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★ 前回までの復習 ○無衝突自己重力多体系 ○無衝突ボルツマン方程式 ○ 定常解(平衡解)は? (strong)Jeans 定理 積分量 一方、 (巨大)楕円銀河:共通な特徴 定常状態か? *光度分布 *三軸不等楕円体 *速度分散の非等方性 しかし、二体散乱は効いていない violent relaxation Lynden-Bell 分布? 質量発散、数値実験結果とは合わない . ★ 3軸不等楕円銀河の力学構造の構築 Lynden-Bell 分布でないとすると、実際は どんな力学構造をしているのだろうか? - PowerPoint PPT Presentation
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1
★ 前回までの復習 ○無衝突自己重力多体系
○無衝突ボルツマン方程式 ○ 定常解(平衡解)は? (strong)Jeans 定理 積分量 一方、 (巨大)楕円銀河:共通な特徴 定常状態
か? *光度分布 *三軸不等楕円体 *速度分散の非等方性 しかし、二体散乱は効いていない violent relaxation Lynden-Bell 分布? 質量発散、数値実験結果とは合わない
3
従って、非等方 E 以外の積分あり(2つ) しかも、軸対称ではないので、角運動量で
はない、 積分 ◎積分量3つ 規則的軌道 (regular orbit) で 構成されているはず
等方
に積分なし)オス(エネルギー以外もし、エルゴード的カ
vdvfvvdEfvvEf
322322
2
1
),,( 321 IIIf
4
★まとめると、 三軸不等楕円体 ほとんど規則的な軌道で 構成されているはず
速度分散は等方に なってしまう regular orbits で構成 Schwar z schild: regular orbits によって、定常的 な三軸不等楕円ポテンシャルを 無矛盾に構築可能
)(
)()(
:,, ),,(
2
322
321321
VEE
VdEfViViEffif
IIIIIIff
積分量
5
★Schwarzshild の self-consistent model
Schwarzshild(1979)
*はじめて、3軸不等 (triaxial) ポテンシャル中での定常状態の
存在を示した。
2/32
222
2222
1)(
/3)(
)2/(2)()(,,
RRF
RYXRH
RYXZRGRFZYX
仮定した密度分布:
6
★ 手法
◎ρ の構成
同じものができるか?
の構成算番目の粒子の軌道を計
)(),(
eq.)(Poisson given: tritri
tvtr
i
ii
という問題に帰着。
が存在するか? となる
従って、
滞在時間番目のグリッドにいる番目の粒子が、
における密度
iiC
jiDiCr
rjiD
i
rr
N
ij
j
jj
for0
,
),(
j
:
1
i
j
7
◎ これは何をやっていることに対応するか?Cf. 2次元系(1自由度系)
:分布関数
滞在時間:大
を訪問で度々違った
が変化しないが少し違ってもである位置:小
:大
滞在時間
)を粒子が代表積分量1つのトーラス(ある
i
j
j
i
jjj
IfiC
rv
IvrI
v
I
v
I
v
II
dIrI
vIfdvvrfr
)(weight
if
,
1
9
★ その他の場合
○ figure rotation がある場合 ○軸比を変化 ○ポテンシャルの形を変化 Heisler et al.(1982), Clearly(1989),Martinet et al.(1988) など
様々な場合に軌道の安定性と分岐構造が解析されている。
10
★ 解析的に解ける場合 変数分離型 Stackel potential
* 2次元の場合
vu
vVuUvu
vu
ppH
vu
vu
22
222
22
cossinh,
,)cos(sinh2
:,
:定数
楕円座標
11
第2積分:
momentumamgular dgeneralize2
1
cos,sinh:0
cossinh
2cos
2sinh
,,,
2
22
2
22
2
22
2
22
2
:
) 軸対称に帰着(
I
LI
vru
vu
Up
vVp
u
ppvuI
z
uv
vu
12
★ その後の発展 中心: core cusp がある場合 Merritt&Fridman(1996), Merritt(1996)
による観測
cuspweak :1,cusp strong:2
,1
sellipticalbrighter for
sellipticalfainer for
HST
2
2
2
2
2
224
0
1
2
c
z
b
y
a
xmmmm
r
r
13
★ 結果
○中心部ではカオスが dominate 。 ただし、 weak cusp の場合の方がゆっくりと拡散。 ○ strong, weak cusp いずれの場合も regular orbit のみ
では self-consistent モデルを構築できない ○ stochastic orbit を入れれば構築できる “準平衡”(時間が経つと変化) ○ fully mixed stochastic orbit を中心部で使う。 しかし、 strong ではできない。*もし、 strong cusp の存在が事実 triaxial ではなく、 spheroid であろう
14
★Schwarzshild 法の問題点
定常解の存在は分かるが・・・・・
唯一性? 大局的な安定性?
