CHAPTER 02

向向向向 量量量量大綱 表格圖片

2-1 三角函數

2-2 純量與向量

2-3 向量的表示法

2-4 向量的加法

2-5 向量的減法

2-6 向量的分解

2-7 向量的相乘

CHAPTER 02

向向向向 量量量量大綱 表格圖片

圖2-1

圖2-2

圖2-3

圖2-4

圖2-5

圖2-6

圖2-7

圖2-8

圖2-9

圖2-10

圖2-11

圖2-12

圖2-13

圖2-14

圖2-15

圖2-16

圖2-17

圖2-18

圖2-19

圖2-20

圖2-21

圖2-22

圖2-23

圖2-24

圖2-25

圖2-26

圖2-27

圖2-28

CHAPTER 02

向向向向 量量量量大綱 表格圖片

表2-1

P. 4

2222----1111 三角函數三角函數三角函數三角函數

（一）有向角

(1)自正x軸以反時針方向測量半徑 與正x 軸的夾角

時，其角度為正；反之，以順時針方向所測得的

角度為負，例如30°與－330°表示同一角度。

(2)平面角有二種不同的單位，即度或弧度（亦稱

弳），轉一圈相當於360°或2π弧度，因此

180°＝π

30°＝π／6＝0.52弧度

OA

P. 5

(3) 弧度= 或 θ= (2-1)半經

弧長

r

s

P. 6

(二)三角函數的定義

(1)在圖2-2中，當A點在第一象限時，就直角三角形OAB

而言，其三個銳角三角函數的定義如下：

正弦函數：sinθ= ( ) (2-2)

餘弦函數：cosθ= ( ) (2-3)

正切函數：tanθ= ( ) (2-4)

r

y

r

x

x

y

斜邊

對邊

斜邊

鄰邊

鄰邊

對邊

P. 7

(2)θ可推廣至任意其它角度，在圖2-2中，如果設半

徑r等於1，則半徑 在y軸上的投影（或分量）

就是正弦函數值，而在x軸上的投影 就是餘弦函

數值

OA OC

OB

P. 8

(3)表2-1是一些較常用角度之正弦和餘弦函數值。

P. 9

例題一

如圖2-3所示，直角三角形ABC的斜邊 為5公尺，

θ為37º，求(a) 的長度為何？(b) 的長度為何？

AB

AC BC

P. 10

解解解解：：：：(a) 由(2-2)式可得

sinθ＝

對邊=斜邊 × sinθ (1)

故 =5 × sin37 º = 3公尺

(b)由(2-3)式可得

cosθ＝

鄰邊=斜邊×cosθ (2)

故 =5 × cos37 º =4公尺

AC

斜邊

對邊

BC

斜邊

鄰邊

P. 11

（三）反三角函數

在圖2-4之直角三角形ABC 中，如果已知其邊長，要計算

銳角的角度，可以利用反三角函數，例如：

sinβ= 故 β=sin－1( )

cosβ= 故 β=cos－1( )

tanβ= 故 β=tan－1( )

c

b

c

b

c

a

c

a

a

b

a

b

P. 12

上面這些反函數符號 sin-1、cos-1、tan-1，亦可用arc

sin、arc cos、arc tan來表示，反三角函數的答案，很

容易由計算機求得。

P. 13

例題二

如圖2-4之直角三角形中，已知兩股長 ＝5公尺

， ＝12公尺，求角度θ為何？

解解解解：：：：由於 tanθ＝ ，故 θ＝ tan-1( )＝22.6°

AC

BC

12

5

12

5

P. 14

（四）三角函數的一些公式

以下介紹本書中將使用的一些關於三角函數的公式：

(1)sin(90°－θ)＝cosθ (2-5)

例如：sin30°＝sin(90°－60°)＝cos60°＝0.5

(2)sin(180°－θ)＝sinθ (2-6)

例如：sin150°＝sin(180°－30 °)＝sin30°＝0.5

(3)sin2θ＝2sinθcosθ (2-7)

