1

本章与第三章的关系：第三章傅立叶变换侧重于信号的分析，本章侧重于系统分析，是第三章的延续。

Recall ： )()()(*)( jHjFthtf

h(t)f(t) y(t)

H(j)F(j) Y(j)

Ch4 傅立叶变换在系统分析中的应用

2

本章与拉氏变换的关系：•是拉氏变换的一个特例 ,专门研究系统的频域特性

• Recall ：对于稳定 ( 临界 ) 系统 , 由如下关系 :

n

knnjs

KsFjF1

)()()(

• 本章面向的系统是严格稳定系统 :

( ) ( )s j

H j H s

3

Ch4 傅立叶变换在系统分析中的应用

Application: 滤波、调制、抽样

• 系统的频率响应 H(j)frequency response• 无失真传输• 理想低通滤波器• 调制与解调• 零阶保持抽样• 多路复用

Contents ：

4

1 频率响应 Frequency response H(jw)

For LTI system : f(t), h(t), y(t)

)(*)()( thtfty

)()()( jHjFjY

)]([)(

)()( thFT

jF

jYjH

Def1:

LT 中的定义：正弦激励下的稳态响应 .

5

• LCCDE:

Def 2: 对稳定系统

l

lm

llk

kn

kk dt

tfdb

dt

tyda

)()(

00

m

l

ll

kn

kk jFjbjYja

00

)()()()(

kn

kk

m

l

ll

ja

jb

jF

jYjH

)(

)(

)(

)()(

0

0

)]()([)]([)( 11 jHjFFTjYFTty 解方程：

6

2 无失真传输• 在实际应用中对失真问题的研究有两类：(1) 信号传输失真尽可能小(2) 有意识地产生失真（预失真波形的产生）

• 信号传输过程中引起失真的原因： (1) 非线性失真（产生新的频率） (2) 线性失真（不产生新的频率成分） 幅度失真 相位失真

7

无失真传输的定义• 1. 信号不失真传输含义： 系统的零状态响应与激励的波形相比，只有幅度

大小和出现时刻的不同。不存在形式上的变化。

LTI

H(j)r(t)

r(t)

t0

0e(t)

e(t)

0

)()(, 0ttKetr 时域上

8

2. 不失真传输系统的频响 H(jw) ：)()(, 0ttKetr 时域上

• 两边取傅立叶变换 e(t)--->E(jw), r(t)---> R(jw)

0)()( tjejKEjR

• 又：若时域中系统冲激响应为 h(t)

)(*)()( thtetr )()()( jHjEjR

)(|)(|)( 0 jtj ejHKejH

不失真传输系统的频响 H(jw) ：

0)(

|)(|

t

KjH

特点：幅频响应为常数， 相频响应为过原点的直线。

9

3. 产生失真的原因：

a. 信号幅度不能等幅放大或衰减— > 幅度失真

b. 信号的相移不能按比例变化— > 相位失真

c. 幅度失真和相位失真同时存在— > 同时失真

)( jH )( j

0t

10

利用失真：波形形成

11

3 模拟滤波器analog filter

•理想低通的冲激响应、阶跃响应

•物理可实现滤波器的条件 佩利－－维纳准则 希尔伯特变换

•理想低通滤波器 : 巴特沃兹逼近滤波

12

(1) 概述

•从接收的信号中，消除或较弱噪声•获得或保留有用的信号

滤波的背景，目的

滤波的原理•经典滤波器： 具有选频特性的电路。 （信号的频带和噪声的频带是可分的。）

•统计滤波器：从统计的角度出发，对所要提取的有用信号从时域进行估计，使得在统计指标最优的意义下 : 估计值最逼进有用信号， 噪声也在统计指标最优的意义下得到消除。 （随机信号处理 : 维纳滤波，卡尔曼滤波）

13

•按频带分：

•按元件分：

•按信号性质分：

滤波的分类（经典滤波器）•低通 LPF ，•高通 HPF ，•带通 BPF ，•带阻 BSF ，•全通 APF

•无源滤波器，有源滤波器

•模拟滤波器，数字滤波器

Low Pass FilterHigh Pass Filter

Band Pass Filter

Band Stop Filter

All Pass Filter

14

(2) 理想低通滤波器及其冲激响应

低通

c

截至频率,c

高通

c

带通

1c 2c

带阻

1c 2c

15

理想低通滤波器

other

eejHjH c

tjjj

0)()(

0)(

1)( jH

cc

c

c

0)( tj

16

理想低通滤波器的冲激响应)()( tte )()( trth

)]([

2

1

2

1)]([)(

0

)(1 00

ttSa

dedeejHFTth

cc

ttjtjtj c

c

理想滤波器是非因果的 0)(,0 tht

other

ejH c

tj

0)(

0

0t

2

c

主瓣宽度

c

)(th

t0

17

理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系 :

