ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА

ВАЉЕВО

ШКОЛСКА 2011/12. ГОДИНАПРОЛЕЋНИ СЕМЕСТАР

НАСТАВНИ ПРЕДМЕТ:КВАНТИТАТИВНЕ МЕТОДЕ

ТЕМА 3.ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАЧУН

ВАЉЕВО, 20.02.2012.

НАСТАВНА ТЕМА 3.

ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ.

ПРИМЕНА ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ:

МОНОТОНОСТ И ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ И

1.1. ПРИРАШТАЈ ФУНКЦИЈЕ

х

у

y = f(x)

a а+ΔxΔx

f(a)

f(а+Δx)

y y

Δx

Прираштај аргумента (у ознаци х) је вредност за коју се повећа аргумент (независно променљива х).

Прираштај функције(у ознаци у) је вредност за коју се промени вредност функције док се аргумент повећа за х.

1.2. ПОЈАМ ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ

Ако постоји (коначна) гранична вредност

онда кажемо да је функција f диференцијабилна у тачки хо, а добијену граничну вредност називао изводом функције f у тачки хо и означавамо

0x0x

oo

x)x(f)xx(f

limxy

lim

0x

oooo x

)x(f)xx(flim)x`(f)x`(y

1.2. ПОЈАМ ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ

Пример 1: Одредити по дефиницији извод следећих функција:

xeyc

xyb

xya

)

)

) 2

1.3. ТАБЛИЧНИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈА

f (x) f ’(x)

1. C 0

2. xn nxn-1

3. ln x 1/x

4. ex ex

5. sin x cos x

6. cos x - sin x

f (x) f ’(x)

7. tgx

8. ctgx

9. log a x

10. ax ax lna

Oстали таблични изводи се могу наћи коришћењем следећег линка

x2cos

1

x2sin

1

ax ln

1

1.6. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦИРАЊА

Ако су f (х) и g(х) диференцијабилне функције у тачки х и ако су f ’(х) и g’(х) изводи датих функција, онда је:

)0)x(g())x(g(

)x('g)x(f)x(g)x('f)x(g)x(f

)e

)x('g)x(f)x(g)x('f))'x(g)x(f()d

y)x('g)x('f))'x(g)x(f()c

)x('g)x('f))'x(g)x(f()b

)0c()x('fc)')x(fc()a

2

'

1.6. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦИРАЊА

Пример 2: Одредити изводе следећих функција:

1x1x

y)d

exy)c

xlnxy)b

e15xy)a

x2

3 4

x10

1.7. ИЗВОД СЛОЖЕНЕ ФУНКЦИЈЕ

Ако је у сложена функција, тј. у = f(g(x)), тада је y’x = f ’g · g’x .

Пример 3: Одредити изводе следећих

функција:

6x5x

1xlny)d

x1x

y)c

ey)b)1xx(y)a

2

32

x5x20052 3

1.8. ДОМАЋИ ЗАДАТАК

Одредити изводе следећих функција:

x

xxyh

e

xyg

x

xyfexye

xxydxxyc

xxybexya

x

x

x

sin

ln))

1

1))

cos)sin6)

ln43)15)

2

2

3 4

710

1.8. ДОМАЋИ ЗАДАТАК

Одредити изводе следећих функција:

23

32ln))

)43sin())154()

234 567

41023

x

xydeyc

xxybxxya

xxx

1.9. ПОЈАМ ДИФЕРЕНЦИЈАЛА ФУНКЦИЈЕ

Ако је функција у = f(x) диференцијабилна у тачки а, онда се линерана функција f ’(а)·(х – а) = f ’(a)x назива диференцијалом функције f(x) у тачки а и обележава

dy = df(x) = f ’(a)x, тј.

dy = df(x) = f ’(a)dx, или

)(xfdx

dy

1.10. ГЕОМЕТРИЈСКО ТУМАЧЕЊЕ ИЗВОДА И ДИФЕРЕНЦИЈАЛА

х

у

y = f(x)

a а+ΔxΔx

f(a)

f(а+Δx)

yy

Δxdy

Пример 4: Одредити диференцијал следећих функција:

1

1)

)

sin)

735)

2

2

3

56

x

xyd

exyc

xxyb

xxxya

x

ПРИМЕНА ДИФЕРЕНЦИЈАЛА

Како је

то је .

Пример 5.