例如：sin120°＝sin(2×60°)＝2sin60° cos60°＝ ／23

P. 15

(4)正弦定律：在圖2-5之△ABC 中，三邊長與三內

角之關係式為

(2-8)γβα sinc

sin

b

sin

a ==

P. 16

(5)餘弦定律：在圖2-5之△ABC 中，邊長與內角之關係

式為

c2＝a2＋b2－2abcosγ

b2＝c2＋a2－2cacosβ

a2＝b2＋c2－2bccosα (2-9)

P. 17

(6)當角θ很小，且以弧度為單位時，sinθ、tanθ及θ

三者的數值非常接近，即

sinθ≈ tanθ≈θ (2-10)

例如：當θ=5º=0.0872弧度時，

sin0.0872=0.0871，tan0.0872=0.0874，

這些誤差很小，故sinθ≈θ，tanθ≈θ。

P. 18

2222----2222 純量與向量純量與向量純量與向量純量與向量

（一）有些物理量僅須描述其大小就能明確表示其特

性稱為純量，如時間、質量、路徑、面積、速

率、能量、功、電荷等皆為純量。

（二）有些物理量必須同時描述其大小和方向才能完

整表現其特性的物理量稱為向量。例如位移、

速度、加速度、力、力矩、動量等皆為向量。

P. 19

2222----3333 向量的表示法向量的表示法向量的表示法向量的表示法

在一維之直線上運動的質點，只有兩個運動方

向，其中一個方向若定義為正，另一個方向則為負，

因此，可用正、負號來表示其方向性。

但對於一個在二維平面或三維空間運動的質點，

常用箭號表示，以下介紹向量的表示法：

P. 20

（一）符號表示法

(1)向量通常有兩種表示方法，一種是在代表物理量的符

號上方加一橫向箭頭，比如 表示速度向量， 表示

力向量。

(2)另一種方法是用粗體字母來表示，如 v、F。手寫時，

以前者表示較方便。

(3)如果只論及向量的大小，一般直接以物理量的符號來

表示，如 v、F，或是對該向量加上絕對值符號，

如| |、 | | 或 |v|、|F|。

vv

Fv

vv

Fv

P. 21

（二）圖示法

(1)以箭號來表示向量，其箭頭的指向表示向量的方向，

其長度代表向量的大小。

(2)如圖2-6所示，以線段1公分代表10公里，則3公分表示

30公里，方向朝東。

P. 22

（三）單位向量

(1)單位向量是指大小等於1，並指向某一特定方向的向

量，例如向量 可寫為

＝A (2-11)

上式中 表示平行於 的單位向量，其大小| |=1。

(2)習慣上，在字母上方加帽號 ^ 表示單位向量，

加箭號 則表示一般向量。

Av

Av

n̂ n̂

n̂Av

P. 23

(3)在三維的坐標系中，分別以 、 、 來表示朝向x、

y、z軸之正方向的單位向量，如圖2-8所示。

î ĵ k̂

P. 24

2222----4444 向量的加法向量的加法向量的加法向量的加法

二個向量 與 相加，其向量和 可寫為

＋ ＝ (2-12)

（一）三角形法

(1)在圖2-9(a)中，有兩力同時作用於一物體O，向量

平移時不能改變其大小和方向。如圖2-10，先畫

出向量 ，再畫向量 ，使 的箭尾接於 的箭

頭，然後由 的箭尾畫一直線至 的箭頭，所形

成的向量即為向量和 。

Av

Bv

Rv

Rv

Av

Bv

Av

Av

Av

Bv

Bv

Bv

Rv

P. 25

P. 26

(2)一般而言兩向量之和的大小不等於兩向量大小之

和（何種情況除外？），其關係式為

| |＋| | ≧ | ＋ | (2-13)

