ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

Εκθετική Κατανομή, Κατανομή Poisson, Διαδικασίες Markov

04-4-2013

ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣΕπανάληψη (1): Παράμετροι συστημάτων αναμονής

– Ένταση φορτίου (traffic intensity)• Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή

ρ = E{Χρόνος εξυπηρέτησης}/Ε{Χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων} = (1/μ)/(1/λ) = λ/μ (Erlangs)

– Διεκπεραίωση πελατών – Ρυθμoαπόδοση (Throughput) γ πελάτες/sec• Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή

γ =< λ, γ < μΓια σύστημα χωρίς χώρο αναμονής γ=λ(1-Pbl), όπου Pbl είναι η πιθανότητα να χαθεί ένας

πελάτης επειδή βρήκε το σύστημα πλήρες(σε τηλεφωνικά δίκτυα χαρακτηρίζει το βαθμό ποιότητας-

Grade of Service - GoS)(σε δίκτυα δεδομένων έχουμε Quality of Service – QoS)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

• Επανάληψη (2): Παράμετροι συστημάτων αναμονής– Μέσος ρυθμός απωλειών, ποσοστό απωλειών,

πιθανότητα απώλειας πελάτη• Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή

Μέσος ρυθμός απωλειών: λ – γΠοσοστό απωλειών: (λ-γ)/λ

– Βαθμός χρησιμοποίησης εξυπηρετητή (server utilization)• Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή

u = γ/μ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

• Επανάληψη (3): Παράμετροι συστημάτων αναμονής– Αριθμός πελατών (κατάσταση)

n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά (stochastic process, time series)

– Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} – Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) =

Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης

E(T) = E(W) + E(s)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ• Παράμετροι συστημάτων αναμονής – Τύπος Little

– n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής– nq(t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή– ns(t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση– n(t) = nq(t) + ns(t) – E{n(t)} = E{nq(t)} + E{ns(t)}– Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s

Ε(Τ) = E(W) + E(s)

– Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s

Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ• Κατάταξη ουρών αναμονής

A/S/N/K– A : Τύπος διαδικασίας εισόδου πελατών– S : Τύπος τυχαίας μεταβλητής χρόνου

εξυπηρέτησης– Ν: Αριθμός εξυπηρετητών– Κ : Χωρητικότητα συστήματος αναμονής

• Παραδείγματα– Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι

εξυπηρέτησης (Markov), 1 εξυπηρετητής, αλλά με άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια)

– Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές – τηλεφωνητές, μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣΗ εκθετική κατανομή• Μια τ.μ. Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ

όταν:• Fχ(t) = 1-exp(-λt), fΧ(t) = λ exp(-λt)

• E(Χ) = 1/λ, var(Χ) = 1/λ2 • Ιδιότητα έλλειψης μνήμης

– P[X>t+s/X>t]=P[X>s]

• Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων– Χ1: με παράμετρο λ1

– Χ2: με παράμετρο λ2

– Χ=min{Χ1,Χ1} είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο

λ = (λ1+λ1)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ• Στοχαστικές διαδικασίες• Ανεξάρτητες διαδικασίες• Στάσιμες διαδικασίες• Διαδικασίες Markov• P[X(tn+1)=xn+1/X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=X1]=

=P[X(tn+1)=Xn+1/X(tn)=xn]

• Εργοδικότητα• Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση

των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις

• Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων• Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

Η κατανομή Poisson:• n αφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα• Pn (T) = e –λT (λΤ)n / k !

• ET(n) = λT

• VarT (n) = λΤ

Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec

Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

Ιδιότητες διαδικασίας Poisson:• Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας

Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ

• Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ1, λ2 διαδικασία Poisson λ = λ1 + λ2

• Διάσπαση διαδικασίας Poisson λ με πείραμα Bernoulli p, q = 1-p ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson

λ1 = p λ

λ2 = q λ