Полубесконечное тонкое крылос изломом передней кромки

в гиперзвуковом потоке вязкого газа

Выпускная квалификационная работа

студента 561 гр. Ледовского А. В.

Научный руководитель:

д.ф.-м.н. Дудин Г.Н.

Московский Физико-Технический Институт(Государственный Университет)

Факультет Аэромеханики и Летательной ТехникиКафедра Аэрогидромеханики

25 июня 2009 ФАЛТ МФТИ

Введение

Цели работы:

• Вывод уравнений• Написание программы для расчетов• Исследование влияния геометрии крыла:

– стреловидности кромок

– угла скольжения

• Исследование влияния различных параметров:– температуры стенки

– числа Прандтля

– показателя адиабаты

2

Постановка задачи

3

Рассматривается режим сильноговязко-невязкого взаимодействия.

0Θ - угол полураствора крыла

- угол скольжения β

- цилиндрическая система координат, ,r θ y

1M δ¥

40

1

Re x

δ

Гиперзвуковое приближение:

Математическая постановка задачи

4

0 :y= 0, wu v w g g= = = =

:y®¥2

cos( ), sin( ),2

Uu U θ β w U θ β g ¥

¥ ¥= - =- - =

Система уравнений пограничного слоя в цилиндрической системе координат:

Граничные условия:

2

2 2

10,

1 1,

1 1,

1 1 1 Pr ( )

Pr 2Pr

ρu ρw ρv ρu

r r θ y ru w u u w p u

u v μr r θ y r ρ r ρ y yw w w w wu p w

u v μr r θ y r ρr θ ρ y y

g w g g g u wu v μ

r r θ y ρ y y y

¶ ¶ ¶+ + + =

¶ ¶ ¶æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ç ÷+ + - =- + ç ÷ç ÷ç¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è øæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ç ÷+ + + =- + ç ÷ç ÷ç¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø

ì é ùï¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ +ï ê ú+ + = -í ê úï¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ï ë ûî

ìïïïïïïïïïïïïíïïïïïï üï ïï ïï ýï ïï ïþïî2 2

1 2

γ p u wg

γ ρ

+= +

- - удельная энтальпия

221 sin( )cos( )

2

γ δ θ β δp ρ U θ β

r r θ¥ ¥

é ù+ ¶ - ¶ê ú= - -ê ú¶ ¶ë û

- формула «касательного клина»

00 0 0

0 0 0

0 0 0 0 02 0 00 0 00

0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0

0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 00

0 0 0

Θ 0,

ΘΘ Θ ,

1Θ Θ ,

Θ

δ

δ

δ

r vr u w

r θ λu w u u w p u

u v μ ρr r θ λ r ρ r λ λ

w w w w w u p wu v μ ρ

r r θ λ r ρ r θ λ λ

g w gu

r r θ

¶¶ ¶+ + =

¶ ¶ ¶æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ç ÷+ + - =- + ç ÷ç ÷ç¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø

æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ç ÷+ + + =- + ç ÷ç ÷ç¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø¶ ¶

+¶ ¶

0 0 02 020 0

0

1 1 Pr ( )

Pr Prδ

g g u wv μ ρ

λ λ λ λ

ìïïïïïïïïïïïïíïïïïïï ì üé ùï ï ï¶ ¶ ¶ - ¶ +ï ï ïê ú+ = -ï í ýï ê úï ï¶ ¶ ¶ ¶ï ï ïë ûî þïî

0 0 0 00 0, Θ , , Θr Lr θ θ y Lδy β β= = = =

2 00 0 1 0

0, , Θ ,2

U gu U u w U w v U δ v g- ¥

¥ ¥ ¥= = = =

2 0 2 2 0 0 00, , , e eρ ρ δ ρ p ρ U δ p μ μ μ δ Lδδ¥ ¥ ¥= = = =

Безразмерные переменные:

Преобразование Дородницына:

0 00 0 0 0 0

00 0 00

, Θy

δ

w λ λλ ρ dy v ρ v u

r θ r

¶ ¶= = + +

¶ ¶ò

0 0 02 02

0

1( ) ,

2e o

γδ g u w dλ

γp

¥-= - -ò

20 00 0 0 0 0

0 00 0 00

1 1cos Θ ( ) sin Θ ( )

2 Θe eδ δγ

p θ β θ βr r θ

ì üï ï¶ ¶+ ï ïé ù é ù= - - -í ýê ú ê úë û ë ûï ï¶ ¶ï ïî þ

Безразмерные переменные Дородницына А.А.