実際は、どういう状態が選ばれやすいのか?
*様々なモデル作り( template) に適しているかも
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★ まとめと問題提起 ★ Violent Relaxation 位相空間のミキシング カオス ★3体問題:カオス 大自由度系は もっと複雑?!
★三軸不等楕円体 規則的軌道で構成
矛盾?? この二面性はどう説明されるのだろうか?
実は、ハミルトン系のカオス、エルゴード性とも関連
16
★ ハミルトン系のカオスと安定カオス★ カオスとは? 完全可積分系 カオス★ 完全可積分系
孤立積分:N個の保存量 はポアッソン括弧に 対して互いに包含的である
)(
const.
: )(
0
0
0
II
H
IH
I
IIHH
ii
i
ii
i
:角変数 作用変数、
tt iii )0()(
iI
jiII ji , allfor 0 ,
17
例:1次元調和振動子
q
p
J 1J 2
φ
EpdqQPJ
JH
JQ
JP
QPH
qmQm
pP
qm
m
pH
)(2
12
,
2,2cos
)(2
,
22
22
22
222
sin
18
★★ カオスの特徴と定量的判定 ◎特徴 ・非周期的運動 ・初期条件のずれが指数関数的に拡大 予測困難 ◎定量化 Lyapunov exponent: 位相空間上での軌道
t
iidt
N
ii
jj
tXj
ii
N
edtd
eted
etd
tet
txetd
xx
F
dt
xd
tXFdt
tXd
txtxtxtX
)0(~)(0
),(),0(
),(1),(
)(),(
),()(
))(),(),(()(
0)0(,
2/1
1
2
)(
21
0
不安定
lnlim
ベクトルでのある一つの単位
におけるは、space
tangent)0(0Xe
23
★★ 安定カオス安定カオス
◎大きく分けて2種類のカオス ・ ergodic chaos
・ stable chaos
カオスであっても長時間、あたかも “ regular” のようにみえる *ある場合は、位相空間での残存トーラスの 複雑な自己相似構造に起因
24
★★ 安定カオスの例 ◎ Stagnant motion Y.Aizawa etal.(1989)
Stagnant layerStagnant layer KAM ( or cantor) トーラスの周りを 長時間まとわりつく *カオスであってもあたかも “ regular” のようにみえる
◎残存トーラスのフラクタル構造
・・ pausing time T: long time tail correlation!
stagnant layer
KAMエ ル ゴ ー ド
領 域
)20()( TTP
26
★ 問題提起
★ “ 安定カオス” ・長期的にトーラス付近に まとわりつく ・状態の遷移 ・滞在時間の分布 ベキ分布 トーラスのフラクタル構造 自己重力多体系でもみられないだろうか? *楕円銀河の力学構造の二面性を説明可能か!? カオスであり、かつ regular になっている
27
★ 大自由度系での緩和と mixing (混合性)
カオス:少数自由度でも複雑な運動 熱平衡化
大自由度系:自由度を増やす ノイズを加える 熱平衡化しやすいと期待 系のサイズN ∞ の時に、 KAM トーラスの 体積は0になるのか?
◎大自由度系の保存系は熱平衡になるしかないか? ◎カオスと regular 領域の混在する系での緩和、 熱平衡化に関しては未開拓
28
§8 .自己重力多体系の緩和過程 8 -1 緩和過程と混合性
Relaxation Process of Normal Gas(Liquid) on the Ground Relaxation:approach to the thermal equilibrium (“thermalization”: 熱平衡化 ) (熱平衡)
the maximum entropy state
thermal equilibrium (Maxwell-Boltzmann distribution) microcanonical distribution (ミクロカノニカル分布) We can see this thermalized state at any time after relaxation.
29
★Microscopic dynamics is described as a trajectory
in the Γ space(2×D×N-dimensional phase space) D:spatial dimension N:number of particles
Γ space Relaxation process = Mixing (混合性) ===>Ergodicity (エルゴード性) In the mixing system, a small but finite part of the phase space spread over a whole ergodic region by means of coarse graining .
