第四章 三角形

3 探索三角形全等的条件（第 1 课时）

龙高中学 孙虎虎

找一找找一找

如图，如图，AA

BB CC

已知：已知： ΔΔABC≌ABC≌ΔΔDEF. DEF.

试找出图中相等的边和角试找出图中相等的边和角 ..

DD

EE FF

要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？

想一想

做一做1. 1. 只给一个条件只给一个条件 (( 一条边或一个角一条边或一个角 )) 画画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？

一个条件有一条边对应相等的三角形 不一定全等

有一个角对应相等的三角形 不一定全等

不能保证所画的三角形全等

2. 2. 给出两个条件画三角形时，有几种可给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。全等吗？分别按照下面的条件做一做。

做一做

(1) (1) 三角形的一个内角为三角形的一个内角为 30°30° ，一条边，一条边为为 3cm3cm ；；

（ 1) 三角形的一个角为 30°, 一条边为 3cm ；

不一定全等

两个条件

30o

3cm

2. 2. 给出两个条件画三角形时，有几种可给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。全等吗？分别按照下面的条件做一做。

做一做

(2) (2) 三角形的两个内角分别为三角形的两个内角分别为 30°30° 和 和 50°50° ；；

(2) 三角形的两个角分别是： 30° ， 50° ；

不一定全等

50o50o

两个条件

30o

2. 2. 给出两个条件画三角形时，有几种可给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。全等吗？分别按照下面的条件做一做。

做一做

(3) (3) 三角形的两条边分别为三角形的两条边分别为4cm4cm ，， 6cm.6cm.

(3) 三角形的两条边分别是： 4cm ， 6cm.

不一定全等

4cm4cm

6cm

4cm

也不能保证三角形全等 . 两个条件

2. 2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。吗？分别按照下面的条件做一做。

做一做1. 1. 只给一个条件只给一个条件 (( 一条边或一个角一条边或一个角 )) 画画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？

不一定全等

(3) (3) 三角形的两条边分别为三角形的两条边分别为4cm4cm ，， 6cm.6cm.

(1) (1) 三角形的一个内角为三角形的一个内角为 30°30° ，一条边为，一条边为3cm3cm ；；(2) (2) 三角形的两个内角分别为三角形的两个内角分别为 30°30° 和 和 50°50° ；；

不一定全等

议一议如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况吗？种可能的情况吗？

1.1. 三个角三个角2.2. 三条边三条边

3.3. 两边一角两边一角 4.4. 两角一边两角一边

做一做(1) (1) 已知一个三角形的三个内角分别为已知一个三角形的三个内角分别为 40°40° ，，60°60° 和和 80°80° ，你能画出这个三角形吗？把你，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？全等吗？

三个内角对三个内角对应相等的两应相等的两个三角形不个三角形不

一定全等一定全等

做一做(2) (2) 已知一个三角形的三条边分别为已知一个三角形的三条边分别为4cm4cm ，， 5cm5cm 和和 7cm7cm ，你能画出这个三角形，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？它们一定全等吗？

三边对应相等的两个三角形全等，三边对应相等的两个三角形全等，简写为简写为““边边边边边边””或或““ SSSSSS””。。

AB=A’B’BC=B’C’AC=A’C’

（ SSS ）

A’

B’ C’

A

B C

数学表达式：数学表达式：

在△ ABC 和△A'B'C' 中

ABC ≌ A'B'C'所以

动手做一做 准备几根硬纸条（ 1 ）取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？（ 2 ）取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成 一个五边形，又会怎么样？

（ 3 ）上面的现象说明了什么？

三角形的框架，它的大小和形状是固定不变三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性三角形的稳定性。。

你能举几个应用三角形稳定性的例子吗？你能举几个应用三角形稳定性的例子吗？

你能找到图中的三角形吗？

你能说出为什么这些地方是三角形吗 ?

课内链接

1. 1. 两个锐角对应相等的两个直角三角两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？为什么？形全等吗？为什么？

不一定全等不一定全等解：

AA

BB CC

DD

EE FF

RtRtΔΔABCABC 和和 RtRtΔΔDEFDEF不全等不全等

课内链接

2. 2. 已知：如图已知：如图 AB=CD,AD=BCAB=CD,AD=BC ，， EE ，，FF 是是 BDBD 上两点，且上两点，且 AE=CF,DE=BF,AE=CF,DE=BF,那么图中共有几对全等的三角形？说明理那么图中共有几对全等的三角形？说明理由由 ..

AA

BB CC

DD

EE

FF

分析：可先通过观察，分析：可先通过观察，初步判断有哪几对三初步判断有哪几对三角形全等，然后再根角形全等，然后再根据条件判断。据条件判断。

解： 图中共有解： 图中共有 33 对对全等的三角形全等的三角形 ..

3. 3. 已知：如图已知：如图 AB=CD,AD=BC.AB=CD,AD=BC. 则则∠∠ AA 与∠与∠ CC 相等吗？为什么？相等吗？为什么？

课内链接

AA

BB CC

DD分析：要说明∠分析：要说明∠ AA 与与∠∠ CC 相等，可设法使相等，可设法使它们在两个可以全等它们在两个可以全等的三角形中，那么，的三角形中，那么，全等三角形的对应角全等三角形的对应角相等相等 ,, 为此变四边形为此变四边形为两个三角形。为两个三角形。解： ∠解： ∠ A=∠C.A=∠C.

连接连接 BD.BD. 因为因为AB=CD,AD=CB,AB=CD,AD=CB,BD=DBBD=DB所以所以ΔΔABD≌ABD≌ΔΔCDBCDB所以∠所以∠ A=∠C.A=∠C.

这节课你学到了什么？

1. 1. 三角形全等的条件：三角形全等的条件：

三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等

((““ 边边边边边边””或或““ SSSSSS””))

2. 2. 三角形具有稳定性。三角形具有稳定性。

问题解决如图，仪器如图，仪器 ABCDABCD 可以用来平分一个角，其中可以用来平分一个角，其中AB=ADAB=AD ，， BC=DCBC=DC ，将仪器上的点，将仪器上的点 AA 与与∠∠ PRQPRQ 的顶点的顶点 RR 重合，调整重合，调整 ABAB 和和 ADAD ，使，使它们落在角的两边上，沿它们落在角的两边上，沿 ACAC 画一条射线画一条射线 AEAE ，，AEAE 就是∠就是∠ PRQPRQ 的平分线。你能说明其中的道的平分线。你能说明其中的道理吗？理吗？

A(R)A(R)

BB DD

CC

EE

QQ PP

A(R)A(R)

BB DD

CC

EE

QQ PP

小明的思考过程如下：小明的思考过程如下：AB=AAB=ADDBC=DBC=DCCAC=AAC=ACC

ΔΔABC≌ABC≌ΔΔADADCC

∠∠QRE=QRE=∠∠PPRE.RE.

你能说出每一步的理由吗？你能说出每一步的理由吗？

作业：

2. 选做题

（ 1 ）网上查找一些有关三角形稳定性的例子；

（ 2 ）你能否利用本节课的探索方法，找出其它可以使三角形全等的条件。

1. 必做题

一个四边形的门框，为使其牢固，请用木条加固，你能找出几种方法？最少用几根木条？