数理統計学第４回 1

数理統計学 ( 第四回）分散の性質と重要な法則

浜田知久馬

数理統計学第４回 2

分散についての性質

V[X+Y] ＝ E[(X+Y － μx － μY)2]

＝ E[(X － μx)2+(Y － μx)2 +2 (X － μY) (Y － μY) ]

＝ E[(X － μx)2]+ E[(Y － μY)2]

　　 +2E[(X － μx) (Y － μY)]

＝ V[X]+V[Y]+2 ・ Cov[X,Y ］独立のときは ,

V[X+Y] ＝ V[X]+V[Y]

数理統計学第４回 3

分散についての性質ａは定数V[a+X] ＝ E[(a+X － a － μx)2] ＝ V[X]

V[aX] ＝ E[(aX － aμx)2]

　　　　＝ E[a(X － μx)2]

　　　　＝ a2E[(X － μx)2]　　　　　　 ＝ a2 V[X]

E[a+X] ＝ a+E[X], 　 E[aX] ＝ a ・ E[X],

数理統計学第４回 4

分散についての性質Ｚ＝ a1X1+ a2X2+ ・・・ + apXp

V[ Ｚ ] ＝ ΣΣaiajCov ［ Xi,X ｊ ]

＝ Σai2 V[Xi]+ΣΣ2aiajCov[Xi, X ｊ ]

　　　　　　　　　　　　　　　ｉ < ｊ

X1, X2, ・・・ ,Xp が互いに独立の場合

V[ Ｚ ] ＝ Σai2 V[Xi]

＝ a12V[X1]+a2

2V[X2]+ ・・・ + a ｐ2V[X ｐ ]

（分散の加法性）

数理統計学第４回 5

分散についての性質

Ｚ＝ a1X1+ a2X2

V[ Ｚ ] ＝ V[a1X1+ a2X2]

＝ E[(a1X1+ a2X2 － a1μ1 － a2μ2)2]

＝ E[(a1X1 － a1μ1 + a2X2 － a1μ2)2]

＝ E[(a1X1 － a1μ1)2 ] + E[(a2X2 － a2μ2)2 ]

+2E[(a1X1 － a1μ1)(a2X2 － a2μ2) ]

＝ a12V[X1]+a2

2V[X2] +2a1a2Cov[X1, X2]

数理統計学第４回 6

分散・共分散行列3 変数の場合　 V[X1] 　　　 Cov[X1, X2] 　 Cov[X1, X3]

V= Cov[X2, X1] 　 V[X2] 　　　　 Cov[X2, X3]

Cov[X3, X1] Cov[X3, X2] 　 V[X3]

一般にｐ変数ある場合，分散・共分散行列はｐ × ｐの対称行列になる .

数理統計学第４回 7

行列表現ａ T=[a1， a2，・・・， ap] 　 ａ：ｐ行のベクト

ルｘ T=[X1， X2，・・・， Xp] 　ｘ：ｐ行のベクトル

V ：分散・共分散行列 ( ｐ × ｐ ) 　Z ＝ａ TｘV[ Ｚ ] ＝ａ T VａＺ＝ a1X1+ a2X2+ a3X3

の場合についてV[ Ｚ ] を書き下せ．

数理統計学第４回 8

Ｚ＝ a1X1+ a2X2+ a3X3 の分散

Ｚ＝ a1X1+ a2X2+ a3X3

V[ Ｚ ] ＝ａ T Vａ＝ a1

2V[X1]+ a1a2Cov[X1,X2]+ a1a3Cov[X1,X3]

+a2a1Cov[X2,X １ ]+ a22V[X2]+a2a3Cov[X2,X3]

+a3a1Cov[X3,X1]+ a3a2Cov[X3,X2]+ a32V[X3]

数理統計学第４回 9

共分散の計算Ｚ 1 ＝ a1X1+ a2X2+ ・・・ +a3X3 ＝ａ T ｘＺ 2 ＝ｂ 1X1+ ｂ 2X2+ ・・・ + ｂ 3X3 ＝ｂ T ｘのときCov[ Ｚ 1, Ｚ 2] ＝ Cov[ ａ T ｘ , ｂ T ｘ ]

