第二章假设和利率计算方

法主讲人：刘箐，亓彬，崔龙

本章结构 2.1 定价模型的一系列假设

2.2 影响现金流随时间变动的利率计算方法

2.3 &2.4 贴现债券和息票债券的定价问题

2.5 利率和到期期限的关系

2.6 普通股定价

总结

2.1.1 不存在无成本的套利机会

IBM ：NYSE ： $120.75PCE ： $120.25

2.1 基本假设

2.1.2 无摩擦市场

1) 无交易成本2) 没有税收3) 可以无限制地按 无风险利率借贷4) 可以自由地利用 任何资金做空5) 可以随时交易

2.2 利率计算方法：复合利率

第一条：以年利率的形式表达

第二条：大部分利率报的都是名义利率

限制利率的规则

（ 1+r/m ） m-1 er-1 F=PerT

2.3.1 贴现债券的定价

2.3.2 风险管理

2.3.3 市场上交易的贴现债券

2.3 贴现债券

2.3.1 定价贴现债券或零息债券是未来只有一个现金流 F 的证券， F 通常被称为债券的面值。如果贴现债券

的年回报率为 r% ，到期日为 T 年，那么

B=Fe-rTB=Fe-rT

其价格为：其价格为： 其回报率其回报率

T

BFr

)/ln(

例2.3.1 定价 计算贴现债券的隐含收益 20 世纪 80 年代早期，一些银行为其零售

客户提供的贴现债券主要是作为其为子女未来大学教育的花费而进行的长期储蓄。当时的市场利率相当高，因此经常可以看银行在广告中宣传今天投资 4 美分， 25 年后就能获得 1 美元。该投资隐含的年回报率是多少？

泰勒级数泰勒级数

定价定价B=Fe-rT

dB/BdB/B

DV01DV01

dB/drdB/drdB/dr=-TFedB/dr=-TFe-rT-rT

DURDUR2.3.2 风险管理

303

32

02

2

0 )(6

1)(

2

1)( rr

dr

Bdrr

dr

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dr

dBdB

01)0001.0( DVTFedB rT

)(/

/ 0rrdr

BdBBdB

TFe

TFe

B

drdB

dr

BdBDUR

rT

rT

//

例2.3.2 风险管理

假设你在 25 年前买了价值 4000 美元的贴现债券，当时的收益率为 12.876% ，如果利率上升 100 个基点，债券价格会怎样变化？

债券定价函数的二阶导数：

在泰勒级数式中加入二阶项：

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2.3.2 风险管理——凸性2

02

2

0 )(/

2

1)(

// rr

dr

BBdrr

dr

BdBBdB

贴现债券的凸性：

rTFeTdr

Bd 22

2

2222

2

2 //T

Fe

FeT

B

drBd

dr

BBdCVX

rT

rT

贴现债券2.3.3 市场上交易的贴现债券

国库券 财政拆分债券

2.3.3 市场上交易的贴现债券 --- 财政拆分证券定

义

美国财政部拆分债券也属于贴现债券，美国财政部并不直接发行这些证券，事实上他们只发行附息债券和到期日为 30天的票据，这些原始发行的息票债券被拆分，即将每个息票和本金作为独立单位予以出售。在不存在无成本套利机会的情况下，从原始息票债券拆分出来的贴现债券的价格总和必须等于息票债券的价格。

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2001 2002 2003 2004

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付息债券 1. 付息债券的定价 2. 付息债券的久期和凸性（利用收益率曲

线） 3. 付息债券的久期和凸性（到期收益率） 4. 风险管理 5. 市场上交易的息票债券

2.4 附息债券 1. 定价

下标 i 表示第 i 个贴现债券，第 i 个贴现债券的价格用表示，代表第 i 个债券的到期日收到的现金流，代表将现金流贴现到现在的零息债券贴现率，代表现金流 i 的发生时间。在债券到期前，现金流等于息票利息，，如图 2-3 所示，利息的数量 COUP 等于息票债券的约定利率乘以债券的面值。到期时，现金流等于息票利息加债券面值，

n

i

Tri

n

iidc

iieCFBB11

,

i nCF COUP F

例 2-4: 给定零息债券的回报曲线，计算附息债券价格 假设当前零息债券收益率曲线由以下函数给出

其中， Ti 以年来计量。对于息票利率为 7% ，每半年付一次息，期限为 5 年的附息债券，其价格的计算如下。

要计算债券价格，我们需要知道对应每次现金流的零息债券利率，这就需要运用期限结构公式。例如，第一个贴现债券是半年到期的，其对应的零息债券回报率是，

半年后的现金流是 0.07 / 2×100 = 3.50 ，因此第一个贴现债券的价格为 。重复这一步骤（即息票债券定价公式（ 2-20 ））， 5 年期、息票利率为 7% 的债券价格为 105.0902 ，单个贴现债券的情况汇总于下表

