數學本質概念數學本質概念─ ─ 角度角度 ─ ─

教科四 周韻芳歷史四 林慧玲

中華民國 95 年 5 月 11 日

壹、角的數學結構壹、角的數學結構• 一般說的角概念• 理想的角概念 從實際經驗及數學上的定義，角的意義可分成以下三方面

來說明（Ｍｉｃｈａｅｌ Ｃ . １９８９） :

（ 1）角是一雙定出兩個方向間的差量之射線。（ 2）角是自同一端點射出的兩射線圍出的一個平面區域。（ 3）角是一射線繞其端點旋轉一個程度的量。

壹、角的數學結構壹、角的數學結構• 角度的數值化 所有度量角的方法均以細分圖為基礎，一般有二種常用

的單位，它們分別根據「度」和「弧長」來量。

（ 1）度：若一圓以半徑將之等量分割為 360 部份，則每二相

鄰的半徑所來的角為 1度，記作 1 。（ 2）弳：一個圓心角所對弧的長，與圓的半徑成正比。如 果取圓心角所對的弧長對其半徑的比值作為圓心 角大小的度量，則此度量稱為弳，又稱為弧度。

壹、角的數學結構壹、角的數學結構• 角的測量 :

對初學者而言，量角器是一把量角的怪尺，且是完全陌生的儀器，指導時，宜利用以尺量長度的舊經驗及角的張開程度的概念與量角器的結構相結合。 初學者而言，為要使其理解幾度乃是幾個 1度之累積，故教學時宜適當引出將角的一邊和量角器上的零度線重疊的測量策略。

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貳、認知結構貳、認知結構1.1. 圖形角圖形角 荷蘭數學教育家 van Hiel

e 夫雪對兒童幾何思考模式的研究指出：

兒童最初是透過視覺觀察具體物，由實物的輪廓來辨認圖形，須透過感官的操作，視覺的觀察進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。

補上圖示例子

貳、認知結構貳、認知結構2. 2. 張開角張開角 由於角的多種不同意義，兒

童對角的理解較困難。 8 至 9歲的學童對角的認識，

大都僅止於物體上靜態的角之局部形象。因此為使理想化的角概念和實物上的角產生聯結，應利用「角概念的產品」 。

Ex ：如扇子的開合現象 ， 剪刀的開合。

貳、認知結構貳、認知結構3. 3. 旋轉角旋轉角

是一種動作，動作停止，其現象即消失，為具體呈現其起始位置和終止位置，通常以直線段或身線表出，若要強調其起始位置及旋轉方向，常以「 」指示，如

兒童角量概念的發展特徵兒童角量概念的發展特徵• 根據皮亞傑（ J. Piaget ）的研究發現，角的大小常被兒童認為和角臂的長度有關。 8 歲以前的兒童，大都以角的邊長來觀察角的大小，直到 8 歲以後，才能察覺角的兩國張開的程度，但此時許多學童尚缺乏角的保留性概念，同大的角，若擺置的方向不同 ，如以下所示

a 和 b 為同大的角， c 和 d 皆為直角，但擺放的開口方向不同，他們會認為大小不一樣。

由由直觀比較直觀比較、、直接比較直接比較到到間接比較間接比較判定判定兩個或兩個以上的角之大小兩個或兩個以上的角之大小

• 直接比較與角所附著情境的不同，可分成四種不同難易層次，由低而高分別為

• （ 1 ）單純角形且可任意移動的二角之疊合；• （ 2 ）一角可隨意拿動，另一角不可單獨移動；• （ 3 ）兩角皆不可單獨移動，但其附著物可隨意移動，

且可疊合；• （ 4 ）實物上的角，其中至少一個便於拿動。教學時，

自較低層次的比較情況開始，再漸進到較高層次的比較。

由建立直角概念，察覺長方形、正方形、由建立直角概念，察覺長方形、正方形、直角三角形的特徵直角三角形的特徵

• 直角的形成及角的分類• 兒童直角概念的認知發展特徵• 直角概念的建立

参、教學策略参、教學策略

迷思概念迷思概念 11 教學策略教學策略量角器的使用：量角器有兩排刻度會看錯邊。

1. 把量角器的中心點對齊欲測量角度的頂點，並讓要測量角度的一邊對齊量角器的零度邊，依此再判斷另一邊是在哪一刻度的線上，則為此角度之值。

2. 重新測量，注意零的位置。多練習。3. 正誤區辯，讓小朋友共同澄清如何測

量。

参、教學策略参、教學策略 迷思概念 迷思概念 22 教學策略教學策略

旋轉角的問題：角度 80 度和 100 度會分不清楚，因為量角器有兩圈刻度，會無法分辨是哪一個。讓學生看開口，當開口在左邊時 就從左邊的 0 開始看，當開口在右邊時就從右邊的 0 開始看。

讓學生看開口，當開口在左邊時 就從左邊的 0 開始看，當開口在右邊時就從右邊的 0 開始看。

参、教學策略参、教學策略 迷思概念 迷思概念 33 教學策略教學策略

角度若有並排的角時，學生會認為上面的角會比下面的大。例如：

請學生拿出三角板，實際去量每一個角度到底有多少，再決定角的大小。

認為線條的長短會影響角的大小。例如以下這三個角，雖然三個角度相同，學生會誤判長度越長，角度越大。

結論結論• 新課程的設計注重學童的認知發展程序• 從圖形角的認識到張開角以至旋轉角，分成三個階段來引導

• 採用製作、描繪及觀察，自實際生活現象中抽離出概念的原則

• 期望兒童有較長的時間理解各種角概念• 從操作、反覆思考及共同討論的學習活動中，對角度的意義及其測量方法有正確的認識

• 將其活用於生活中，使學習更有效果

參考資料參考資料• 林宜臻老師的數學園地• 角的課程設計理念－劉好 台中師院數教系• 角度測量－數位教具• http://content.edu.tw/primary/math/jm_jh/math/s2middle/

s209.htm• http://www.naer.edu.tw:8080/• http://www.interactive-resources.co.uk/mathspack1/angl

e/angle.html• http://www.interactive-resources.co.uk/mathspack1/angl

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