(3)將向量平移，使兩向量箭尾相接，其間較小的夾

角，即稱為兩向量的夾角，如圖2-9中之θ，而

非指α。

Av

Av

Bv

Bv

P. 27

(4)以下我們討論 與 在特殊夾角時，

其向量和 的特性：

(a)若 與 同方向時：即夾角為0°時，由圖2-11

可知，其向量和的大小直接等於兩向量大小之

和，即R＝A＋B，而向量和的方向與其分量同

方向。

Av

Bv

Rv

Av

Bv

P. 28

(b)若 與 反方向時：即夾角為180º時，由圖2-12可

知，其向量和的大小等於兩向量大小之差，

即R＝|A－B|，而向量和的方向與其分量長度較大

者同方向。

(c)若 與 互相垂直：即夾角為90°時，由圖2-13及畢

氏定理可知，其向量和的大小為R＝ ，向

量和 與 的夾角為 tan-1(B／A)。

Av

Bv

Av

Bv

Rv

Av

22 BA +

P. 29

（二）平行四邊形法

(1)在圖2-14(a)中，使兩向量的箭尾相接，再以此兩

向量為鄰邊作出平行四邊形，然後自兩向量箭尾

相接處畫至另一對角所得的對角線向量，即為兩

向量之和。

(2)向量的加法遵守交換律，即

＋ ＝ ＋ (2-14)Av

Av

Bv

Bv

P. 30

P. 31

（三）多邊形法

(1)如圖2-15(a)所示，求三個或更多向量之合向量

時，可將各向量平移，使其箭頭箭尾連續相接，

然後自第一個向量的箭尾畫至最後一個向量的箭

頭，所形成的新向量即為各向量的合向量，如圖

2-15(b)所示。

(2)向量的加法遵守結合律，即

( ＋ )＋ ＝ ＋( ＋ ) (2-15) Av

Av

Bv

Bv

Cv

Cv

P. 32

P. 33

2222----5555 向量的減法向量的減法向量的減法向量的減法

（一）兩向量 與 相減可寫為

＝ － ＝ ＋(－ ) (2-16)

（二）求 － 之差的簡便方法，為將兩者之箭尾相

接後，自 之箭頭畫一向量至 之箭頭，所形

成的新向量即代表兩向量之差。Av

Av

Bv

Bv

Av

Av

Av

Bv

Bv

Bv

Dv

P. 34

（三）兩向量相加或相減時，若用平行四邊形法來圖解，

則其中一對角線代表兩者之和 ＋ ，如圖2-17之實線向量所示；另一對角線代表兩者

之差 － ，如圖2-17之虛線向量所示。Av

Av

Bv

Bv

P. 35

例題三

在圖2-17中，若 與 兩向量的大小分別為10與6，

兩向量之夾角為60°，試求 (a) ＋ 的大小為何？

(b) － 的大小為何？

解解解解：：：：

(a)在△OMQ中，利用餘弦定律可得

| + |= = =14

(b)在△OPM 中，利用餘弦定律可得

| + |= = =8.7

Av

Av

Av

Bv

Bv

Bv

Av

Av

Bv

Bv

°××× 120cos6102610 22OQ

PM °××× 60cos6102610 22

P. 36

2222----6666 向量的分解向量的分解向量的分解向量的分解

（一）二維平面之向量的分解

(1)平行四邊形法

(a)一般最常用的是將一向量分解為互相垂直的兩分量，

如圖2-18(b)所示，將向量 的箭尾置於直角坐標系

的原點O上，再自 的箭頭分別作x軸與y 軸的垂直

線，所得之Ax與A

y即分別為向量 在x軸與y軸上

之分量的大小。若θ為向量 與正x軸的夾角，則

Ax=A cosθ (2-18)

Ay=A sinθ (2-19)

Av

Av

Av

Av

P. 37

P. 38

(b)用分量來表示原來的向量時， 可寫為

(2-20)

例如圖2-18(b)中之 箭頭處的坐標若為(3，4)，

則

＝

(c)反過來，利用分量可求得原始向量 的大小及方

向，在圖2-18(b)中，由畢氏定理可得

(2-21)

tanθ= 或 θ=tan-1 (2-22)

