Арифметические основы ЭВМ

Арифметические Арифметические основы ЭВМосновы ЭВМ

ЭВМ являются арифметическими машинами, реализующими алгоритмы путем выполнения последовательных арифметических действий.Арифметические действия производятся над числами, представленными в принятой для ЭВМ системе счисления, в заданных формах и форматах с использованием специальных машинных кодов.

Системы счисления Система счисления – это

способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Системы счисления

Позиционные Непозиционные

Непозиционные системы счисления

Количественное значение символа определяется только его изображением и не зависит от его места в числе. Например, римская система счисления: I-один, V-пять, X-десять, L-пятьдесят, C-сто, D-пятьсот, M-тысяча.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр (II-два, XXX-тридцать, CC-двести).

Если же большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если наоборот – вычитаются (VII)-семь, IX-девять).

Позиционные системы счисления

Количественное значение символа зависит от его места (позиции или разряда).

Характерным является наличие основания системы (любое целое число не менее 2). Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная и т.д.).

Основание позиционной системы счисления показывает, какое число различных цифр входит в ограниченный набор, называемый алфавитом системы счисления.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью

ПРАВИЛА СЧЕТА:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа (означает замену ее следующей по величине на 1 или на 0); если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от нее.

Любое число в любой позиционной системе счисления можно записать в общем виде:

lmmq aaaaaaaA ...,... 210121или представить степенным рядом:

11

22

11 ... qaqaqaA m

mm

mq

ll qaqaqaqa

...22

11

00

ПРИМЕРЫ:Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 0 1 1, 12 = 1*23 + 0*22 +1*21 +1*20 +1*2-1

Разряды 2 1 0 -1 -2

Число 2 7 6, 5 28 = 2*82 +7*81 + 6*80 + 5*8-1 +2*8-2

Разряды 1 0 -1

Число B 9, F16 =11*161 + 9*160 + 15*16-1

Почему компьютеры пользуются двоичной системой счисления?

1) Для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока и т.п.).

2) Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.

3) Возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

4) Двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы –

Быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины.

Для этого и разработаны 8-ричная и 16-ричная системы (в этих системах числа требуют соответственно в 3 и в 4 раза меньше разрядов, чем в двоичной системе).

Перевод 8-ричных и 16-ричных чисел в двоичную систему:

Примеры: 537,18=101 011 111, 0012=101011111,0012

5 3 7 1

1А3,F16=1 1010 0011,11112=110100011,11112

1 A 3 F

Самостоятельно: перевести число 10101001,101112 в восьмеричную и шестнадцатиричную позиционную систему счисления.

ПРОВЕРКА:

10 101 001,101 1102=251,568

1010 1001,1011 10002=А9,В816

Перевод целого десятичного числа в любую другую позиционную систему счисления с основанием q:

его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример: перевести число 7510 в 2-ую, 8-ую, 16-ую системы счисления

75 2 75 8 75 1674 37 2 72 9 8 64 4 1 36 18 2 3 8 1 11 1 18 9 2 1 0 8 4 2 1 4 2 2 0 2 1 0

Ответ: 7510=10010112=1138=4В16

Перевод правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q:

Необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в результате, которое поместится в ячейку.

Пример: перевести число 0,3510 в 2-ую, 8-ую, 16-ую системы счисления

0, 35 0, 35 0, 35 2 8 16 0 70 2 80 5 60 2 8 16 1 40 6 40 9 60 2 8 0 80 3 20 2 1 60 2 1 20 2

0 40 Ответ: 0,3510=0,010112=0,2638=0,5916

Перевод числа из двоичной (8-ичной, 16-ичной)

системы счисления в 10-ую:

осуществляется представлением числа в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Примеры:

1)Разряды 3 2 1 0 -1

число 1011,12=1·23+0·22+1·21+1·20+1·2-1=11,510

2)Разряды 2 1 0 -1

число 276,58=2·82+7·81+6·80+5·8-1=190,62510

3)Разряды 2 1 0

число 1F316=1·162+15·161+3·160=49910

Задание1: Переведите следующее число из двоичной системы счисления в 8- ричную и 16-ричную.

1. 1010101012. 1101010113. 10000010104. 10101001,10101015. 101010100000001,1001010100101

Задание2: Расположите следующие числа в порядке возрастания:

784510

42318

101012

АС316

Задание3: Переведите следующие десятичные числа в 2-ичную, 8-ичную, 16-ичную системы счисления с точностью до 3 знака после запятой.