＝ ΣaibjCov ［ Xi,X ｊ ]

＝ａ T VｂV[ Ｚ 1] ＝ Cov[ ａ T ｘ , ａ T ｘ ] ＝ａ T Vａ

数理統計学第４回 10

共分散の計算

Ｚ 1 ＝ a1X1+ a2X2+ a3X3

Ｚ 1 ＝ b1X1+ b2X2+ b3X3

Cov[ Ｚ 1, Ｚ 2] ＝ａ T Vｂ＝ a1b1V[X1]+ a1b2Cov[X1,X2]+ a1b3Cov[X1,X3]

+a2b1Cov[X2,X １ ]+ a2b2V[X2]+a2b3Cov[X2,X3]

+a3b1Cov[X3,X1]+ a3b2Cov[X3,X2]+ a3b3V[X3]

数理統計学第４回 11

分散の加法性の応用平均値の分散は？X1, X2, ・・・ ,Xn が互いに独立に分散 σ2 の

分布にしたがうとき

nn

n

n

nn

n

XXXVXV

n

i

n

2

2

2

12

2

2

2

2

2

21][

数理統計学第４回 12

分散の加法性の応用E[X] ＝ 0,V[X]=32=9

E[Y] ＝ 0,V[Y]=42=16

でかつ X と Y が独立のときX+Y の期待値と分散は？X － Y の期待値と分散は？

数理統計学第４回 13

乱数による確認実験data data;do i=1 to 1000;x=3*rannor(5963);y=4*rannor(5963);z1=x+y;z2=x-y;output;end;proc means mean var std maxdec=2;run;

数理統計学第４回 14

要約統計量変数 平均値 分散 標準偏差---------------------------------x 0.05 8.72 2.95y -0.05 16.07 4.01z1 0.01 25.95 5.09z2 0.10 23.65 4.86----------------------------------

数理統計学第４回 15

演習問題

Ｘ 1 ，Ｘ 2 ，・・・，Ｘ 6 が確率変数でそれぞれ独立に正規分布Ｎ (μ ， σ2) に従っているとき，１）～７）の期待値と分散を示せ．０） Ｘ i: 解答例　期待値 μ ，分散 σ2

321

654321

2)3

)23

)1

XXX

XXXXXX

X i

　

　

　 　

数理統計学第４回 16

演習問題

4321

21

21

11

33)722

)6

22)5

22)4

XXXX

XX

XX

XX

　 　

　 　

　 　

　 　

数理統計学第４回 17

中心極限定理Central Limit Theorem

多くの分布が一山分布になるのはなぜだろうか？

例）センター入試，身長，血圧中心 : 分布の中心 , 平均値は極限：ｎを大きくすると正規分布にしたがう .

｢和や平均値の分布は山型の分布にしたがう」

数理統計学第４回 18

平均値の２つの性質と SE

１）平均値の分散 ( バラツキ ) は生データの１／Ｎ，標準偏差に直せば１／√Ｎになる．

２）Ｎがある程度大きくなれば，平均値の分布は正規分布になる．

数理統計学第４回 19

乱数実験Ａ）０，１の一様分布 (0 ～ 1 の間を等しい確率でとる ) にしたがう乱数を１万個発生さる．

Ｂ）一様分布にしたがう乱数を４万個発生させ，４個づつ組にして平均値を計１万個計算する .

Ｃ）一様分布にしたがう乱数を９万個発生させ，９個づつ組にして１万個の平均値を計算する .

数理統計学第４回 20

生データのヒストグラム　 A

0.00 0.30 0.60 0.90

Y1

0

200

400

度数

数理統計学第４回 21

4 個の平均のヒストグラム　B

0.00 0.30 0.60 0.90

Y4

0

500

1000

度数

数理統計学第４回 22

9 個の平均のヒストグラム C

0.00 0.30 0.60 0.90

Y9

0

500

1000

1500

度数

数理統計学第４回 23

実験結果のまとめ

　　　　　　　 平均値 標準偏差 分散Ａ）生データ 0.499 0.289 　

0.0838Ｂ）４個の平均 0.499 　 0.144

0.0206Ｃ）９個の平均 0.500 0.095

0.00906

数理統計学第４回 24

大数の法則 (law of large numbers) 　

平均値はｎを大きくすると，真の値に収束する .

