

p = q = 0.5

БройБрой

изпитизпитваниявания


88

БройБрой

комби-комби-нациинации

ОбщаОбща


33 ММЖ ЖЖМММЖ ЖЖМ

МММ МЖМ ЖМЖ ЖЖЖМММ МЖМ ЖМЖ ЖЖЖ

ЖММ МЖЖЖММ МЖЖ

p p 33 33pp22q q 3pq 3pq22 q q 22

0.125 0.375 0.375 0.1250.125 0.375 0.375 0.125

44 1/8 + 3/8 +1/8 + 3/8 +

3/8 + 1/8 = 13/8 + 1/8 = 1

p p 3 3 ++ 33pp22q q ++ 2pq 2pq22 + + q q 22 = 1 = 1

p = q = 0.5

n=1: (n=1: (pp + + qq))11 = = pp + + qq

n=2: (n=2: (pp + + qq))22 = = pp2 2 + 2+ 2pq pq + + qq22

n=3: (n=3: (pp + + qq))33 = = pp3 3 + 3p+ 3p22qq + 3+ 3qq22pp+ + qq33

nn

mn qpmP

0

Бином на Нютон (p + q)n

mnmmnn qpCmP ..)(

)!(!

!

mnm

nC m

n

n – общ брой изпитванияm– брой на благоприятните изходи p – вероятност на събитиетоq – вероятност на противоположното събитие

Формула на Бернули

mnC Биномен

коефициент

Биномни коефициентиБиномни коефициентиТриъгълник на ПаскалТриъгълник на Паскал

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

n

0

1

2

3

4

5

2n

1

2

4

8

16

32

бином. коеф.

Приложения в биологията:Приложения в биологията:

Biston betularius

сем. Geometridae

Ако в една популация тъмната Ако в една популация тъмната форма се среща с форма се среща с pp = 0.97 = 0.97

Уловени са 6 пеперудиУловени са 6 пеперуди (n = 6) (n = 6)

Каква е вероятността:Каква е вероятността: Всичките 6 да са Всичките 6 да са

тъмнитъмни?? 3 тъмни и 3 светли3 тъмни и 3 светли? ?

mnmmnn qpCmP ..)(

)!(!

!

mnm

nC m

n

Каква е вероятността всичките 6 да са тъмни?

8329.003.097,0)!66(!6

!6)6( 666

6

P

mnmmnn qpCmP ..)(

)!(!

!

mnm

nC m

n

Каква е вероятността да има 3 тъмни и 3 светли?

000493.003.097,0)!36(!3

!6)3( 363

6

P

P50(0) = 50! / 0! 50! x 0.010 x 0.9950

Ново лекарство причинява увреж- дане на бъбреците при 1% отпациентите. То било тествано на50 пациента.

P50(0) =0,61

Каква е вероятността нито един пациент да няма странични ефекти?

Каква е вероятността поне един пациент да има странични ефекти?

P(поне 1 пациент) = 1 - P50(0) = 1 - 0,61 = 0,39

Каква е вероятността в Каква е вероятността в F2F2

поне 2 от котенцата да сапоне 2 от котенцата да са

албиноси?албиноси?

P1: black × albino genotype: BB bb

gametes: P(B) = 1 P(b) = 1 F1: black × black

genotype: Bb Bb gametes: P(B) = ½ , P(b) = ½ P(B) = ½ , P(b) = ½

expected F2: P(black) = P(B_) = (½ )2 + 2(½ )2 = ¾ = p

P(albino) = P(bb) = (½ )2 = ¼ = q

Възможни изходиВъзможни изходи......F2 * Probability 3 black + 0 albino P ( ) = (¾ )3 × (¼ )0 = 27/64 P ( ) = (¾ )2 × (¼ )1 = 9/64

