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第十七章 分式. 相应的公式. 想一想. 下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?. 5x-7, 3x2-1,. -5,. 试着自己举出分式的例子. 做一做. ( 1 )当 a=1 , 2 时,分别求分式 的值。. ( 2 )当 a 取何值时,分式 无意义?. (3 )当 a 取何值时,分式 有意义?. ( 4 )当 a 取何值时,分式 值为零?. 思维园地. ( A ). ( B ). ( C). ( D ). - PowerPoint PPT Presentation
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第十七章 分式
相应的公式
22))(()5(
)())(4(
)())(3(
)()(2
(
)(1
bababa
ma
b
a
b
mbaab
nmaa
nmaaa
nmaaa
m
mm
mmm
mnnm
nmnm
nmnm
平方差公式:
是整数
是整数
是整数、)(
是整数)、
是整数、)(
3322
3322
222
222
))(()8(
))(()7(
2)(
2)()6(
babababa
babababa
bababa
bababa
立方差公式:
立方和公式:
完全平方公式:
abxbaxbxax
acbcabcbacba
babbaaba
babbaaba
)())()(12(
222))(11(
33))(10(
33))(9(
2
2222
32233
32233
下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?
5x-7, 3x2-1, 123ab
7)( pnm
-5, 12
22
xyxyx
7m
cb54
试着自己举出分式的例子
( 1 )当 a=1 , 2 时,分别求分式 的值。 a
a2
1
( 2 )当 a 取何值时,分式 无意义?aa2
1
( 4 )当 a 取何值时,分式 值为零?aa2
1
(3 )当 a 取何值时,分式 有意义?aa2
1
当 x 为任意实数时,下列分式一定有意义的是 ( )
( A)
22x
( B) 2
12 x
( C) 21x
( D) x1
1
在分式 中,当 x 为何值时,分式有意义?分式的值为零?
3
3
x
x
B
5312
xx 例1 对于分式
(1)当 x 取什么数时,分式有意义?
(2)当 x 取什么数时,分式的值是零?
(3)当 x =1时,分式的值是多少?
最简公分母的确定• 如果分母是单项式时,最简公分母是:①系数取最
小公倍数;②字母取所有字母;③字母的次数取所有字母的最高次幂。
• 如果分母是多项式时,应该先考虑分解因式,再确定最简公分母。
44
1
2
2)2(
3
2
2
31)1(
22
32
xx
x
xx
xcxbxax
与通分:
、与通分:例:
分式的意义• 分式有意义:分母不等于零• 分式的值等于零:分子等于零,分母不等于零
23
2)3(
2
6)2(
11
5.0)1(
.1
2
xx
x
x
x
x
x
x ?为何值时,分式有意义
16
)1)(4()2(
34
11
.2
22
x
xx
xx
x
x
)(
零?为何值时,分式的值为当
分式的符号• 分式的值为正:分子、分母同号;( A>0 , B>0
或 A<0,B<0 )• 分式的值为负:分子、分母异号;( A>0,B<0 或 A
<0,B>0)
B
A
的值为整数?为何值时,分式:当例
值时为负?
