上 + 下 = 左 +右

九年一貫數學領域創意教學

高雄市陽明國中 MPC數理團隊　盧建民 黃光欽 張智凱 謝志強 黃怡婷

1. 將下列長方形內面積相等的圖形(1) 寫上 a 、 a (2) 一個塗滿顏色、另一個塗上斜線

(1) (2)

aa

2. 將下列平行四邊形內面積相等的圖形(1) 寫上 a 、 a

(1) (2)

aa

(2) 一個塗滿顏色、另一個塗上斜線

(2) 塗顏色時分成上下一國、左右一國

3. 將下列過 P 點作邊的平行線內面積相等的圖形內(1) 寫上 (a,a) 、 (b,b)……

aa

bb c

c

dd

我們發現面積 上 + 下 左 + 右

b +a ++ c d b +a ++ c d

=

4. 平行四邊形 ABCD 內部一點，

請問△ PCD 面積是多少？

△ PAB 面積 =6 ，

6

△ PBC 面積 =7 ，

7P

△ PAD 面積 =3 ，

3

3 + 7 = 6 + 4

我們發現：面積△ PBC PAB+ PCD = ABCD△ △

=

5.平行四邊形 ABCD ， P點在 AD上, 過 P 作 AB 的平行線

a

a

b

b

12

b+a b+a

=

6.平行四邊形 ABCD ， P 、 Q 在 AD 上( PBE△ 、△ QEC一國 ) ( PAB△ 、△ PEQ、△ CQD一國 )

我們發現：面積△ PBE+ QEC PAB+ PEQ+ CQD = ABCD△ △ △ △

a

a b

b c

c d

d

=12

b +a ++ c d b +a ++ c d

7. 下列 3 個長方形大小都相同，

斜線甲 斜線丙斜線乙

請問斜線甲、乙、丙的大小關係？

答 : 甲 = 乙 = 丙

8-1 由第 5 題我們得到△ PBC △PBF + △PCE = FBCE

提示 :

 ( 請將△ PBC

當成一國 塗上斜

線 )

( 請將△ PBF、 △ PCE 當成一 國 塗 滿 顏色 )

= 12

把△ PAD 分成兩塊移至左上角，右上角並畫上斜線 ( 即△ PAD= 甲 ' + 乙‘ =_________+_________)

8-2

觀看動畫乙‘

甲‘

甲 乙乙‘

甲‘

甲 乙

接 2，再把△ PAB，△ PCD塗上斜線，我們發現：

即 △ PAD + PAB + PCD△ △

= 甲 + 乙 + 丙 + 丁 = ( 甲 + 丙 ) + ( 乙 + 丁 )

= PBF + PCE = FBCE△ △

觀看動畫

12

8-3

甲 乙

丙 丁

△ PAD + PAB + PCD =△ △ 第 1 題塗滿顏色的部分

再把△ PBC塗滿斜線，我們發現：

( 大△面積 3 個小△面積和 )

△ PBC PAD△ + PAB△ + PCD△=

=

9. ( 高難度挑戰 ) 在平面上， P 為平行四邊形 ABCD 外一點，已知△ PAB 面積為 8 平方公分，△ PCD 面積為 4 平方公分，△ PAD 面積為 3 平方公分，則△ PBC 的面積為 ______ 平方公分。 ( 台北市國中杯數學競賽題 )

