曲面之柱面、旋转面、椭球面

曲面之柱面、旋转面、椭球面

欧阳顺湘北京师范大学

Recall

空间两点间的距离：

MN 221

221

221 )zz()yy()xx(

平面上的两点 M )z,y,x( 111

N )z,y,x( 222 的距离：

M

o

x

y

z

N

21

21

21 zyx OM

曲面方程（ Equations for a Surface) ：

定义：在空间直角坐标系下，设有曲面 S 与三元方程

则称方程 F(x,y,z)=0 为曲面 S 的方程。

1 ）曲面 S 上任一点 M(x,y,z) 的坐标均满足 F(x,y,z)=0 ;方程

曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形。

2 ）不在曲面 S 上的点的坐标均不满足方程 F(x,y,z)=0

F(x,y,z)=0 , 若满足

0 DCzByAx o

x

y

z

平面方程

球面方程：

球心、半径为 R 的球面方程)z,y,x(M 0000

220

20

20 R)zz()yy()xx(

o

x

y

z

更多曲面• 柱面• 旋转面• 椭球面

平面内一直线 L 沿着一定曲线 C 移动而形成的曲面叫做柱面其中，直线 L 叫做母线，曲线 C 叫做准线。

柱面

x

z

y0

母线

F( x,y )=0

z = 0准线

( 不含 z)

M (x,y,z)

N (x, y, 0)

S

曲面 S 上每一点都满足方程；

曲面 S 外的每一点都不满足方程

FF((x,yx,y))==00 表示母线平行于表示母线平行于 zz 轴的柱面轴的柱面

点 N 满足方程，故点 M 满足方程

柱面柱面 FF((x,yx,y))==00

12

2

2

2

b

y

a

x

a

b

z

x

yo

椭圆柱面柱面

平行于 Z 轴的直线沿着 XOY 平面内的椭圆移动

圆柱面柱面

2 2 2x y R

l

)z,y,x(

),y,x( 0

z

x

y = 0

y

12

2

2

2

b

z

a

x

o

双曲柱面柱面

pxy 22

z

x

y

o

抛物柱面柱面

如果方程中不含变量 Z （ X 或 Y ) ，则母线平行于 Z ( X 或 Y ) 轴，柱面垂直于 XOY

( YOZ 或 XOZ ) 面。

x

yo

z

柱面方程的特点

222 Ryx

222 Rzx 222 Rzy

例：圆柱面方程：

l

)z,y,x(

),y,x( 0

缺失变量与母线

旋转面• 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋

转一周所成的曲面叫做旋转曲面。这条直线叫做旋转曲面的轴。

yo

z 0

2

xazy

旋转抛物面旋转抛物面

抛物线绕 z 轴一周

0

2

x

zy

教材中 a=1 这时抛物线为

yo

x

z 0

2

xazy

..

抛物线绕 z 轴一周


y

a

yxz

22

.

o

x

z

.


0

2

xazy抛物线绕 z 轴一周得旋转抛物面

卫星接收装置卫星接收装置例 .

从曲线方程到曲面方程旋转面由曲线确定

y

a

yxz

22

.

o

x

z

.


0

2


从曲线方程到曲面方程

从曲线方程到曲面方程• 绕 z 轴转， z 不变，另一个变量 y 改为

,22 yx

曲线 C

0

0),(

x

zyf

C

y

z

o

绕 z 轴

旋转面面的方程

曲线 C

0

0),(

x

zyf

x

C

y

z

o

绕 z 轴

.


曲线 C

0

0),(

x

zyf

旋转一周得旋转曲面 S

CS

M

N ),,0( 11 zy

zz 1

z

P

MPy || 1 1y

1z

y

z

o

绕 z 轴

.

22 yx

f (y1, z1)=0

M(x,y,z)


.

x

S

曲线 C

0

0),(

x

zyf

旋转一周得旋转曲面 S

x

CS

MN ),,0( 11 zy

zz 1

z

P

MPy || 1 1y

1z

0),( 22 zyxfS： .

绕 z 轴

.

.

22 yx

f (y1, z1)=0

M(x,y,z)

f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0


.

y

z

o

S

y

a

yxz

22

.

o

x

z

.


0

2


从曲线方程到曲面方程

求旋转面方程的方法

0y,zf方程

把该曲线绕 z 轴旋转一周，得一个以 z 轴为轴的旋转曲面。

坐标平面上有一已知曲线 C ，1 ）设在 yoz

在曲线 C 的方程 0y,zf

中，只要将 y 改成 ,22 yx z 不变，

0, 22 zyxf得

同理，曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为：

0 , 22 zxyf

2 ） xoy 面上的曲线C ：

0x,yf

绕 X轴

0 , 22 zyxf

绕 Y 轴 0,22 yzxf

3 ） zox 面上的曲线 C ： 0x,zf

绕 X轴

0 , 22 zyxf

绕 Y 轴 0,22 zyxf

x

zb

y

a

x 双曲线

0 y

双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面

绕 x 轴一周

x

zb

y

a

x 双曲线

0

z

y..