cc

)(th0t

c t

0

)(t

0t

)( 0tt 不失真传输

反比

1cc

)(th0t0 t

系统为全通网络，可以无失真传输。

18

理想带通滤波器的冲激响应

0 c 0c 0

0c 0c 0

)cos()]([2

)( 00 tttSath cc

19

(4 ） 物理可实现系统系统物理可实现要求：（ 1 ） 时域——因果系统（ 2 ）频域—— a. 佩利维纳准则： 幅频响应不能在一个频带内为零

b. 希尔伯特变换（ Hilbert ） 因果系统频响的实部和虚部之间相互

限制

0)(,0 tht

20

佩利维纳准则

djH21

)(ln

djH

2)(

0)( jH

限制了衰减速度

若因果系统的幅频响应平方可积

则存在

佩利维纳准则表明：1. 幅频响应不能在一个频带内为零2. 幅频响应是指数阶的

21

希尔伯特变换（ Hilbert ）

• 因果系统——物理可实现系统

• 因果系统频响的实部和虚部之间相互限制

22

因果系统的频谱实部和虚部关系)()()( 0 tuthth t )()()( jjXjRjH

dRX

jdXjR

jjjXjR

jjH

tuFTthFTthFT

)(

2

1

2

)()(

2

1

2

)(

)1

)((*)]()([2

1

)1

)((*)(2

1

)]([*)]([2

1)]([

)( jR ) (j X

23

dR

jX

dX

jR

)(1)(

)(1)( Hilbert

Transform

因果系统的实部被已知的虚部唯一地确定

24

（ 5） 可实现的典型滤波函数巴特沃兹逼近切比雪夫逼近

11 0

11 0

...( )( )

( ) ...

m mm m

n nn n

a s a s aA sH s

B s b s b s b

滤波器特性取决于系数 a , b

取决于分母多项式的阶次 n

n 与元器件的数目有关

25

滤波器设计的主要参数• Low Pass Analogical Filter(LPF)

)( p

)( s

p

s

通带最大衰减

阻带最小衰减

通带截止频率

阻带下限频率

22

2

)(

1lg10

)(

)(lg10)(

jHjY

jX

)( p

)( s

p s

0

)1(

p

por 0

26

1 、巴特沃兹逼近 (Butterworth)

n

p

jH2

1

1)(

0)(

707.02

1)(

1max)0(0

jH

jH

jH

pp

• 通带内最平坦滤波器707.0

0

通带截至频率

1

1

p

27

32

2

221

1)(

21

1)(

1

1)(

jjjH

jjH

jjH

62

42

22

1

1|)(|

1

1|)(|

1

1|)(|

jH

jH

jH

1( )x t1

( )y t ( )x t

1

( )y t

1

2

2( )x t

1

( )y t

4

3

3

2

1

2

280 50 100 150 200 250 300

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Butterworth filter

Frequency (w)

H(jw

)

n=1

n=4

n=8n=12

29

2 、切比雪夫逼近 (Chebyshev)（简要介绍）

通带等起伏（等纹波）特性滤波器

0

221

1)(

nT

jH

纹波系数

)1()(

)1()(coscos()(

1

1

xxnchch

xxnxTn

n=4

n=5

11

21

1

0

10

p

30

707.0

0

1

1

p

)( jH L

707.0

0

1

1

p

)( jHH

707.0)()(

0)()(

1)()(

11

0

0

HL

HL

HL

HL

HL

HL

jHjH

jHjH

jHjH

高通与低通的对应关系

31

)( jF )( jY低通 高通

)( jH

cHcL

)( jF )( jY低通

高通

)( jH

cHcL

cHcL 0

)( jH

)(acL cH 0

)( jH

)(b

带通（ BPF ） 带阻（ BSF ）

32

0 200 400 600 800 1000 12000

0.5

1

1.5

0 200 400 600 800 1000 1200-400

-200

0

200

400

33

0 200 400 600 800 1000 12000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 200 400 600 800 1000 1200-400

-300

-200

-100

0

34

0 200 400 600 800 1000 12000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 200 400 600 800 1000 1200-800

-600

-400

-200

0

35

Homework

• 4-9

• 4-10

• 4-12

• 4-1

• 4-3