Chaos N>>1 random collision information loss
Relaxation Time τ ~ tKS=1/hKS
(hKS:Kolmogorov-Sinai(KS)entropy)
30
★ エルゴード性と混合性 ○エルゴード性:物理量の長時間平均=集団平均
しかし、 エルゴードだからといっても、混合性ではなく、 緩和と関係ない場合もある。
例:1個の調和振動子: エルゴードであるが、しかし、緩和とは 関係ない
布 等エネルギー面上 ミクロカノニカル分
SE E
T
T
xdxfxdxxff
dttxfT
f
)()()()()(
),(1
lim0
31
★ 混合性:熱平衡に近づくために、エルゴードより強い条件
◎混合系 エルゴード系 (証明は、参考文献の中野・服部の text を参照)
位相空間 (Γ 空間)での phase mixing による
分布の広がり
カオスの発生メカニズムとも対応
32
★ 混合性の定義A B
φ t
AB
の割合全体の中の
ある割合がの中に
長時間後、
は、これが意味するところ
合性の必要十分。以下を満たすときが混の測度が、との共通部分このとき、
とする。によって時間進化するが力学進化を考える。部分空間位相空間の中の可能な
AAAB
B
BA
BABAlim
BAB
A
BA,
t
tt
t
t
33
★ 熱平衡状態への緩和について
混合性 相関の消滅 (初期情報の消滅) ◎ Mixing と粗視化 mixing
( ほぼ全域から) 軌道が入ってくる + 粗視化 (非可逆性が入る!)
Γ 空間の E= 一定面上でどこでも同じ “安定”(平衡)
0
34
つまり、 ミクロカノニカル分布になる
)/1,(
lnln
E
),(
:,,,
CpdxdEH
pdxdkkS
pxf
CEpxHCpxN
すべての分布の中で)一定面上で与えらるエントロピーは極大(
ミクロカノニカル分布
一定
35
★緩和時間と KS エントロピー ◎ Kolmogorov-Sinai(KS) エントロピー
◎物理的意味 初期での little phase volume
時刻 t後 mixing する time scale :その系で、現在までにある巨視的物理量の測定をあらかじめ どんなに多数回測れたとしても、現在の値は確定しない。
系の自由度)(
リアプノフ指数
エントロピーハミルトン系の
:N
:
0:for
KS
2,,2,1 Nii
ii
iKS ih
0 thKSt exp0
1 KSmix h
36
Problem: How is the relaxation process in the self - gravitating system? Is the relaxation process similar to the normal gas? In general, N≧3 Chaos If N>>1 Strong Chaos?? Strong Mixing? Relaxation is strengthened?
37
8 -2 1次元重力シート多体系 ------- Sheet Systems------- N identical plane-parallel mass sheets, each of which has uniform mass
density and infinite in extent in the vertical direction of the moving
★ Advantages
○ phase space is compact, which makes the system tractable in considering ergodicity ○the evolution of the system can be followed numerically with a good accuracy. ○we can study the properties induced by long range forces even in the 1-D systems.
) 2(2
:nHamiltonia 2
1
2
ji
ij
N
ii
xxGmm
H v
38
8-3 緩和過程とカオス的遍歴 Complicated approach to “the r malization”
Initial state (virial equilibrium: ビリアル平衡 ,τ ~ tc ) Microscopic relaxation: energy equipartition ( エネルギー等分配) “ quasi-equilibrium state(QE)( 準平衡状態)” τ ~Ntc
Macroscopic relaxation: transit state(TS) e.g. τ ~ 104Ntc (遷移状態)
QE TS QE ---------
thermal equilibrium(long time average=ensemble average)
microcanonical distribution (ミクロカノニカル分
布) τ ~ 106Ntc (tc: crossing time, the typical time in which a sheet crosses the system)
40
★ Degree of deviation from equipartition (if fluctuation behaves in the same manner as thermal noise--->
N=64
2/1
1
20
10 )(
1)(
N
ii t
Nt
2/1)( tt
tdtt
tt
it
it
o 0
1limlim
43
★Microscopic relaxation ○ エネルギー等分配が成立 ○ エネルギー分布関数は、ほとんど変化せず。 “準平衡状態” ○緩和時間 τ~ Ntc
★Macroscopic relaxation ○ degree of deviation やリアプノフ指数の値が 変化 ○エネルギー分布関数が変化 “等温分布”に“似た”状態(遷移状態)に移行
○緩和時間 τ~ 104Ntc
45
★Macroscopic relaxation 以後について この緩和で、“等温分布”にいったものと思ったが。。。 実は、これは、カオス的遍歴の始まりに過ぎなかった。◎エネルギー分布関数がもとに“近い”状態にもどった。
46
★Chaotic Itinerancy( カオス的遍歴) e.g.
:degree of deviation from equipartition
(if fluctuation behaves in the same manner as thermal noise--->
N=64 N=32
averaged
in time
over the
interval
2/1
1
20
10 )(
1)(
N
ii t
Nt
2/1)( tt
tdtt
tt
it
it
o 0
1limlim
3102t5102t
48
★ 準平衡状態と遷移状態の遷移メカニズム ◎遷移状態:1個の粒子が high energy をもつ ◎位相空間: 外側にある粒子の“回転” 遅れるーー>エネルギーをもらう 早くなるーー>エネルギーを失う
準平衡状態 遷移状態への移行直前
49
★Remarks
1. Complicated relaxation process
Chaotic Itinerancy :
Probability distribution of the life-time of TS:
(QE: )
Fractal structures of the barriers
in Γspace
2.Time scale of relaxation
What determines the time scale?