5

* 0 1/4( )λ r λ-=*

* 0 3/4 0 00 0

( ) Θδ

λv v r r u

r

¶= +

¶

В точке излома:

На кромках крыла:1/2

* 0221

1

γη λ θ

γ

-æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç -è ø

02 3/4 ** 02

* * * 0

(1 ) 1(1 )

2

θ γ w ηv v θ

p γ p θ

- - ¶= + -

¶* 02 1/2

*(1 )p θ p-= - * 02 3/4(1 ) Δe eδ θ= -

0 0 1/2 * 0( ) ( )p r p θ-=

0 0 1/2 * 0 *( ) ( , )ρ r ρ θ λ-=0 0 3/4 * 0( ) ( )e eδ r δ θ=

Учет особенностей поведения давленияна кромках и в точке излома крыла

6

Замена переменных

двумерная автомодельная система

Замена

( ) 10 02 02 ωN g u w

-= - -0 0 02 02( )ωμ g u w= - - Замена:

0 0 02 00*

0* * 0

02 0 0 02 00 02 0 02 02

0 * 00* *02 0 0

0 0 0 0 02 020 *0

*

1 5Θ 0,

2 4

1 1 1Θ Θ ( ) ,

4

1 1Θ (

2

v w θ θ wu

η p p θ

θ u u θ γ uw w v g u w N

p θ η p γ η η

θ w w γw u w v g u w

p θ η γ

æ ö¶ - ¶ ÷ç ÷- + + =ç ÷ç ÷ç¶ ¶è øæ ö æ ö- ¶ ¶ - - ¶ ¶÷ ÷ç ç÷ ÷- + = - - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç¶ ¶ ¶ ¶è ø è øæ ö- ¶ ¶ -÷ç ÷+ + =- - -ç ÷ç ÷ç ¶ ¶è ø

0 02 0*

2 0* *

02 0 0 0 02 020

** 0

1) ,

1 1 1 Pr ( )

Pr Pr

pθ θ wN

p p θ η η

θ g g g u ww v N

p θ η η η η

ìïïïïïïïïïïïïí æ ö æ öï ¶- ¶ ¶÷ ÷ç çï ÷ ÷+ +ç çï ÷ ÷ç çï ÷÷ çç ¶ ¶ ¶è øè øïïï æ öé ù- ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ +ï ÷çï ê ú÷+ = -ç ÷ï ç ê ú÷ï ÷ç¶ ¶ ¶ ¶ ¶è øï ë ûî

( ) ( )2

02 0 0 0 0 0 02* 0 0 0

0

Δ1 3 1 31 Δ cos Θ ( ) sin Θ ( ) Δ 1

2 4 Θ 2e

e e

γp θ θ β θ β θ θ

θ

ì üæ öï ï¶+ ï ï÷é ù é ùç= - - - - + - ÷í ýçê ú ê ú ÷ë û ë ûçï ïè ø¶ï ïî þ

Граничные условия:0 :η=

:箥

0 * 0 0 00, wu v w g g= = = =

0 0 0 0 0 0 00 0cos Θ ( ) , sin Θ ( ) , 1u θ β w θ β gé ù é ù® - ®- - ®ê ú ê úë û ë û

Окончательный вид системы уравнений

7

0 02 02

0*

1 1Δ ( )

2e

γg u w dη

p γ

¥-= - -ò

8

Система уравнений на кромках

0 0*

*

0 0

*

0 0 00 02 02

**

0 0 02 02

*

0,2

,

1( ) ,

2

1 1 Pr ( )

Pr Pr

v w θ

η pu u

v Nη η η

w γ θ wv g u w N

η γ p η η

g g u wv N

η η η η

ìï ¶ï - =ïï ¶ïï æ öï ¶ ¶ ¶ï ÷ç ÷ï = ç ÷ï ç ÷ç¶ ¶ ¶ï è øïí æ ö¶ - ¶ ¶ï ÷çï ÷=- - - + çï ÷ç ÷çï ¶ ¶ ¶è øïï æ öï é ù¶ ¶ ¶ - ¶ +ï ÷ç ê ú÷ï = -ç ÷ï ç ê ú÷÷çï ¶ ¶ ¶ ¶è øë ûïî

2 00 2

* 20

sin Θ ( 1 )1 9Δ

2 Θ 4 e

βγp

é ù± -+ ê úë û=

На кромках0 1θ =± 021 0θ- =

Система обыкновенных дифференциальных уравнений

Граничные условия:

0 :η=

:箥

0 * 0 0 00, wu v w g g= = = =

0 0 0 0 00 0cos Θ ( 1 ) , sin Θ ( 1 ) , 1u β w β gé ù é ù® ± - ®- ± - ®ê ú ê úë û ë û

Численный метод решения краевой задачи

/2

0

1 /24

0 2 2 11 1

Δ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) (Δ )

3[ ]

NY NY

j j NYj j

ηf η dη f η f η f η f η O η

-

=

¥

-=

+= + + +å åò

Толщина вытеснения вычисляется по формуле Симпсона 4-го порядка:

9

f f fA v B N E

θ η η η

æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ÷ç ÷+ = +ç ÷ç ÷ç¶ ¶ ¶ ¶è ø

{ } 1, , , 1, 1,

Prf u w g B

ì üï ïï ï= =í ýï ïï ïî þ

Уравнение неразрывности аппроксимируется по схеме:

