1

第四章　随机变量的数字特征

习 题 课习 题 课

2

数学期望数学期望方差方差协方差、相关系数协方差、相关系数矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵

一、本章主要内容

3

1. 理解数学期望、方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差。

2. 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。

3. 理解契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式作简单的概率估计。

4. 了解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质与计算。

5. 理解二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。6. 理解矩的概念，了解协方差矩阵。

二、本章要求

4

三、常见分布的数学期望与方差

5

四、范例分析：例 1 、如果 ξ 服从 0-1 分布 , 又知 ξ 取 1 的概率为它取0 的概率的两倍 , 求 ξ 的期望和方差 .

解：由题可知 ξ 的分布率为 ξ 0 1

P 1/3 2/3

因此有 Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)=2/3,2 2 2 2

E =0 *P( =0)+1 *P( =1)= ,3

2 2 22 2 2D =E -(E ) = -( ) =

3 3 9

6

例 2 、连续型随机变量 ξ的概率密度为

其它0

)0,(10)(

akxkxx

a

又知 Eξ=0.75, 求 k和 a的值。解 : 由性质

111

)( |1

0

11

0

a

kx

a

kdxkxdxx aa

即 k=a+1 (1)又知

75.022

)( |1

0

21

0

1

a

kx

a

kdxkxdxxxE aa

得 k=0.75a+1.5 (2)由 (1)与 (2)解得 :即 a=2, k=3.

即 k=a+1 (1)

7

例 3 、一批零件中有 9 个合格品和 3 个次品 , 在安装机器时 , 从这批零件中任取一个 , 如果取出的是次品就不再放回去 . 求取得第一个合格品之前 , 已经取出的次品数的数学期望和方差 .

解 : 假设在取到第一个合格品之前已取出的次品数为 ξ, 则可算出

0045.0220

1

10

1

11

2

12

3}3{

041.0220

9

10

9

11

2

12

3}2{

2045.011

9

12

3}1{

75.012

9}0{

P

P

P

P

因此有

319.009.0409.0)(

409.090045.04041.02045.0

3.030045.02041.02045.0

22

2

EED

E

E

8

例 4 、已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中次品数的期望值 .

解 : 假设 ξ 为取出 5 个产品中的次品数 , 又假设 ξi 为第 i 次取出的次品数 ,

即 , 如果第 i 次取到的是次品 , 则 ξi =1 否则 ξi =0, i=1,2,3,4,5, ξi 服从 0-1 分布 , 而且有

P{ξi =0}=90/100, P{ξi =1}=10/100, i=1,2,3,4,5

因此 , E (ξi )=10/100=1/10,因为

5

1ii

因此有5.0

10

15

5

1

5

1

ii

ii EEE

9

例 5：设随机变量 X的概率密度为

101

011)(

xx

xxxf

1)求 D（ X） , 2)求 )( 2XD

0)1()1()()1(1

0

0

1

dxxxdxxxXE解：

6

1)1()1()(

1

0

20

1

22

dxxxdxxxXE

6

1)( XD

10

2242 )]([)()()2( XEXEXD

1

0

40

1

44 )1()1()( dxxxdxxxXE15

1

22

6

1

15

1)(

XD

180

7

11

例 6、已知某种股票每股价格 X的平均值为 2元，标准差为 0.1 元，求 m, 使股价超过 2+m 元或低于 2-m元的概率小于 10% 。 ( 提示 : 利用切比雪夫不等式 )

解 : 由切比雪夫不等式

2

0.01{| 2 | } ;P X m

m

令2

0.010.1

m

2 0.1m 0.32m

12

解 : (1)

2

( , )

1( ), 0 1, 0 2, ( , ) 2

0,

(1) m ;

(2) ( , ) .

X Y

m x xy x yf x y

X Y

设二维连续型随机变量 的联合密度

函数为其他

求常数 的值求 的协方差矩阵及相关系数

(2) ( ) ( , )d dE X x f x y x y

xyxyxx dd)21

(761

0

2

0

2 1 3 2

0

12 6 5d

7 7 7x x x

例 7 、

1 2 2

0 0

1 61 ( , )d d ( )d d

2 7f x y x y A x xy x y m

13

yxxyxxXE dd)21

(76

)(1

0

2

0

222 ,7039

239 5 23

( ) ,70 7 490

D X

1 2 2

0 0

6 1( ) ( )d d

7 2E Y y x xy y x ,

78

xyxyxyYE dd)21

(76

)(1

0

2

0

222 ,2134

,14746

78

2134

)( 2

YD故

14

xyxyxxyXYE dd)21

(76

)(1

0

2

0

2 ,2117

)()()(),(Cov YEXEXYEYX 故

,147

178

75

2117

),( 的协方差矩阵为于是 YX .

14746

1471

1471

49023

的相关系数与YX )()(),(CovYDXD

YXXY .

6915

15

第四章 随机变量的数字特征例 8 、 ),9,2(~),4,1(~,)1( NYNXYX 独立，设

的分布；求： YX 2

解：

的分布；求： YX 2

02)2()1( EYEXYXE

259444)2( DYDXYXD

)25,0(~2 NYX 则：

13 322

14254-25

),(224)2()2(

XY

DYDX

YXCOVDYDXYXD

)13,0(~2 NYX 则：

)5.0;9,4;2,1(~),()2( NYX

16

例 9 、 两个随机变量 ξ 与 η, 已知 Dξ=25, Dη=36, , 计算 D(ξ+η) 与 D(ξ-η).

解 :

374.06523625

2

),cov(2

)]()[(

)]([)(

854.06523625

2

),cov(2

)]()[(

)]([)(

2

2

2

2

DDDD

DD

EEE

EED

DDDD

DD

EEE

EED

0.4

17

例 10 、 (ξ,η) 的联合概率分布如下表所示 , 计算 ξ与 η 的相关系数 ρ, 并判断 ξ 与 η 是否独立 ?

η ξ

-1 0 1

-1 1/8 1/8 1/8

0 1/8 0 1/8

1 1/8 1/8 1/8

解 : 由上表的数据的对称性可知 ξ与 η的边缘分布一样 , 算出为 :P(ξ=-1)=P(η=-1)=3/8P(ξ=0)=P(η=-0)=2/8P(ξ=1)=P(η=1)=3/8由对称性可知 Eξ=Eη= 0

8

31

8

31

.

08

1

8

1

8

1

8

1)( E

因此 cov(ξ,η)=E(ξη)-E(ξ)E(η)=0,则 ρ=0而 P(ξ=0,η=0)=0≠P{ξ=0}P{η=0}=1/16,因此 ξ与 η不独立 . 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子 .

18

五、练习题

19

20

21

六、练习题参考答案：

22