第四章 气体内的输运过程

一、气体分子的平均自由程二、输运过程的宏观规律三、输运过程的微观解释

一 .分子间的碰撞与无引力的弹性刚球模型

§5-1. 气体分子的平均自由程

二 . 平均碰撞频率

平均次数。

平均碰撞频率 (mean collision frequency) ：z单位时间内一个气体分子与其它分子碰撞的

nvdvnZ

vu

nut

tunZ

222

2

三 . 平均自由程（ mean free path ） ：分子在连续两次碰撞间所经过的自由路程的平均值。

二 . 平均碰撞频率与平均自由程的关系 理想气体，在平衡态下，并假定： （ 1 ）只有一种分子； （ 2 ）分子可视作直径为 d 的刚球；

u（ 3 ）被考虑的分子以平均相对速率 运动，其余的分子静止。

pd

kTnkTp

ndZtZ

tv22 22

1v

— 碰撞截面 （ collision cross-section ）u 单位时间内扫过的体积

undnuz 2π

u

vv

碰撞夹角 有各种可能（ 0 — 180 ）90

中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞

2dd

u

2π d

n

v2 u

vndz 2π2

三 . 平均自由程与压强、温度的关系

ndz 22

1

v

p

T

pd

kT22

nkTp

1 ～ 7×10-8

10-7 ～ 0.7 （灯泡内）10-11 ～ 7×103 （几百公里高空）

T = 273K ：p(atm) (m)

求： ?? z

m/s425π

8

M

RTv

325 /m1069.2 kT

pn

秒！）亿次（ /66~

s1058.6π2 192

v ndz

m1046.6 8z

v

记住数量极

解：

T = 273K 、 p = 1atm

[ 例 ] O2 ， d 3.6×10-10m ，已知：

为何多原子分子在碰撞中能看成球形？

说明： kTJ2

1

2

1 2 J

kT 2

在 T = 300K 时：气体 J (10-46kgm2 ) )( 1s

CO 2 1.45 5.34× 1012

H 2 0.0407 × 10133.19

O 2 1.94 × 1012

4.62

2N 1.39 × 10125.45

z 分子在碰撞中可视为球形

§2. 输运过程（ transport process ）非平衡态下气体各部分性质不均匀。

热运动 + 碰撞 、 p 、 m 的迁移（内迁移、输运过程）

的迁移。不均匀扩散：密度定向动量的迁移；

不均速度内摩擦（粘滞）：定向

的迁移；不均匀热传导：温度

输运过程

热

m

u

T

一、粘滞现象的宏观规律

1 、层流 在流动过程中，相邻质点的轨迹线彼此仅稍有差别，不同流体质点的轨迹线不相互混杂，这样的流动称为层流。

2 、湍流

流体的不规则运动。

3 、稳恒层流中的黏性现象

x

yz

1U 2U

内摩檫现象u=u（ z）

5-2 粘滞现象的宏观规律及其微观解释

4 、牛顿黏性定律

dSdz

df Z 0)(

u

为粘度（粘性系数）它的单位是 P( 泊 ), 1P=1N.s.m-

2

气体的黏度随温度升高而增加，液体的黏度随温度升高而减少。

根据动量定理 :dk=fdt, 有 : dSdtdz

dudk

z0

由于动量沿流速减小的方向

dSdtdz

dudkdk

dz

du

z0

00

例 1

解： 外桶的线速度 Ru

R

LR

RR

RLG32

2

夹层流体的速度梯度

M

B

A

R+δ

ω

L R

LR

G32

黏性力对扭丝作用的合力矩：

所以，气体的黏度为：

5 、非牛顿流体

1 、其速度梯度与互相垂直的黏性力间不呈线性函数关系，如血液、泥浆、橡胶等。

2 、其黏性系数会随着时间而变的，如：油漆等凝胶物质。

3 、对形变具有部分弹性恢复作用，如沥青等黏弹性物质。

气体的粘滞现象是由于气体内大量分子无规则运动输运定向动量的结果

一、气体的粘滞现象的微观解释

1. 计算在 dt 时间内 , 通过 dS 面积担任输运任务的分子数 .1) 各分子都以平均速率运动 .2)n 表示单位体积内的分子数 .3) 各方向的分子为总分子数的六分之一 . 有 :

dSdtvndN6

1

2. 计算每交换一对分子沿 Z 轴正方向输运的净定向动量 dk.

