椭圆的标准方

程

教材分析

目标分析

过程分析

教法分析

评价分析

过程分析目标分析教材分析 教法分析

《椭圆的标准方程 》是学习椭圆知识的基础，对探究椭圆的几何性质起着极其重要的作用。 《椭圆 》知识是圆锥曲线知识的开始又是圆锥曲线知识的重点，从方法上，为研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。圆锥曲线是平面解析几何中主要的研究对象，在生产、生活和科学领域中有着广泛的应用。

◆地位与作用： 本节主要包括椭圆定义和椭圆的标准方程，椭圆定义是通过画图过程得出的，它是推导椭圆标准方程的基础。椭圆标准方程是椭圆的一种表示形式，是用“坐标法”推导出来的。两知识点蕴涵着转化思想、数型结合思想、分类讨论思想，对培养学生的动手探索与化归能力起着极其重要的作用。

◆知识与结构：◆重点与难点： 重点：椭圆的定义及其标准方程（因为椭圆定义是推导椭圆标准方程的基础，椭圆标准方程又是研究椭圆几何性质的基础）。 难点：椭圆标准方程的推导（这是因为标准方程的教学设计，我是让学生先回顾求曲线方程的基本方法与步骤，再按照各环节逐步推导，而且椭圆标准方程的推导本身就有一定的难度）。

过程分析教法分析

◆知识与技能： 能够理解椭圆的形成过程，掌握椭圆的定义及其标准方程；会根据椭圆的定义推导出椭圆的标准方程，会用“待定系数法”求出椭圆的标准方程。

◆过程与方法： 通过椭圆定义的自我探究，理解和体会数学概念的抽象过程，培养学生动手探索与严密的逻辑思维能力；经历椭圆标准方程的探究过程，进一步理解求曲线方程的步骤及坐标法的基本思想，培养其计算能力、数形结合能力及分类讨论的数学思想，强化数学的创新意识与优化意识。

◆情感、态度与价值观： 通过椭圆标准方程获取过程，感受数学美的熏陶，体验探索的乐趣与成功的喜悦；通过椭圆方程的推导，培养学生良好的意志品质与扎实严谨的学习态度。

目标分析教材分析

过程分析目标分析

根据学生的实际与“学案式”的教学模式，我采用探究与讨论的教学方法，注重学生自学能力、合作能力及创新能力的培养，让学生经历知识的探究过程，体会获取数学知识的方法，提高主动参与数学实践的能力，强化学生的探究意识与主体意识。在各个主要的教学环节，我主要分两个层次：先自主探究再小组讨论后交流。

教法分析教材分析

教法分析 过程分析目标分析教材分析

概念形成

概念形成

方程探究

方程探究

应用举例

应用举例

自我检测

自我检测

归纳小结

归纳小结

课题引入

课题引入

布置作业

布置作业

（一）课题引入

（一）课题引入

（二）概念形成实验操作 概念形成

① 取一条定长的细绳，将两端固定在木板的同一处， 套上铅笔，拉紧细绳，这时移动笔尖，画出的轨迹是什么？

（二）概念形成实验操作

②若把细绳的两端 拉开一定的距离，将其两端分别固定在两个定点上，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，画出的轨迹又是什么？

① 取一条定长的细绳，将两端固定在木板的同一处， 套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖，画出的轨迹是什么？

（二）概念形成实验操作 概念形成

①移动的笔尖满足的几何条 件是什么？ ②同学们是否能归纳出椭圆的定义 ？

平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的和 等于常数 ( 大于︱ F1F2 ︱ ) 的点的 轨迹（或集合）叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

◆椭圆定义：

◆ 分析总结： F1 ● ● F2

（二）概念形成概念形成

为什么常数大于 F1F2?

提出问题： 若常数小于或等于︱ F1F2 ︱，画出的轨迹是什么？

教 师 评 语 目 标 检 测

问题 1 ：请同学们举出生活中的椭圆模型。

问题 2 ： 2010 年 10 月 1 日中国自主研制的“嫦娥二号”月球探测卫星成功进入太空，此次探月完成了多项技术突破，标志着我国探月工程又迈出成功一步。同学们是否了解“嫦娥二号”升空后的运行轨道呢？

实验操作：① 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么？ 引导学生回顾圆的定义。

② 如果把细绳两端拉开一定距离，将圆心分开变成两个，绳子两端固定在两个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

定义形成：① 移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

② 你能自己归纳椭圆的定义吗？

课题引入

概念形成

疑 惑 提 要 自 学 内 容自学流程

① 理解椭圆的形成过程，掌握椭圆的定义；② 掌握椭圆的标准方程，会用“待定系数法”求出椭圆的标准方程。

自学目标

学生签字2010-11-28上交日期数学选修 2-1 第 39-42 页自学范围

《椭圆的标准方程 》

“嫦娥二号”运行轨 道全过程是 怎样的？

为什么常数大于 F1F2?