где

,

Метод прогонки с учетом изменениянаправления параболичности

2

02

ΔΔ ( )n np

α p α p pθ

¶- = -

¶

Сглаживание распределения давления в процессе вычислений

1( ) ( ) Δ ( )n n np θ p θ p θ+ = +

2, 1, , 1, , 1 , 1 1, 1 1, 1 , 1,

0

1 5Θ 0

Δ 2 2 4Δ 4 2j k j k j k j k j k j k j k j k j k j k

k k

v v w w w w w w u uθ θ

η p p θ- - + - - + - - -

æ ö- + - + - +- ÷ç ÷- + + =ç ÷ç ÷çè ø

Метод релаксации+

Метод установления по времени

10

f f f fA v B N E

t θ η η η

æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ç ÷+ + = +ç ÷ç ÷ç¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø

1 Δn n n

n n f f ff f t A v B N E

θ η η η+

æ öæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ÷ç ÷ç ÷÷= - + - -ç ç ÷÷ç ç ÷÷ç ÷ç ¶ ¶ ¶ ¶è øè ø

Преимущества: 1. Простота реализации2. Плавная сходимость решения3. Малые вычислительные затраты на каждой итерации

Недостатки: 1. Ограничения на максимальный шаг по времени2. Необходимость в большом числе итераций3. Полное время расчета существенно выше

Результаты расчетов

11

Сетка: 400x100. Шаги:

( )

2 20 0

*3/4 1/202

1

1V

w w

p u wτ

r η ηθ

æ ö æ ö¶ ¶÷ ÷ç ç÷ ÷= +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç¶ ¶è ø è ø-

1510

m m

m

p p

p

+--

<Условие сходимости:

0.02, 0.02, 0.0001dy dz dt= = =

( )

0*

3/4 1/202

1

1g

w

p gτ

r ηθ

¶=

¶-

( )* *

1/2 3/402

1

1

pp

rθ=

-

- напряжение трения

- тепловые потоки

- давление

3 3* 02 4 4(1 ) Δe eδ θ r= - - толщина вытеснения

Распределение напряжения трения

12

0 00Θ 135 , 15β= =

0 00Θ 105 , 45β= =

0 00Θ 45 , 15β= =

Pr 0.72, 1.4, 0.5, 1wγ g ω= = = =

Распределение давления и линии тока

13

0 00Θ 135 , 15β= =

0 00Θ 105 , 45β= =

0 00Θ 45 , 15β= =

Pr 0.72, 1.4, 0.5, 1wγ g ω= = = =

14

Влияние геометрии крылаPr 0.72, 1.4, 0.5, 1wγ g ω= = = =

Тепловые потоки Толщина вытеснения

15

Влияние угла скольжения

Напряжение трения

Трение уменьшается в 2 раза

00Θ 105 , Pr 0.72, 1.4, 0.5, 1wγ g ω= = = = =

Влияние угла скольжения

16

Давление Толщина вытеснения

00Θ 105 , Pr 0.72, 1.4, 0.5, 1wγ g ω= = = = =

Влияние температурного фактора

17

Напряжение трения Тепловые потоки

Положение областей повышенного трения и тепловых потоков зависит от температуры стенки

0 00Θ 105 , 45 , Pr 0.72, 1.4, 1β γ ω= = = = =

Влияние температурного фактора

18

Толщина вытесненияДавление

0 00Θ 105 , 45 , Pr 0.72, 1.4, 1β γ ω= = = = =

Влияние показателя адиабаты

19

0 00Θ 105 , 45 , Pr 0.72, 0.5, 1wβ g ω= = = = =

Напряжение трения Тепловые потоки

Влияние показателя адиабаты

20

0 00Θ 105 , 45 , Pr 0.72, 0.5, 1wβ g ω= = = = =

Толщина вытесненияДавление

Влияние числа Прандтля

21

Увеличение в 1.5 раза

0 00Θ 105 , 45 , 1.4, 0.5, 1wβ γ g ω= = = = =

Напряжение тренияТепловые потоки

Влияние числа Прандтля

22

0 00Θ 105 , 45 , 1.4, 0.5, 1wβ γ g ω= = = = =

Толщина вытесненияДавление

Выводы• Написана программы для расчетов методом прогонки и методом

установления, результаты которых совпадают• Исследовано влияние геометрии и параметров потока на

характеристики течения:– Увеличение угла стреловидности приводит к существенному уменьшению

давления, трения и тепловых потоков– Расчеты для различных значений температурного фактора показали увеличение

теплообмена в 4 раза и напряжения трения в 2 раза при увеличении фактора от 0.2 до 0.8. При этом также наблюдался сдвиг локального максимума тепловых потоков на 5% от полного размаха крыла

– Изменение показателя адиабаты от 1.4 до 1.1 приводит к уменьшению трения, теплообмена и давления примерно в 2-3 раза, при этом толщина вытеснения изменяется менее чем на 25%.

– Увеличение числа Прандтля от 0.72 до 1.0 приводит к увеличению тепловых потоков в 1.5 раза. При этом обнаружено принципиальное отличие зависимости от числа Прандтля для остальных характеристик на горячем и холодном крыльях.

– Проведены предварительные исследования образования областей закритического течения на холодных крыльях и влияния различных параметров.

23