Користећи чињеницу да је f(x) = f ’(x) = ex, као

и једнакост eo = 1, израчунати е0,2.

)()()(

000 xf

xΔ

xfxΔxf

xΔxfxfxΔxf )()()( 000

1.11. ИЗВОДИ ВИШЕГ РЕДА

Нека је дата функција у = f(x) која има извод y’= f ’(x).

Извод дате функције је такође функција y’= f ’(x). Извод дате функције може имати свој извод који

се назива други извод функције и симболички означава са

Други извод функције се може написати и помоћу диференцијала функције другог реда, тј.

)(2

2xf

dx

dyd

dx

yd

)()( xfxfy

Пример 6: Одредити други извод следећих функција:

)5(sin)

1

1)

cos)

ln)

765)

2

34

xye

x

xyd

xxeyc

xxyb

xxxya

x

1.12. ИЗВОДИ ВИШЕГ РЕДА

Ако се поступак ’’извођења’’ настави, тј. ако се израчуна извод другог извода функције у = f(x) која има први извод y’= f ’(x) и други извод y’’= f ’’(x), онда се добија трећи извод функције

Изложени поступак се може наставити до добијања п – тог извода функције при чему је

')()()( xfxfxfy

')()()( xfxfxfy

)()( )1()()( xfxfy nnn

Пример 7: Одредити трећи и четврти извод следећих функција:

Пример 8: Одредити п-ти извод следећих функција:

xxyc

exyb

xxxxyax

cossin)

)

432)8

234

xyc

eyb

xyax

n

sin)

)

)

1.13. МОНОТОНОСТ ФУНКЦИЈЕ

Нека је у = f(х) реална функција која на интервалу (а, b) има коначан или бесконачан први извод. Да би функција у = f(х) на интервалу (а, b) била

* растућа довољно да у свакој тачки интервала (а, b) буде f `(х) >0 ;

* опадајућа довољно да у свакој тачки интервала (а, b) буде f `(х) < 0 ;

Пример 1: Функције у = 5х + 7 и у = х3 + 8 су монотоно растуће.

Пример 2: Функције у = - 3х + 5 и у = 1/х су монотоно опадајуће.

1.14. ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА

Тачка х = а се назива стационарном тачком функције f (х) ако је f `(а) = 0.

Потребан услов да функција f (х) у тачки а има локални екстремум (минимум или максимим) је да је f `(а) = 0.

Тачка х = а је тачка локалног максимума функције f (х) ако је f `(а) = 0 и ако је функција f (х) лево од тачке а монотоно растућа, а десно од тачке а монотоно опдајућа.

Тачка х = а је тачка локалног минимума функције f (х) ако је f `(а) = 0 и ако је функција f (х) лево од тачке а монотоно опадајућа, а десно од тачке а монотоно растућа.

Пример 9. Одредити монотоност и екстремне вредности функција:

а) у = 17

b) y = 4x - 12

c) y = -15x + 6

d) y = x2 - 5

e) y = - x2 + 6x - 8

f) y = x3 – 3х

ПРИМЕНА

Пример 10.

Добит фабрике аутомобила моделирана је функцијом у = – 0,8х2 + 128х - 100, где је х број произведених аутомобила (у хиљадама комада), а у добит у милионима динара. Када је добит највећа?

Пример 11.

Функција укупних трошкова фабрике хемијских оловки моделирана је функцијом у = ех(х – 4) + 84, где је х број произведених контејнера хемијских оловки, а у укупни трошкови у милионима динара. Када су укупни трошкови најмањи?

1.15. КОНВЕКСНОСТ ФУНКЦИЈЕ

Нека је у = f(х) реална функција која је на интервалу (а, b) два пута диференцијабилна

Ако је за свако х из интервала (а, b) f ``(х) > 0, онда је функција f(х) је на интервалу (а, b) конвексна

Ако је за свако х из интервала (а, b) f ``(х) < 0, онда је функција f(х) је на интервалу (а, b) конкавна

Ако је у тачки а f ``(а) = 0 и ако у тачки а f```(х) мења знак, онда је (а, f(a)) превојна тачка функције f (х).

Пример 11: Одредити конвексност и превојне тачке следећих функција:

a) у = 2005 b) y = x + 2 c) y = x2 – 8x + 12 d) y = x3 - 3x e) y = x4 + 1

e)2x1x

y