F1 F2

（三）方程探究知识回顾 方程推导 思考讨论

求曲线方程的基本方法及其解题步骤是 什么？

建 系

设 点

列 式

化 简

建系的一 般性原则

两个根式和的化 简

（三）方程探究知识回顾 方程推导 思考讨论

aycxycxaMFMF 2)()(2 222221

。

思路②：将一个根式移到另一边后再平方。

提示①：根据上式尝试推导

2222 )()( ycxycx

思路①：就原式直接平方；

提示②：设 化简椭圆的方程。 0,222 bbca

（三）方程探究知识回顾 方程推导 思考讨论

如果椭圆 焦点在 轴上，焦点则变成 ， 的意义同上，这 时椭圆的方程是 什么？

y ),0(),0( 21 cFcF ,a b

abc 关系

焦点位置

焦点坐标

标准方程

图 形

椭圆定义

◆ 讨论①：

根据椭圆的标准方程， 如何判断椭圆的 焦点位置？◆ 讨论②：

（四）应用举例例题 1 ：已知椭圆的两个 焦点的坐标分 别为 ，并且椭圆经过 点，求椭圆标准方程。

)0,4(),0,4()3,5(

例题 2 ：求满足下列条件的椭圆的标准方程：①焦距为 8 ，椭圆上一点 P 到两焦点距离之和为 10 ；

②经过两点 。3 3 7(1, ), ( , )

2 2 4A B

◆几何视角：

①确定方程形式；

②根据椭圆定义 确定 abc ；

③写出椭圆的标准方程。

◆代数视角：

①确定方程形式；

②根据条件列方程组，求 ；

③写出椭圆的标准方程。

22 ,ba

定 位

定 量

（五）自我检测

① 椭圆 上一点 P 到焦点 F1的距离等于 6 ，那么点2 2

1100 36

x y

P 到另一个焦点 F2 的距离是 _____ 。

②已知 F1 、 F2 是椭圆 的两个 焦点，过 F1的直线2 2

125 9

x y

交椭圆 于M 、 N,则△MNF2 的周长为 _____ 。

③经过点（ 2,3 ）且与椭圆 有 相同焦点的椭 圆的圆的标准方程 _____ 。

2 2

125 9

x y

④若方程 表示 焦点在 y 轴上的椭圆， 则m 的2 2

125 16

x y

m m

取值范围是 _____ 。

（六）归纳小结

定义：平面内与两个定点 F1， F2 的距离的和 等于常数 ( 大于︱ F1F2︱ ) 的点的 轨迹（或集合）叫做椭圆。

方程： ， 。 12

2

2

2

b

y

a

x 0 12

2

2

2

bab

x

a

y

方法： 求椭圆标准方程方法（待定系数法）。

思想：数形结合，分类讨论及化归思想。

（七）布置作业

①必做题：第 42练习 A 组第 1 、 2 、 3 、4 题；

②选做题：第 43练习 B 组第 1 或 2 题；

③课外研讨题：若方程 表示 焦点在 y 轴1)1( 22 ykkx

上的椭圆， k的取值 范围是 _____。

教材分析 过程分析教法分析目标分析 评价分析

本节课无论是概念的形成 还是方程的推导， 都展示了完整的探究过程。在概念形成中，通过动画 演示、实验操作、定义归纳，学生经历了由感性上升到理性的过程， 符合学生的认知规律 ,同时也培养学生动手操作与抽象概括能力。在方程探究中，通过知识回顾、方程推导、思 考讨论的设置，形成了有 效的问题支架，缩小了学生现有认知与新知之间的差距，缓解了教学难点，提高了学生的计算、化归 等能力。

本节课体现以学生发展为本的思想， 既要关注学生学会知识，又要关注学生会学知识。比如：概念形成过程中的“自主探究”；方程探究过程中“合作学习”。力图 使学生学习和体验探究数学知识的方法，获得 终身受用的学习能力与良好的数学素养。