)1ln(01.004.0 ii Tr

0.04 0.01ln(1 0.05) 4.405%ir

0.04405(0.5)3.50 3.4237e

2. 风险管理——久期和凸性，它们是组合中贴现债券久期和凸性的加权平均，权重则是第 i 个贴现债券在息票债券价格中的比重。令代表第 i 个贴现债券所占的权重

息票债券的久期为

首先，债券的期限越长，远期现金流在息票债券价格中所占的比重越大，从而久期和利率风险也越高；其次，债券的息票利率越高，较早收到的现金流在债券价格中所占的比重越大，久期和利率风险也就越小；再次收益越高，远期现金流在债券价格决定中的重要性越低，久期也就越短，利率风险越低。

11,

1

c

n

iidn

ii B

Bw

n

iii

n

iidic TwDURwDUR

11.

息票债券的凸性为

与久期的情况一样，息票债券的凸性（ 2-23 ）是组合中贴现债券凸性的加权平均，权重是第 i 个贴现债券在息票债券价格中的比重

n

iii

n

iidic TwCVXwCVX

1

2

1,

例 2-5: 计算息票债券的久期及久期 / 凸性的近似值 息票债券的期限为 5 年，息票利率为 7% ，每半年付息

一次，假设零息债券收益率曲线从 变为 ，计算该债券价格的实际变化率，并将

其与久期和凸性所近似反映的债券价格变化率相对比。 第一步先计算该附息债券的久期和凸性。下表详细列明了计算方法，第一行所代表的现金流现值，在息票债券价格中所占的比重为 3.258% ，即

该贴现债券的久期是 0.5 ，因此其对息票债券久期的贡献是 0.03258×0.5= 0.01629 。该贴现债券的凸性是，因此其对息票债券凸性的贡献是 0.03258×0.25=0.00814 。每行都重复此运算，然后加总可得息票债券的久期是 4.3714 ，凸性则为 20.3825 。

0.04 0.01ln(1 )i ir T

0.05 0.01ln(1 )i ir T

03258.00902.105

4237.3

0902.105

50.3 )5.0(04405.0

e

该贴现债券的久期是 0.5 ，因此其对息票债券久期的贡献是 0.03258×0.5= 0.01629 。该贴现债券的凸性是，因此其对息票债券凸性的贡献是 0.03258×0.25=0.00814 。每行都重复此运算，然后加总可得息票债券的久期是 4.3714 ，凸性则为 20.3825

接下来分别基于久期以及久期 / 凸性，计算债券价格的预期变化率。仅基于久期，预期的债券价格变化是

而根据久期和凸性计算的预期债券价格变化为

如果零息债券的收益率曲线上移 100 个基点，债券的价格将由 105.0902 变为 100.6585 ，或者变化率为 -4.2174% 。这样我们了解了每种方法的近似误差，仅根据久期计算的近似值高估了价格变化率 0.1003% ，而根据久期和凸性计算的近似值则低估了价格变化率0.0016% 。

4.3174 0.01 4.3174%

14.3174(0.01) (20.3825)(0.0001) 4.2155%

2

3 息票债券规则——到期收益率：其计算方法是，令债券当前价格与其未来现金流的现值恰好相等，求解等式中的 y ，即可得到期收益率

单一贴现率的假设下，息票债券的久期由下式给出

凸性

n

i

yTic

ieCFB1

i

n

i c

yTi

c TB

eCFDUR

i

1

'

2

1

'i

n

i c

yTi

c TB

eCCVX

i

注意利用（ 2-25 ）和（ 2-26 ）式计算的久期和凸性只是（ 2-22 ）和（ 2-23 ）实际值的近似。第 i 个现金流的现值并不等于第 i 个贴现债券的价格，即