平均値→ E(X) ＝ μ 　（ｎ→∞）limP （ | 平均値－ μ| ε≧ ）＝ 0ｎ→∞

マルコフの不等式 (Markov’s 　 inequality)

チェビシェフの不等式 (Chebyshev’s inequality)

数理統計学第４回 25

マルコフの不等式X 0≧ ：非負の確率変数　ｃ＞ 0 ：正の定数P （ X ≧ ｃ）≦ E （ X ）／ｃ例）交通事故による死亡が 10 を越える確率は？Y ＝ 0 　 if 　 X ＜ｃ　　　 c 　 if 　 X ≧ ｃ常に Y X≦ なので→ E （ Y ）≦ E （ X ）E （ Y ）＝ 0×P(Y=0)+ ｃ ×P(Y=c) ＝ｃ ×P(X ≧

ｃ )E （ Y ）＝ｃ ×P(X ≧ ｃ ) E≦ （ X ）P （ X ≧ ｃ）≦ E （ X ）／ｃ

数理統計学第４回 26

マルコフの不等式

X

Y

ｃ

ｃ0

Y=X

数理統計学第４回 27

マルコフの不等式の応用宝くじで１等２億円が当たる確率は？X ：宝くじの賞金金額P （ X ≧ ２億円）E （ X ）＝ 150 円 , ｃ＝ ２億円P （ X ≧ ｃ）≦ E （ X ）／ｃ＝ 150 円／ ２億円＝ 1/133 万正確な確率は 1/500 万

数理統計学第４回 28

チェビシェフの不等式

E （ X ）＝ μ,V （ X ）＝ σ2

P （ |X － μ| ≧ ｃ）≦ σ2 ／ｃ 2

Y ＝（ X － μ ） 2 とおいてマルコフの不等式を適用

P （ Y ≧ ｃ 2 ）≦ E （ Y ）／ｃ 2 ＝ σ2 ／ｃ 2

Y ≧ ｃ 2 ⇔ |X － μ| ≧ ｃ　なのでP （ Y ≧ ｃ 2 ） ＝ P （ |X － μ| ≧ ｃ）

数理統計学第４回 29

チェビシェフの不等式の意味σ2= １のときｃ　　チェビシェフの上限　　正規分布1 　　　　　 1 　　　　　　　　　　　

0.32 　2 　　　　　 0.25(1/22) 　　　　　　 0.05

3 　　　　　 0.11(1/32) 　　　　　　 0.003

4 　　　　　 0.06(1/42) 　　　　　　＜0.0001

数理統計学第４回 30

日本人身長の例 ( 浜田世代）男性　平均： 170.1 　 SD ： 5.6 　単位

(cm)

平均 ±SD ： 164.5 ～ 175.7

平均 ±2SD ： 158.9 ～ 181.3

平均 ±3SD ： 153.3 ～ 186.9

平均 ±4SD ： 147.7 ～ 192.5

平均 ±5SD ： 142.1 ～ 198.1

数理統計学第４回 31

日本人身長の例 ( 浜田世代）女性　平均： 157.3 　 SD ： 5.0 　単位

(cm)

平均 ±SD ： 152.3 ～ 162.3

平均 ±2SD ： 147.3 ～ 167.3

平均 ±3SD ： 142.3 ～ 172.3

平均 ±4SD ： 137.3 ～ 177.3

平均 ±5SD ： 132.3 ～ 182.3

数理統計学第４回 32

大数の法則

　　にチェビシェフの不等式を適用すると

ｎ→∞のとき右辺は 0 に収束するから

2

2

2

)(

][,][

nXP

nXVXE

0)(lim

XPn

X

X