P ( ) = (¾ )2 × (¼ )1 = 9/64 2 black + 1 albino P ( ) = (¾ )2 × (¼ )1 = 9/64

P ( ) = (¾ )1 × (¼ )2 = 3/64

P ( ) = (¾ )1 × (¼ )2 = 3/64 1 black + 2 albino P ( ) = (¾ )1 × (¼ )2 = 3/64

0 black + 3 albino P ( ) = (¾ )0 + (¼ )3 = 1/64 Total 64/64

Биномното уравнениеБиномното уравнение (p + q)(p + q)nn = =

... ... акоако p = p = ¾ ¾ and q = and q = ¼ ¼ , ..., ... (p + q)(p + q)33 = (¾ + ¼)(¾ + ¼ )(¾ + ¼ ) = = (¾ + ¼)(¾ + ¼ )(¾ + ¼ ) =

n

[n!/(n–k)! k!](p)n–k (q)k = k=0

n

[n!/(n–k)! k!] (¾ )n–k (¼ )k = k=0

at least two albinos…

(3!/3!0!) (¾ )3 (¼ )0 = × 27/64 0 albinos

(3!/2!1!) (¾ )2 (¼ )1 = × 9/64 1 albino

(3!/1!2!) (¾ )1 (¼ )2 = × 3/64 2 albinos

(3!/0!3!) (¾ )0 (¼ )3 = × 1/16 3 albinos > 10/64 = 5/32 64/64

Изчисляване на теоретичните Изчисляване на теоретичните честотичестоти

f* = N (p + q)n

N = fi p вероятност на събитието

q = 1 – p

Теоретична честота наТеоретична честота намодели с известна вероятностмодели с известна вероятност

f* = N . C / C

C – биномни коефициенти

При условие, че p = q = 0,5

класовекласове честотачестота

ffii

биномнибиномни

коеф. Скоеф. С f*f* f*f*

11 11 11 1,771,77 22

22 1010 66 10,5910,59 1111

33 1717 1515 26,4826,48 2626

44 4646 2020 35,3235,32 3535

55 2828 55 26,4826,48 2626

66 88 66 10,5910,59 1111

77 33 11 1,771,77 22

сумасума 113113 6464 113,0113,0 113113

Разпределение на женските в 113 котила на лабораторни мишки

Пространствено разпределение - равномерно

Regular

Равномерно _S2 < x CV<1

Patella sp.

бройброй

охлювиохлюви

честотачестота

ffii

вероятноствероятност f*f* f*f*

66 44 0,050,05 2,52,5 33

77 66 0,1290,129 6,456,45 66

88 1111 0,2360,236 11,811,8 1212

99 1616 0,2880,288 14,414,4 1414

1010 99 0,2110,211 10,5510,55 1111

1111 44 0,0700,070 3,53,5 44 _N=50, x= xi / N= 8.64, s2=1,828 CV<1 _ p = x / n = 8,64/11= 0,785

mnmmnn qpCmP ..)(

611661111 215,0.785,0.6 CP

05,0611 P

Ï ðî ñòðàí ñòâåí î ðàçï ðåäåëåí èåí à Patela sp.

6 7 8 9 10 11

÷åñò

îòè

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

åì ï èðè÷í è ÷åñòî òè òåî ðåòè÷í è ÷åñòî òè

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Event (x)

Pro

bab

ilit

y

n =20p = 0.5

• се отределя напълно от два параметъра – n и p• се характеризира със своя средна и дисперсия:

Poisson Distribution

Simeon-Denis Poisson

Отчита се броя на обектитеОтчита се броя на обектите Наблюденията са взети от единица площ, Наблюденията са взети от единица площ,

време и др. и могат да бъдат организирани време и др. и могат да бъдат организирани в разпределение на честоти, при което в разпределение на честоти, при което дисперсията е приблизително равна на дисперсията е приблизително равна на средната аритметична средната аритметична CV=1CV=1

Дадено събитие се случва рядкоДадено събитие се случва рядко Изследваните обекти са разпределени Изследваните обекти са разпределени

случайно във времето и пространствотослучайно във времето и пространството


a

m

n em

amP

!)(

n – общ брой изпитванияm– честота на събитието в n независими изпитванияa – най-вероятната очаквана честота на събитието

pna a = μ

Изчисляване на теоретичните Изчисляване на теоретичните честоти честоти

f* = N . Pn(m)

N = fi

Saccharomyces cerevisiae

брой клетки

честота отн. честота

P

0 75 .1875 .1653 1 103 .2575 .2976 2 121 .3025 .2678 3 54 .1350 .1607 4 30 .0750 .0707 5 13 .0325 .0260

>6 4 .0150 .0119

400=n

_x = xi / n = 1.8 s2 = (xi -x )2 / (n-1) = ~ 1.96

Използваме извадъчната средна за Използваме извадъчната средна за оценка на оценка на = 1.80 = 1.80

0 0 клеткиклетки P (0): P (0): 0 0 /0!/0!ee= 1.8= 1.800/0!/0!2.718282.718281.81.8

1 1 клеткиклетки = 1.8 = 1.811/1!2.71828/1!2.718281.81.8 = 1.8/ = 1.8/ee1.81.8 = = 0.29760.2976

2 2 клеткиклетки = 1.8 = 1.822/2!/2!ee1.8 1.8 = 0.2678= 0.2678 3 3 клеткиклетки = = 1.81.833/3!/3!ee1.8 1.8 = 0.1607 = 0.1607 и т.ни т.н..

