Дополнения к главе IV (4 часа)

Размещения и сочетания

Размещением из n элементов по два называют любую упорядоченную пару, составленную из данных n элементов.

Количество размещений из n элементов по два обозначают через (по первой букве французского слова arrangement – размещение)

Размещения

nхххх ,...,,, 321

2nА

Размещения

Ниже написаны все размещения из 3 элементов a, b, с по 2:

ab

ac

ba

bc

ca cb

62323 A

)1(2 nnAn

4267)17(727 AСколькими

способами

можно

распредели

ть два

билета на

разные

кинофильм

ы между

семью

друзьями?

Пример 1

Размещением из n элементов по k называют любой упорядоченный набор из k элементов, составленный из данных n элементов.

)2()1(3 nnnAn)3()2()1(4 nnnnAn

))1((...)2()1( knnnnAkn

)1(...)2()1( knnnnAkn

!123...)2)(1( nnnnAnn

!nAnn

1234)14(424 A

№871

x1x2 x2x1 x3x1 x4x1

x1x3 x2x3 x3x2 x4x2

x1x4 x2x4 x3x4 x4x3

2423434 A

№872

204525 A

6034535 A

47A

№872

57A

68A

Сочетанием из n элементов по k называют любую группу из k элементов, составленную из данных n элементов.

Число сочетаний из n элементов по k обозначают через

(по первой букве французского слова combination – сочетание).

Разница заключается в том, что если в размещении переставить местами элементы, то получится другое размещение, но сочетание не зависит от порядка входящих в него элементов.

Сочетания

knC

)!(!

!

knk

nC kn

Сочетания

Пример 2.Сколькими различными способами из семи участников математического кружка можно составить команду из двух человек для участия в олимпиаде?

!5!2

!7

)!27(!2

!727C 21

2

76

!521

76!5

Пример 3.Из перетасованной колоды, состоящей из 36 карт, наугад взяты 4 карты. Какова вероятность того, что все взятые карты тузы?

!32!4

!36

)!436(!4

!36436C

4321!32

36353433!3258905

58905

1P

10!321

54!3

!3!2

!5

)!25(!2

!525

С

№873

54

5343

524232

51413121

,,

,,,

,,,,

хх

хххх

хххххх

хххххххх

4!3

4!3

!1!3

!434

С

№874

5!4

5!4

!1!4

!545

С

102!3

54!3

!2!3

!535

С

47С

№874

57С

68С

)!(!

!

knk

nС kn

№875 Докажите, что knn

kn CС

!)!(

!

)!()!(

!

kkn

n

knnkn

nС knn

knn

kn CС

10!9

10!9

!9!1

!10110

910

СС

№875 Вычислите:

455921!8

109!8

!2!8

!10810

С

1012С

1112С

№875 Вычислите:

199200С

19971998С

Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами две разные путевки в санатории?

№876

26С

Сколькими способами можно распределить две одинаковые путевки между пятью лицами?

№877

25С

Сколькими способами можно присудить шести лицам три одинаковые премии?

№878

36С

Сколькими способами можно присудить шести лицам три одинаковые премии?

№879

36С

Иванов и Степанов входят в группу из семи студентов, имеющих одинаковые шансы получить один из двух разных призов. Какова вероятность того, что:

a) Иванов получит первый приз, а Степанов – второй;

b) Иванов и Степанов получат призы;c) Иванов получит первый приз;d) Иванов получит один из призов?

№879

№880*Из перетасованной колоды, состоящей из 36 карт, наугад взяты 4 карты. Какова вероятность того, в эту четверку:

попадут тузы бубен, пик, червей и треф в указанном порядке;

попадут 4 туза (в любом порядке);

попадет туз бубен и его возьмут первым;

попадет туз бубен?