,iyT

i d iCFe B

例 2-6: 给定收益率曲线计算附息债券的到期收益率 假设零息债券当前的即期利率的期限结构由下面的

曲线给出： 其中，以年为单位。息票债券的到期期限为 5 年，

息票利率为 7% ，半年付息一次，计算其价格和到期收益率。如果该附息债券的购买价格为 104 美元，能否进行无成本套利？如果可以，怎样进行？

从例 2-4 我们知道， 5 年期、息票利率 7% 的债券价格是 105.0902 ，令该债券的价格等于其现金流的现值，可以求出该债券的到期收益率

满足上式的贴现率为 5.729%

0.04 0.01ln(1 )i ir T

1050.10350.30902.1059

1

yT

i

yT ee i

需要注意的是，息票债券的到期收益率小于例 2-5中 5 年期零息债券的零息利率 5.792% 。之所以如此，是因为从经济学角度看， 5 年期附息债券的期限并不是 5 年，该债券在存续期间的付款有效缩短了其总期限。

如果附息债券的购买价格为 104 美元，那么进行无成本套利。具体方法是，买入息票债券，然后按照每笔现金流的数量和期限卖出零息债券，即卖出6 个月到期、面值 3.50 的零息债券， 1 年到期、面值 3.50 的零息债券，等等。这样，从附息债券上收到的利息将恰好等于在空头债券上的支付额。由于附息债券的购买价格为 104 美元，而零息债券组合（使用零息债券收益率曲线）的卖出价格为 105.0902 美元，因此该无成本套利的利润是 1.0902 美元。

例 2-7: 利用到期收益率计算息票债券的久期和凸性 假设当前零息债券收益率曲线有下面的函数给出

其中，以年为单位。息票债券的到期期限为 5 年，息票利率为 7% ，半年付息一次，利用例 2-6 中的单一到期收益率 5.729% 计算债券的久期和凸性。

首先，利用一个固定的到期收益率计算现金流的现值。自然地，利用到期收益率计算的贴现债券价格总和为 105.0902 ，回顾例 2-6 ，这实际上是到期收益率的计算办法。接下来，计算每个贴现债券在息票债券价格总额中所占的比例

0.04 0.01ln(1 )i ir T

01618.0092.105/4012.3 )5.0(05729.0 e

最后，计算每个贴现债券对息票债券久期和凸性的贡献，并予以加总。根据收益率计算的久期是 4.3240 ，而利用零息债券收益率曲线计算的久期则为 4.3174；根据收益率计算的凸性是 20.4273 ，根据零息债券收益率曲线计算的凸性则是 20.3825 。尽管我们本例中这些差异很小，但它们会随债券的息票利率、到期期限以及收益率曲线的斜率等因素而变化

4 风险管理 损失的可能性 风险 不确定性 套期保值就是通过买入或卖

出与我们所持资产价格变化幅度相同的其它资产，来降低头寸风险。就债券和利率风险管理来说，完全的套期保值就是资产价格的变动幅度相同，但方向相反，即

( ( )d d

dr dr

未保值头寸的价格) 保值证券的价格

如果利率变化，久期和凸性可以度量资产组合和保值证券的价格变化。要对利率风险暴露进行完全保值，必须确定买入或卖出的保值证券的单位数量，以便当利率变化时保值资产组合的总价格维持不变，即

其中，是所持债券头寸的价格，是一单位套期保值证券的价格，因为等式两边都有 dr ，所以省略了。以久期为基础进行套期保值，指的是以久期和债券价格的乘积作为债券价格变化的近似值，因此，买入或卖出的保值债券数量单位由求解下式得出

0 HHp dBndB

0 HHP BDURnDURH

HH

PPH BDUR

BDURn

例 2-8: 利用久期为债券组合的利率风险套期保值 假设你拥有一份面值为 3000万美元、息票利率 10%、

到期期限为 10 年的附息债券，当前的到期收益率为 8% 。假设你预期未来几天利率可能上升，打算对利率风险暴露进行套期保值。但不幸的是，你持有的债券缺乏一个富有流动性的市场，从而无法迅速地出售。但是，你可以卖出一个更富流动性的债券，其息票利率为 9% ，期限为 12 年，面值10万美元，到期收益率为 7% 。你需要卖出多少债券呢？假设两种债券都是每半年付一次息，第一次利息支付是在六个月后。列图说明当收益率在 -5% 到 +10% 的区间变动时，保值证券组合的价格变化以及保值的有效性。