绕 x 轴一周

双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面

x

0

z

y

得双叶旋转双曲面

12

22

2

2

b

zy

a

x.

zb

y

a

x 双曲线

11. 双叶旋转双曲双叶旋转双曲面面

.

绕 x 轴一周

2 ） xoy 面上的曲线C ： 0x,yf

绕 X轴

0 , 22 zyxf

a x

y

o

单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面

上题双曲线

绕 y 轴一周

0

12

2

2

2

z

b

y

a

x

a x

y

o

z

..

上题双曲线

绕 y 轴一周

0

12

2

2

2

z

b

y

a

x


a

.

x

y

o

z

得单叶旋转双曲面

12

2

2

22

b

y

a

zx

.

.


上题双曲线

绕 y 轴一周

0

12

2

2

2

z

b

y

a

x

xoy 面上的曲线C ： 0x,yf

绕 Y 轴 0,22 yzxf

0

0 2

2

2

2

=z

=b

y

a

x

旋转锥面

两条相交直线

绕 x 轴一周

x

y

o

0

0 2

2

2

2

=z

=b

y

a

x

.

两条相交直线

绕 x 轴一周

x

y

o

z

旋转锥面

x

y

o

z 0

0 2

2

2

2

=z

=b

y

a

x

.

两条相交直线

绕 x 轴一周

得旋转锥面

02

22

2

2

b

zy

a

x

.

旋转锥面

环面环面y

xor

R

)0() 222 rRryRx（圆绕 y 轴旋转所成曲面

环面环面

z

绕 y 轴旋转所成曲面y

xo

.

)0() 222 rRryRx（圆

环面环面

z

绕 y 轴旋转所成曲面

22222 )( ryRzx 环面方程 .

生活中见过这个曲面吗？y

xo

)(4)( 222222222 zxRrRzyx 或.

.

)0() 222 rRryRx（圆

救生圈救生圈

.

环面环面

截痕法• 抛物面• 椭球面

y

a

yxz

22

.

o

x

z

.


0

2


x

z

y0

截痕法用 z = a 截曲面

用 y = b 截曲面用 x = c 截曲面

抛物面抛物面

a

yxz

22

x

z

y0



抛物面抛物面

.

1 2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

截痕法用 z = h 截曲面

用 y = m 截曲面用 x = n 截曲面 a

b

c

y

x

z

o

椭球面椭球面

练习• Page 210 3

• 答案在最后

更多曲面

用 z = a 截曲面

用 y = 0 截曲面用 x = b 截曲面

x

z

y

0

zq

y

p

x

2

2

2

2

截痕法

（马鞍面）

18. 双曲抛物面

截痕法

.

双曲抛物面（马鞍面）

x

z

y

0

用 z = a 截曲面


zq

y

p

x

2

2

2

2

截痕法

.

双曲抛物面（马鞍面）

x

z

y

0

用 z = a 截曲面


zq

y

p

x

2

2

2

2

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

单叶：

双叶：

y

x

z

o 在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。用 z=h 去截它们，当 |h| 无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。

渐进锥面：

19. 双曲面的渐进双曲面的渐进锥面面

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系含两个直母线系

例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。

.

单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面

空间曲线

如2 2 1

2

x y

z

空间曲线的一般方程

, , 0

, , 0

F x y z

G x y z

2 2 1

, 0

x y

z y z

两个曲面的交线即为曲线，故空间曲线的一般方程为

xy

z

o

1283

442

22

22

xzy

zxzy

将其换成

L:

x

z

y0

( )

投影柱面的交线

25. 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线 (1)(1)

消去 zy2 = – 4x

y2 = – 4x

1283

442

22

22

xzy

zxzy

将其换成

L:

x

z

y0

( )

投影柱面的交线

消去 z

( 消去 x )

25. 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线 (1)(1)

.

y2+(z – 2)2 = 4

y2+(z – 2)2 = 4

y2 = – 4x

y2 = – 4x

L ：

x

z

y0

L

转动坐标系，有下页图转动坐标系，有下页图

.

.

y2+(z – 2)2 = 4

y2 = – 4x

y2+(z – 2)2 = 4

y2 = – 4x

L ：

L

x

z

y

0

y2+(z – 2)2 = 4

y2 = – 4x

y 2 + (z – 2)2 = 4

y2 = – 4x

The End

• 下面：练习 3 的答案

x

z

y0



17. 椭圆抛物面椭圆抛物面

zq

y

p

x2

2

2

2

2

x

z

y0



17. 椭圆抛物面椭圆抛物面

.

zq

y

p

x2

2

2

2

2

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曲面之 柱面、旋转面、椭球面

曲面之柱面、旋转面、椭球面