15

D C

Ｉ

A E

G

F

H

B

Ｄ Ｃ

Ｉ

Ａ Ｅ

ＧＦ

Ｈ

Ｂ

aa

b

b

x

y

a+b+x=a+b+y=1/2ABCD 面積 x=yb+b+y=b+b+xABGI面積 =AEHD面積

如右圖， ABCD為一矩形，若在對角線 AC上任取一點 F，說明四邊形 ABGI和四邊形AEHD的面積相等。

有５，６，７，８這種長方形嗎？

九年一貫數學領域創意教學

　高雄市陽明國中 MPC 數理團隊　盧建民　陳博政　林耀聖　沈碩彬　鄧欣怡

1.(1) 在長方形的４個小長方形內填上它們的面積。

24

18

8

6

4×6

3×6

4×2

3×2

(2) 觀察上題４個空格內的數，猜測它們＋，－， × ， ÷ 的關係？

２４ × ６＝１８ × ８

2.(1) 在下圖長方形的４個小長方形內填上它的面積。（用 a,b,c,d 表示）

c

d

a b

a×c b×c

a×d b×d

(2) 觀察上題 4 個空格內的數，猜測它們＋，－， × ， ÷ 的關係？

　答： ________________________________________________________ （ａ × ｃ） × （ｂ × ｄ）＝（ａ × ｄ） × （ｂ × ｃ）

(3) 如果用甲，乙，丙，丁代表 (1) 的四個數 ( 如圖 ) ，那麼甲，乙，丙，丁的＋，－， × ， ÷ 的關係 為何？

c

d

a b

甲 乙

丙 丁

答： ____________________甲 × 丁＝乙 × 丙

初級挑戰題：在不切割情況下， 4 個面積 5 、 6 、 7 、 8

的長方形能拼成一個大長方形嗎？為什麼？

1.(1) 在對角線互相垂直的四邊形內，填上 4 塊小直角△的面積。

2416

4 62x4

22x6

2 2

2

8×64×8

(2) 觀察上題 4 個空格內的數，猜測它們＋，－， × ， ÷ 的關係？

答： ___________________________________________________________

(1) 在上圖對角線互相垂直的四邊形內，填上 4 塊小直角△的面積。

(2) 觀察上題 4 個空格內的數，猜測它們＋， －， × ， ÷ 的關係？ 答： ____________________________________________

2.

b

c

a

d

甲 乙

丙 丁

上

下

左 右

甲 × 丁＝乙 ×丙

上 × 下＝左 ×右

(3) 如果用甲，乙，丙，丁代表 (1) 的四個數 ( 如圖 ) ，那麼甲，乙，丙，丁的＋，－， × ， ÷ 的關係為何？如果寫上，下，左，右呢？

答：＿＿＿＿＿＿＿＿ 答：＿＿＿＿＿＿＿＿

中級挑戰題：圖四邊形對角線互相垂直。已知三塊直角三角形面積是 6 、 8 、 12 ，求第 4 塊面積 x ＝ __ 。

128

6 X

解：６ x １２＝８ xX

X ＝９

答： X ＝９

６９

１５１０

(1) 在四邊形 ABCD 圖形內填上△ OAB ，△ OAD ，△ OBC ，△ OCD 的面積。

(2) 觀察上題 4 個空格內的數，猜測它們＋，－， × ， ÷ 的關係？ 答： ___________________6X15=9X10

1.

2. (1) 在上圖四邊形 ABCD 圖形內填上△ OAB ，△ OAD ，△ OBC ，△ OCD 的面積。 (2) 觀察上題 4 個空格內的數，猜測它們＋，－， × ， ÷ 的關係？

答： __________________________________

A

B

C

DO

A

B

C

DO

A

B

C

DO甲 乙

丙 丁

(3) 如果用甲，乙，丙，丁代表 (1) 的四個數， 那麼甲，乙，丙，丁的＋，－， × ， ÷ 的關係為何？ 如果用上、下、左、右呢？

答：＿＿＿＿＿＿＿ 答：＿＿＿＿＿＿＿甲 × 丁＝乙 × 丙 上 × 下＝左 × 右

高階挑戰題： 下圖的四邊形中，已知 3 塊小三角形的面積 是 10 ， 18 ， 20 ，求第 4 小塊的面積 x ＝＿ __

A

BC

D

18

20

X10

解：

１８ × １０＝２０ × Ｘ

Ｘ＝９

答：Ｘ＝９