1. 365,752. 413,253. 825,544. 511,3755. 392,75

Задание4: Переведите следующие числа из двоичной системы счисления в десятичную.

1. 100111101,100012. 1010001,113. 10000111,1014. 1111111005. 101010106. 100,100

Задание5: Переведите следующие числа из 8-ричной системы счисления в десятичную, а затем в 2-ую и 16-ую.

1. 5364,452. 2542,23. 56251,2354. 6541,115. 123,432

Задание6: Переведите следующие числа из 16-ричной системы счисления в

десятичную, а затем в 2-ую и 8-ую.

1. FA2,B2. C73,A3. DB5,94. 71A,35. BC2,1

Арифметические Арифметические операции в операции в

позиционных позиционных системах счислениясистемах счисления

Сложение:

Таблицы сложения легко составить, используя ПРАВИЛО СЧЕТА.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он пере носится влево.

Пример 1: найти сумму чисел 141,510 и 59,7510

1 1 1 141,50 59,75 201,25 0+5=5 5+7=12=10+2 1+9+1=11=10+1 4+5+1=10=10+0 1+1=2

+


1 1 1 1 1 1 1

10001101,1 111011,11 11001001,01 1+1=10=10+0 1+1+1=10+1 1+1=10=10+0 1+1=10=10+0 1+1+1=10+1 1+1=10=10+0 1+1=10=10+0

+


1 1 1

215,4 73,6 311,2 4+6=10=8+2 5+3+1=9=8+1 1+1+7=9=8+1

+

Пример 4: найти сумму чисел 8D,816 и 3B,C16

1 1

8D,8 3B,C C9,4 8+12=20=16+4 D+B+1=13+11+1=24+1=25=16+9 1+8+3=12=C

+

Задание: выполнить сложение в 2-ичной системе счисления

101101, 11 и 1011,011 10011110 и 1111,111 111111,111 и 1000,011 и 10110,101 1010101,111 и 1000,111 и 101101,011


357,2 и 44,6 1755,23 и 467,26 342,55 и 21 и 253,77 7722,44 и 5533,66 и 11111,22


AB5,DC и 3A,5B 52E,43F и 79,9A 68D,37 и 4AA5,EF и 75,CD

Вычитание.Пример1: Вычтем число 59,7510 из числа 201,2510

1 1 1

201,25 59,75 141,50 5-5=0 10+2-7=5 10-9=1 9-5=4 2-1=1

Пример 2: найти разность чисел 11001001,012 и 111011,112

1 1 1 1 1

11001001,01 111011,11 10001101,10 1-1=0 2-1=1 2-1=1 1-1=0 1-0=1 2-1=1 1-1=0 1-1=0 0-0=0

Пример 3: найти разность чисел 311,28 и 73,68

1 1 1

311,2 73,6 215, 4 8+2-6=4 8-3=5 8-7=1 2-0=2

Пример 4: найти разность чисел C9,416 и 3B,C16

1 1

C9,4 3B,C 8D,8 16+4-12=8 16+8-11=13=D 12-1-3=8

Умножение:

В различных позиционных системах счисления при умножении используется обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Пример 1: найти произведение чисел 11510 и 5110

115 51 115 575 5865

х

+


1110011 110011 1110011 1110011 1110011 1110011 1011011101001

х

+


163 63 531 1262 13351

Х

+

Деление:

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в 10-ой системе.

В 2-ичной системе деление выполняется особенно просто: ведь очередная цифра частного может быть только 0 или 1.

Пример 1: разделить число 3510

на число 1410

35 14 28 2,5 70 70 0

-

Пример 2: разделить число 1000112 на число 11102

100011 1110 1110 10,1 1110 1110 0

-

Пример 3: разделить число 438

на число 168

43 16 34 2,4 70 70 0

-

Задание 1: выполните арифметические операции:

1) 11102+10012;

2) 678+238;

3) AF16+9716;

4) 11102-10012;

5) 678-238;

6) AF16-9716;

7) 11102*10012;

8) 678*238;

9) AF16*9716;

10) 1010:102;

11) 748:248;

12) 5A16:1E16.

Задание 2: Найти значение выражения:

(A+B)·(C-D), где A=FA916,

B=10001101,112,

C=775328,

D=A3,216

Задание 3: В какой системе счисления справедливо равенство?

1) 23+25=52?2) 56+44=133?

Documents

Арифметические основы ЭВМ