Разпределение на дъждовни червеи

25 квадрата

11 33

22 44

33 11

44 11

55 33

66 00

77 00

88 11

99 22

1010 33

1111 44

1212 55

1313 00

1414 11

1515 33

1616 55

1717 55

1818 22

1919 66

2020 33

2121 11

2222 11

2323 11

2424 00

2525 11

квадрат # червеи

11 33

22 44

33 11

44 11

55 33

66 00

77 00

88 11

99 22

1010 33

1111 44

1212 55

1313 00

1414 11

1515 33

1616 55

1717 55

1818 22

1919 66

2020 33

2121 11

2222 11

2323 11

2424 00

2525 11

квадрат # червеи

N = 25_X = 2.24 червеи / квадрат

Формула за изчисляване на вероятностите при Поасоново разпределение

Pm = e-µ µm

m!

Вероятност за наблюдаване

на m събития

Основата на натуралния логаритъм

(= 2.71828….)

Средната в генералната съвкупност

Px = e-µ µm

m!

Вероятност за наблюдаване

на m червея на квадрат

Основата на натуралния логаритъм

(= 2.71828….)

µ = X = 2.24

Формула за изчисляване на вероятностите при Поасоново разпределение

# of # of wormsworms

Probability of Probability of finding X worms finding X worms

in a quadratin a quadrat

CalculationCalculation

00 Po = ePo = e-µ-µ(µ(µxx/0!)/0!) =e=e-2.24-2.24 = .1065 = .1065

11 P1 = eP1 = e-µ-µ(µ(µ11/1!)/1!) =e=e-2.24-2.24(2.24/1) = .2385(2.24/1) = .2385

22 P2 = eP2 = e-µ-µ(µ(µ22/2!)/2!) =e=e-2.24-2.24(2.24(2.2422/2) = .2671/2) = .2671

33 P3 = eP3 = e-µ-µ(µ(µ33/3!)/3!) =e=e-2.24-2.24(2.24(2.2433/6) = ..1994/6) = ..1994

44 P4 = eP4 = e-µ-µ(µ(µ44/4!)/4!) =e=e-2.24-2.24(2.24(2.2444/24) = .1117/24) = .1117

55 P5 = eP5 = e-µ-µ(µ(µ55/5!)/5!) =.05=.05

66 P6 = eP6 = e-µ-µ(µ(µ66/6!)/6!) =.0187=.0187

77 P7 = eP7 = e-µ-µ(µ(µ77/7!)/7!) =.006=.006

Можем да продължим до ∞

P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 = .998

P8 + P9……= .002

За удобство - P8 = .002

Определя се напълно от един _

параметър – n.p = x = s2

= 0.1

= 1= 2

= 3 = 10

Брой на редки събития на извадка

Отн

осит

елни

оча

ква н

и че

с то т

и


Отчита се броя на обектитеОтчита се броя на обектите Дисперсията е по-голяма от средната Дисперсията е по-голяма от средната

аритметичнааритметична CV>1 CV>1 Изследваните обекти са разпределени Изследваните обекти са разпределени

групово групово

Prestoea acuminata

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

No seedlings/quad.

0

10

20

30

Cou

nt

0.0

0.1

0.2P

roportion per Bar

Prestoea acuminata

Random

Regular

Clumped

Разпределение в пространството Разпределение в пространството или времетоили времето

Равномерно _S2 < x CV<1

Случайно _S2 x CV1

Групово _S2 > x CV>1

Статистически характеристикипри алтернативна групировка

на вариантите

Алтернативна групировка на вариантитесе нарича, когато извадката се разделяна две части по даден качествен белег,

който притежава две състояния.

Пример: по пол (женски, мъжки)

Ако: n - обем на извадката m - броя на вариантите, които притежават дад. белег n-m - броя на противоположната група

Documents

Разпределение на вероятностите