为何的值为正,为何值时,分式:当例
2
62
2
31
xx
xx
xx
分式的性质
分式的性质用于符号的改变;分式的化简(约分);把异分母分式化成同分母分式(通分)。
是不等于零的整式)(其中MBM
AM
B
A
分式运算的技巧
11
1
1
1
1
1
1
1
1
44
4
2
4
2
42
2
2
2
2
aa
a
xxxx
xx
x
xx
xx
例:
三、用整体思想解题:
例:
二、分步通分的方法:
例:
一、先约分再计算:
巧求分式的值
的值。求
,都不等于、且:已知例
ba
ba
bababa
0,0231 22
求分式的值,只要由条件求出字母的值代入便可求出。本题右边为 0 ,左边可以分解因式,这样可以求出 a 、 b 的关系代入即可。
的值。求:已知例22
22
736
243,32
yxyx
yxyx
y
x
代入即可。可得由的形式;
把结论中的分式化成这个条件。本题可以灵活运用
,33)2(
)1(3
yxy
x
y
x
y
x
注意利用分式的性质
111
,13cac
c
bbc
b
aab
aabc 则:已知例
11
1
11
11
abaaba
ab
aba
aabccac
c
aababc
ab
aba
aabc 原式解:
注意去倒数的技巧
的值是多少。那么
均为实数,且、、:已知例
acbcab
abc
ca
accb
bc
ba
abcba
,5
14
1,
3
14
6
11
6111
511
),2(411
),1(311
,3
abcacbcab
cba
accb
baab
ba
原式
同理得:
即解:由已知可得
例题讲解
473
2
2076
4
2
156.4
23
8)1(
1
3)1(.3
)()().(2
)()().(1
2
2
2
2
2
2
234
32
3222
32
42
xx
xx
xx
x
xx
xx
aaa
aa
a
a
yx
xyx
xy
yx
a
b
a
b
b
a
计算下列各式:
计算下列各式:
11
1
43
2.4
2.3
11
.2
2333.1
2
2
2
x
x
xx
xba
bba
aa
a
ab
ba
ba
ba
ba
a
计算下列各式:
)1
11(]
1
11)
1
2.[(4
)]11
()(
2)
11(
)(
1[.3
3
42)2
2
5.(2
34
12
1
3
1
1.1
3
2
232
322233
2
2
2
xx
x
xxxx
xx
babaabbaba
a
aa
a
xx
xx
x
x
x
• 概念:分母中含有未知数的有理方程,叫做分式方程。
• 解分式方程的步骤: • 将分式方程转化为整式方程(方程两边同
时乘以最简公分母;换元)• 解整式方程• 检验(验根)• 写出方程的解
分 式 方 程
解分式方程易错点分析
3
23
4
233
01
3
1
52
23
1
3
21
2
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
、解方程:例
可能为零的整式三、方程两边同时除以
、解方程:例
多项式不加括号二、去分母时,分子是
、解方程:例
最简公分母一、去分母时常数漏乘
分式方程巧解四法
12
2)
2
1
2
1(2
2
1
12
2
4
4
2
1
87
1
7
8
2
xxxx
xx
x
x
xx
x
解:原方程可化为
例:解方程
分成两个分式)二、巧分(把一个分式
例、解方程:
式合并)一、巧并(把同分母分
是原方程的解。经检验,
则解:设
例:解方程
四、巧设参
例:解方程
三、巧用分子相等
例:解方程
55
1725
72,52
75
6
6090
3
3
)3)(2(
1
)2)(1(
1
xx
kkk
kxkxxx
xx
xxxxx
解下列分式方程
7
8
5
6
3
4
1
2)4
23
3
23
23)3
1
6
1
3
1
2)2
4
5
4
11)1
2
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
xxxx
x
x
x
增根的定义
增根 : 在去分母 , 将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根 .
产生的原因 : 分式方程两边同乘以一个零因式后 , 所得的根是整式方程的根 , 而不是分式方程的根 .····
····
使分母值为零的根······
···
的值。有增根,求
的方程例:若关于
ax
x
x
a
x
xx
2
2
42
22
1616
22
22
)2()2
422
2
aa
xx
xx
xax
x
或:分别代入整式方程可得和将
或若方程有增根,只能是(
得:解:方程两边都乘以
例 1 :某两班学生利用双休日到距学校 12 千米的烈士陵园扫墓、植树,一部分人骑自行车,其余的人乘汽车。已知汽车的速度是自行车的速度的 3 倍。如果骑自行车的人先走,半小时后,乘汽车的人出发,结果他们同时到达,求两种车的速度。
速度( 千米 / 小
时 )
时间( 小时 )
路程( 千米 )
自行车
汽 车
自行车所行的时间 - 汽车所行的时间 =1/2
1212
x
3x
12/x
12/3X
例 2 :甲乙两班学生进行植树活动,甲班单独完成任务比乙班单独完成任务少用 50 分钟,若甲、乙两班一起植树 1 小时可以完成,问甲、乙两班单独植树,各需几分钟完成?
工作效率 工作时间 工作量
甲
乙
1/x
1/(x+50)
60
60
60/x
60/(X+50)
甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 工作总量