每交换一对分子向 z 方向输送的净动量为

0000

000

22

0

zzzz

zzz

dz

dumdk

dz

duuu

zzdz

dumumudk

即得

处的速度梯度有表示以

3. 计算 dN 个分子对所输运的净定向动量的总和 dK. 显然

vdSdtdz

duv

dSdtdz

dumvndSdtvn

dz

dumdkdNdK

z

zz

3

1

3

1

3

1

6

12

0

00

相比较有与牛顿粘滞定律的动量

例 5-2. 实验测得标准状态下氢气的粘滞系数为 . 试求氢气的平均自由程和氢气分子的有效直径 .

解 : 根据

116105.8 skgm

得的有关公式代入并将解出 ,,,3

1vv

)(1066.122

3

83

3 7 mRT

pRTp

RT

v

又由

pd

kT22

可得)(1025.2)

1001.11066.141.1

2731038.1(

2102/1

57

232/1

mp

kTd

5-3. 热传导现象的宏观规律及其微观解释一 . 热传导现象的宏观规律

热传导是热传递的三种方式 ( 热传导 . 对流 . 热辐射 ) 之一 , 它是当气体各处温度不均匀时热量由温度高处向温度低处输运的过程 .

dSdQ .1 dtdQ .20

.3zdz

dTdQ

dSdtdz

dTkdQ

z0

式中 k 为比例系数叫做气体的导热系数 , 它在数值上等于当温度梯度为单位数值时 , 在单位时间内通过垂直于温度梯度方向的单位面积所输运的热量 , 单位 W.m-1.K-1, 负号表示热量沿温度减小的方向输运 , 此式称为傅里叶定律 .

一 . 热传导现象的微观解释1).dt 时间内通过 dS 面上交换的分子数为 dSdtvndN

6

1

BA ikTikT2

1

2

1和2).A.B 两部分子平均能量为 -----------------------------------

3). 交换一对分子 , 沿 z 轴正向输运的能量为

)(2

1BA TTik

4). 在 dt 时间内通过 dS 面输运的总能量 , 即沿 z 轴正方向传递的热量为

)(2

1

6

1BA TTikdSdtvndQ

5). 用温度梯度来表示温度差有 :

0

2z

BA dz

dTTT

6). 将 5代入 4得到

dSdtdz

dTk

ivndQ

z023

1

7). 比较宏观规律的结果有

ki

vnk23

1

8). 由于定体摩尔热容为

m

ikiRCcR

iC mV

vmV 222,

,

而定体比热为

9). 将此关系及 代入 7) 的结果有mn

vcvk 3

1

5-4.扩散现象的的宏观规律及其微观解释一 .扩散现象的宏观规律

当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动使粒子从密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象称为扩散。互扩散：发生在混合气体中，由于各成分的气体空间分布不均匀，各成分分子均要从高密度区向低密度区迁移的现象。

自扩散：是互扩散的一种特例

dSdM .1 dtdM .20

.3zdz

ddM

dSdtdz

dDdM

z0

当两边因密度不均匀而发生质量迁移时 , 迁移的质量与下述因素相关

写成等式有下列关系 :

其中 : 表示 z=z0 处的密度梯度 , 比例系数叫做气体的扩散系数 . 其含义为 :在单位时间内 , 通过垂直于密度梯度方向单位面积所输运的质量 . 单位为 (m2.s-1). 负号表示质量向密度小的方向移动

0zdz

d

左式称为斐克定律

二 .扩散现象的微观解释

1).nA 和 nB 分别表示两边单位体积分子数 .

2). A 和 B 分别表示两边单位体积分子质量 .

3). 则在 dS 面积 dt 时间内向另一方传递的质量为 :

dSdtdz

dv

dz

ddSdtv

dSdtvdSdtvndSdtvnmdM

zz

BABA

00 3

12

6

1

)(6

1

6

1

6

1

4). 与斐克定律比较有如下结果 : vD3

1

5-5. 三种输运现象的讨论及理论与实验结果的比较一 . 三种输运现象的共性

二 . 三种系数与宏观量的关系

例 3

一半径为 b 的长圆柱形中，沿其轴线上有一根半径为 a ，单位长度电阻为 R 的导线，圆筒维持在恒温下，里面冲有被测气体，当金属导线内有一小电流 I 通过时，测出导线与容器壁间的温差为 , 假定此时已达稳态传热，试问待测气体的热导率为多少？

T

例 4 试估计标准状况下空气的黏性系数、热导率及扩散系数。

解：已知空气平均自由程 λ=6.9*10-8 m, 平均速率 v=446 m/s, 摩尔质量 Mm=0.029 Kg. 则：

33 29.1104.22

029.0 mKg 25103.13

1 msNv

113, 105.93

1 KsmJM

Cv

m

mV125100.1

3

1 smvD