Av

jθAiθAjAiAAA=A yxyx ˆsinˆcosˆˆ +=+=+vv

Av

ji ˆ4ˆ3 +Av

Av

22yx AAA +=

x

y

A

A

x

y

A

A

P. 39

(2)三角形法

以原始向量 為斜邊，畫出一個直角三角形，則

所得之兩股即為其兩個互相垂直的分量，如圖2-

19所示，得

＝

Av

Av

yx AAvv

+

P. 40

（二）三維空間之向量的分解

(1)在三維空間中，以原始向量 為體對角線，x軸、y

軸和z 軸為邊，畫出一個長方體，所得之長(Ax)、

寬(Ay)和高(Az)分別為原始向量 平行於三個坐標

軸的三個分量。

Av

Av

P. 41

(2)原始向量 可表示為

＝ (2-25)

例如，在圖2-20(a)中之 箭頭處的坐標

若為(3, 4, 5)，則

Av

Av

kAjAiA zyx ˆˆˆ ++vv

Av

k5j4i3A ˆˆˆ ++=v

P. 42

(3)在圖2-20 (a)中，由畢氏定理可得 的大小為

A2＝A12＋A2

2 (2-26)

由圖(b)可得

A12＝Ax2＋Ay2 ， A22＝Az2 (2-27)

因此，在三維空間中 的大小與其分量的關係

式為

A＝ (2-28)

Av

Av

222zyx AAA ++

P. 43

（三）用分量法求向量的和與差

若有 與 兩向量，分別以單位向量表示如下：

＝

＝

則此兩向量的和與差可分別寫為

Av

Bv

Bv

Av

kAjAiA zyx ˆˆˆ ++kBjBiB zyx ˆˆˆ ++

kBAjBAiBABA zzyyxx ˆ)(ˆ)(ˆ)( +++++=+vv

kBAjBAiBABA zzyyxx ˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=−vv

P. 44

例題四

已知二向量， , ，求(a)

+ =？ (b)| + |=？ (c)A+B=？ (d) － =？

解解解解

k-jiA ˆ2ˆ2ˆ +=v

k-iB ˆ4ˆ3=v

Av

Av

Av

Bv

Bv

Bv

P. 45

例題五

在圖2-21(a)中，有四個力作用在同一物體上，其力

圖如圖(b)所示，單位為牛頓，試求其合力的 (a)大

小為何？ (b)方向為何？

P. 46

P. 47

解解解解

(a)先將每個力分解

故合力為

由畢氏定理得合力的大小為

R＝ ＝28.2牛頓22 2.57.27 +

P. 48

(b)合力與正x軸的夾角θ為

tanθ= =0.19

故θ=tan－1 0.19=10.8º

合力的向量如圖2-21(c)所示。

7.27

2.5

P. 49

2222----7777 向量的相乘向量的相乘向量的相乘向量的相乘

（一）純量與向量相乘

(1)純量m與一向量 相乘，即m ，其乘積仍然為一

向量，此新向量的大小為原向量大小的|m|倍。若

m為正，則新向量與原向量的方向相同；若m為負，

則新向量與原向量的方向相反。

(2)圖解法不難證明下列二式成立

m ＋n ＝(m＋n) (2-33)

m( ＋ )＝m ＋m (2-34)

Av

Av

Av

Av

Av

Av

Av

Bv

Bv

P. 50

P. 51

（二）純量積

向量與向量相乘可分成兩種形式，其乘積為一純量者

稱為純量積，其乘積為一向量者稱為向量積。

(1)純量積的定義

(a) =ABcosθ (2-35)

純量積 讀作「 dot 」，由於所用記

號的形式，純量積亦稱為點乘積。

BAvv

⋅BAvv

⋅ Av

Bv

P. 52

(b)上式可改寫為(A cosθ)B 或A(B cosθ)，因此，純

量積可視為 在 方向上的分量（或投影）

與 之大小的乘積，如圖2-23(a)所示；或視為

在 方向上的分量與 之大小的乘積，如圖2-

23(b)所示。Av

Av

Av

Bv

Bv

Bv

P. 53

(2)純量積的一些性質

(a) (2-36)

(b) (2-37)

(c) (2-38)

得 (2-39)

(d)若二向量皆非零向量

(2-40)