Size of the largest barrier?
2)( P
)/1(
/1,/1
minmicro
maxKSKSth
Lyaph
5.0)( P
52
N ∞ , Chaos Regular(≠Normal Gas) Lyapunov exponent (リアプノフ指数) :
λ> 0 chaos
N=2:regular, N=3:chaos ===> N ~ 20===> N ∞
most complex regular “Close encounter” (correlation of 2-body) vs. Mean force Chaos Regular (integrable system :可積分系 ) N:smaller effective vs. N:larger effective
)1for (5/1 NN
d(0)
d(t)ln
1lim
,0)0( ttd
tedtd )0()(
53
★ カオス的遍歴についてーー>秩序状態ーー>乱れた状態ーー>秩序状態ーーー>例: 乱流 非平衡神経回路モデル GCM ( Globaly Coupled Map )
個々の変数のカオス性と平均場による 引き込みとの競合
マップ 例 :ロジスティック 2
11
1)(
)1()(
axxf
jxfN
ixfixN
jnnn
55
★ 議論 1. Chaos vs. Regular N: finite Chaotic itinerancy 2. “Equilibrium state”
relaxed normal gas sheet system after “relaxation”
Maxwell-Boltzmann distribution Transformation!!
This system can be divided into This system cannot be divided into the independent subsytems the independent subsytems
---> “ensemble average”
3. Other systems governed by long range forces e.g. Potential: (Ref.L.Milanovic et al. phys.Rev.E57,2763(1998))
-----> slow relaxation is similar.
)5.4,5.1,1(
ij xx
56
8-4 集団運動の規則性 ◎通常の気体など 粒子数大(大自由度) 軌道はカオス(予測不可能) しかし、 大自由度が幸いして、緩和後の巨視的な 系の状態を予測可能(統計力学の勝利) ◎1次元重力系 ○大自由度になればなるほど、カオス性は薄れる: ・緩和時間が長くなる ・有限の自由度では、カオスと規則性との競合により 複雑な遷移現象を起こす ○エルゴード性が成立し、長時間平均=位相平均が 成り立っても、系全体の分布は熱平衡分布には 留まらない
57
★ 集団運動の規則性 *1次元自己重力系での巨視的な状態の変化を “集団運動”と呼ぶことにする ◎ Chaotic Itinerancy prediction
(Transformation) Hamiltonian
◎ Time scale of relaxation prediction
(Probability distribution
of QS and TS life time)
重力多体系における集団運動の規則性を何らかの法則で予測できないか?
59
★ 3次元自己重力系(楕円銀河など)は どうなのか? ○長距離という性質は同等: N 大で平均場が効く *位相空間での mixing は完全ではない(無衝突系なので 当然) 部分的な緩和ではないか?! (ある特徴のみ共通)
○1次元系とのポテンシャルの形の違い どう反映するか? *少数の粒子が遠方に移動し(ハローを形成)、 他の大多数はコアを形成する ○(巨大)楕円銀河:準平衡状態ではないか。 regular orbit や安定カオス軌道が dominate かも。 本当の力学構造を知りたい アストロメトリ観測
60
★今後の発展 理論:カオス、複雑系、新たな統計力学 他の様々な長距離力系のモデル 3拍子 実験:数値シミュレーション (スパコン、専用マシン) 観測:天の川銀河のハロー、バルジ 構造 高精度アストロメトリ観測欧米の計画: GAIA(ESA) 、 SIM(NASA) :すべて可視光
日本独自の計画 (赤外線スペースアストロメトリ(JASMINE)計画、VERA計画)http://www.jasmine-galaxy.org/index-j.html
62
参考文献 (I) References on our work 1. T.Tsuchiya , T.Konishi and N.Gouda,
Physical Review E, 50, 2607(1994). 2. T.Tsuchiya, N.Gouda and T.Konishi, Physical Review E, 53, 2210(1996). 3.T.Tsuchiya, N.Gouda and T.Konishi, Astrophysics and Space Science, 257, 319(1998). 4. T.Tsuchiya and N.Gouda,
Physical Review E, 61, 948(2000). 5. 土屋俊夫、小西哲朗、郷田直輝 「重力シート多体系の緩和過程とカオス的遍歴」、 日本物理学会誌 1997年 10月号 783頁 6. 郷田直輝 「自己重力多体系の物理」、数理科学 2000年 3月号 76頁(サイエンス社)