§3.2

二维随机变量的条件分布

在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .

)(

)()|(

BP

ABPBAP

在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率

推广到随机变量

设有两个 r.v X,Y ， 在给定 Y 取某个或某些值的条件下，求 X 的概率分布 .

这个分布就是条件分布 .

一、离散型随机变量的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复 . 定义 1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j ，若 P{Y = yj } > 0 ，则称

为在 Y = yj 条件下随机变量 X 的条件分布律 .

P{X= xi |Y= yj }=j

ji

p

p

， i=1,2, …

类似定义在 X= xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律 .

,i j

j

P X x Y y

P Y y

作为条件的那个 r.v, 认为取值是给定的，在此条件下求另一 r.v 的概率分布 .

条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质 . 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质 .

例如：i=1,2, … 0i jP X x Y y

1

1i ji

P X x Y y

解 依题意， {Y=n} 表示在第 n 次射击时击中目标 , 且在前 n-1 次射击中有一次击中目标 . 首次击中目标时射击了 m 次 .

n 次射击 击中

2 nn-11 ……………….m

击中

例 1 一射手进行射击，击中目标的概率 射击进行到击中目标两次为止 . 以 X 表示首 次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布 .

1 ,p p 0 p

{X=m} 表示

( n=2,3, …; m=1,2, …, n-1)

由此得 X 和 Y 的联合分布律为

不论 m(m<n) 是多少， P{X=m,Y=n} 都应等于

n 次射击 击中

2 nn-11 ……………….m

击中

每次击中目标的概率为 p P{X=m,Y=n}= ？

22, 1n

P X m Y n p p

22, 1n

P X m Y n p p

为求条件分布，先求边缘分布 .

X 的边缘分布律是：

( m=1,2, … )

2 2

1

(1 )n

n m

p p

1

22 )1(mn

npp

)1(1

)1( 212

p

pp

m

1)1( mpp

1

,n m

P X m P X m Y n

Y 的边缘分布律是：

( n = 2,3, … )

12 2

1

(1 )n

n

m

p p

22 )1()1( nppn

1

1

,n

m

P Y n P X m Y n

于是可求得：

2 2

2 2

(1 )

( 1) (1 )

n

n

p p

n p p

,1

1

n

当 n=2,3, … 时，

m=1,2, …,n-1

{ , }

{ }

P X m Y n

P Y n

联合分布

边缘分布

P X m Y n

n=m+1,m+2, …

当 m=1,2, … 时，

{ , }

{ }

P X m Y n

P X m

2 2

1

(1 )

(1 )

n

m

p p

p p

,)1( 1 mnpp

P Y n X m

二、连续型随机变量的条件分布

设 (X,Y) 是二维连续型 r.v ，由于对任意 x,

y, P{X=x}=0, P{Y=y}=0 ，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义 .

|

( , )( | )

( )X YY

f x yf x y

f y

设 X 和 Y 的联合概率密度为

, ,f x y

关于 的边缘概率密度为 , Yf y ,X Y Y

则称 为在 的条件下 ,

Y

f x y

f yY y

的条件概率密度 .X 记为

,x x

X YY

f u yf u y du du

f y 称 为在

Y y

的条件下 , 的条件分布函数 .X 记为 X YP X x Y y F x y 或

定义 2

若对于固定 0,Yf y y的 ,

|

( , )( | )

( )Y XX

f x yf y x

f x

,x

X YY

f u yP X x Y y F x y du

f y

即

类似地 , 可以定义

,y

Y XX

f x vF y x dv

f x

我们来解释一下定义的含义：

|

( , )( | )

( )X YY

f x yf x y

f y以 为例

yYyxXPyYxXP0

lim

yYyP

yYyxXPyYyxXP

,

,x y

y

y

Yy

f u v dv du

f v dv

1

2

,x

Y

f u y du

f y

1

2

,x

Y

f u y du

f y

,

0

x

Y

f u y du

f y

,x

Y

f u yP X x Y y du

f y X YF x y

,

X Y X YY

f x ydf x y F x y

d x f y

类似于全概率公式与贝叶斯公式

1 1

( ) ( , )i ij i jj j

P X x p P X x Y y

1

( ) ( )i j jj

P X x Y y P Y y

,2,1i

,2,1j

( )j iP Y y X x

1

( ) ( ).

( ) ( )

j i j

j i jj

P Y y P X x Y y

P Y y P X x Y y

类似于全概率公式

( ) ( , ) ( ) ( )X YX Yf x f x y dy f x y f y dy

类似于 Bayes 公式

( , )

( )X

f x y

f x( )Y Xf y x

( ) ( )

( )

YX Y

X

f x y f y

f x

求 P{X>1|Y=y}.

例 2 设 (X,Y) 的概率密度是

其它,0

0,0,),(

yxy

eeyxf

yyx

解

1 | )|( dxyxf YX

为此 , 需求出 | ( | )X Yf x y

1P X Y y

由于

于是对 y>0,

)(

),()|(| yf

yxfyxf

YYX

dxyxfyfY ),()(

0

dxy

ee yyx

0

][ yxy

yey

e

,ye y0

,y

e yx

0x

故对 y >0, P{X>1|Y=y}

1

dxy

e yx

1

yxe ye 1

xo

y

y

y

例 3 设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为

其它,0

1,1

),(22 yxyxf

)|(| xyf XY求

1||,0

1||,12

),()(2

x

xxdyyxfxf X

解 X 的边缘密度为x

o

y

当 |x|<1 时 ,有

)(

),()|(| xf

yxfxyf

XXY

21)2(

1

x

,12

12x

2 21 1x y x

xo

y

x xx

1||,0

1||,12

),()(2

x

xxdyyxfxf X

)|(| xyf XY

取其它值y

xyxx

,0

11,12

1 22

2

即 当 |x|<1 时 , 有X 作为已知变量

这里是 y 的取值范围X 已知的条件下Y 的条件密度

2 21 1 2 2( , ) ~ , ; , ;X Y N 事实上

( )X Yf x y ( , )

( )Y

f x y

f y

2 21 1 2 2

2 2 21 21 2

2222

( ) ( )( ) ( )12

2(1 )

21 2

( )

2

2

1

2 1

1

2

x x y y

y

e

e

正态分布的条件分布仍为正态分布正态分布性质

)()()1(2

1

21

22

1122

1

12

1

yx

e

同理，

)( xyf XY

)1(),(~ 22

211

22

xN

)1(),(~ 22

122

11

yN)( yxf YX

例 4 已知

)( xyf XY

其他,0

1,1

22

yxxy

其他,0

10),1(4)(

2 xxxxf X

求

21

32

),5.0(),1( XYPYPYXP

解

y = x1

1

)()(),( xfxyfyxf XXY当 f X(x) > 0 时，即 0 < x < 1 时，

其他,0

1,8 yxxy

当 f X(x) = 0 时， f (x,y) = 0

故

其他,0

10,0,8),(

yyxxyyxf

x + y =1

)1( YXP

)5.0( YP

1

y = x

1

0.5

y

yxydxdy

1

1

5.08

65

y = x1

1

0.5

21

0 08

yxydxdy

161

21

32

XYPy = x1

10.5

32

32

21

dyyf XY

32

21 25.01

2dy

y

32

21 38

dyy

277

这一节，我们介绍了条件分布的概念和计算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如何计算条件分布 . 请课下通过练习进一步掌握 .

小结小结

作业 P93 习题三

16 17