ABBAvvvv

⋅=⋅CABACBAvvvvvvv

⋅+⋅=+⋅ )(

20cos AAAAA =°=⋅vv

AAAvv

⋅=

0=⋅ BAvv

BAvv

⊥

P. 54

(3)單位向量的純量積

(a) (2-41)

(b) (2-42)

(4)分量法求純量積

(2-43)

上式展開的9項中，有6項為零，整理可得

(2-44)

10cos11ˆˆˆˆˆˆ =°⋅⋅=⋅=⋅=⋅ kkjjii090cos11ˆˆˆˆˆˆ =°⋅⋅=⋅=⋅=⋅ ikkjji

)kBjBi(B)kAjAi(ABA zyxzyx ˆˆˆˆˆˆ ++⋅++=⋅vr

zzyyxx BABABABA ++++=⋅vv

P. 55

例題六

設有二向量， ， ，試求

(a) 為何？ (b) 與 的夾角為何？

解解解解

(a)

(b) ，

由(2-35)式可得

，故

kjiA ˆ2ˆˆ2 ++=v

kjiB ˆ3ˆ6ˆ2 +−=v

BAvv

⋅ Av

Bv

432)6(122 =×+−×+×=⋅ BAvv

3212 222 =++=A 73)6(2 222 =+−+=B

21

4

73

4cos =

×=⋅=

AB

BAvv

θ °== − 79)21

4(cos 1θ

P. 56

（三）向量積

(1)向量積的定義

(a)向量積 × 讀作「 cross 」，由於所用記號的

關係，向量積又稱為又乘積。

(b)如圖2-24所示，向量積 × 的方向定義為垂直於

與 所形成的平面，且依右手定則來決定它的方向，

以右手的四個手指並攏，並自第一個向量 循較小

的夾角轉向第二個向量 ，則豎起之大拇指所指的

方向，即為向量積 的方向。

Av

Av

Bv

Bv

Av

Av

Av

Bv

Bv

Bv

Cv

P. 57

(c) 與 之向量積的大小，可視為以 與 為

邊所作之平行四邊形的面積。

Auv

Av

Av

Bv

Bv

P. 58

(2)向量積的一些性質

(a)

(b)

(c)

(d)若二個向量皆非零向量

P. 59

(3)單位向量的向量積

(a)

(b)

0ˆˆˆˆˆˆ =×=×=× kkjjiiijkji ˆˆˆˆˆ ×−==×

jkikj ˆˆˆˆˆ ×−==×

kijik ˆˆˆˆˆ ×−==×

P. 60

(c)在圖2-26中，若依順時針方向相乘，則取正號，

例如

若依反時針方向相乘，則取負號，例如

P. 61

(4)分量法求向量積

(a)

上式展開有9項，其中3項為0，經整理可得

(b)比較簡易的計算方法，是將 與 之分量按順序排

列五行，則後四行之交叉相乘積的差，即分別

為 、 、 的分量，如圖2-27所示。

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx ++×++=×vv

kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzy ˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=×vv

Av

Bv

î ĵ k̂

P. 62

例題七

如圖2-28所示，在xy 平面上有 、 二個向量，

向量的大小為10，其方向與正x軸夾50°， 向量的大

小為5，其方向與正x 軸夾110°，試求(a) ‧ 為何？

(b) × 為何？

Av

Av

Av

Av

Bv

Bv

Bv

Bv

P. 63

解解解解

(a) 與 的夾角為

θ＝110°－50°＝60°

所以兩者之純量積為

(b) 與 之向量積的大小為

依右手定則，此向量積的方向指向正z 軸方向，

所以

Av

Av

Bv

Bv

2560cos510cos =°××==⋅ θABBAvv

32560sin510|| =°××=× BAvv

kBA ˆ325=×vv

P. 64

例題八

求 與 的向量積為何？

解解解解

2 1 2 2 1

2 －6 3 2 －6

kjiA ˆ2ˆˆ2 ++=v

kjiB ˆ3ˆ6ˆ2 +−=v

kjiBA ˆ]21)6(2[ˆ)3222(ˆ)]6(31[ ×−−×+×−×+−−×=×vv

kji ˆ14ˆ2ˆ15 −−=