第一步就是计算债券的价格和久期。由于不知道零息债券的收益率曲线，所以可利用基于收益的计算公式

同时考虑反映债券价格变化的久期和凸性，可改善保值的效果，但是要做到这点，需要两种保值证券。要确定买入或卖出的保值债券的合适数量，就要使得欲保值债券组合的久期和凸性与保值证券的久期和凸性相一致。为抵消资产组合的久期风险，久期必须满足下面的限制式

上述限制式仅说明，在调整好和后将不存在久期风险暴露。同时，还要满足下面的凸性限制式

02,2,2,1,1,1, HHHHHHPP BDURnBDURnBDUR

02,2,2,1,1,1, HHHHHHPP BCVXnBCVXnBCVX

例 2-9: 利用久期 / 凸性为债券组合的利率风险套期保值

本例相关问题同例 2-8 ，另外假设存在第二个保值债券，其息票利率为 5% ，期限为 20年，面值为 10万美元，到期收益率为 7.5% 。如果想对所持资产组合的久期和凸性风险同时进行保值，每种保值债券应卖出多少？列图说明，当收益率在 -5% 到 +10% 的区间内变动时，被保值的资产组合价格变化是多少？并将基于久期 / 凸性进行的保值与仅基于久期进行的保值相对比，说明哪种保值更有效 ?

无风险套期保值的解为 =317.661 ， =71.572

0)32.139,73)(5501.11()65.965,114)(8916.7()77.782,719,33(7539.6 2,1, HH nn

0)32.139,73)(5095.185()65.965,114)(6506.79()77.782,719,33(4665.57 2,1, HH nn

,1Hn

,2Hn

5 市场上交易的息票债券 最著名的息票债券可能要数美国财政部发行的长期债券和中期票据，这两类都属于息票债券，其区别

在于，财政部票据的初始发行期限为 2 到 10 年，而财政部长期债券的初始发行期限一般在 10 年以上。表 2-2同样列出了财政部附息债券。该表的报告要符合某些规则。首先，与拆分债券类似，息票债券价格也是用冒号，而非采用十进制法表示，这是因为冒号右边的数字是 32 进制法，而非十进制法。价格为 92:08 ，意味着面值的 92.25% 。

尽管表中的报价没有明确说明，第二个规则则是息票利息每半年（即六个月）支付一次。例如，“ 6 1/4s of May 2030”意味着在债券有效期内每年 11月 15号和 5月 15号按面值的 3.125%支付息票利息，最后一次利息和面值将在 2030 年 5月 15 日支付。

第三个规则是财政部债券和财政部票据的报价不含当前附息期间的新增利息。新增利息等于半年的息票利息乘以自上次付息以来的天数占当前付息期间的比例，即

所报的债券价格为其当前价格减去新增利息，因此，如果我们当天购买该债券，需要支付债券的报价加新增利息。这种做法似乎有些愚蠢，也确实有点。但是，该惯例几十年前就形成了，有时很难打破传统。用债券交易商的说法，不含新增利息的债券价格被称为“清洁价格”，而包含新增利息的债券价格则称为“肮脏价格”、“总价”或“全价

第四个规则在表 2-2 中只出现了一次，即某些财政部债券是可随时兑现的。在表第二列的上端我们看到“ 11¾ Nov 09-14” 的标示，其含义是，美国财政部有权利在 2009 年 11月 15 日和 2014 年 11月15 日之间任何一个付息日将所有债券赎回，他们是否会这样做，取决于任何可赎回日的利率水平。因为该“买入期权”有利于财政部，所以其价格低于没有赎回特征的类似债券。注意报价为“ 11¾s of Nov 09-14” 的债券比表中相邻债券承诺的到期收益率更高。

新增利息这个“实际 /实际”的定义仅适用于财政部票据和债券；公司债券和市政债券的新增利息以360 天为基础，每月 30 天，因此其表达方法被称为“ 30/360” 。

与国库券类似，财政部票据和债券也有一营业日的结算期，而公司债券的结算期一般为三天。

( )AI COUP自上次付息以来的天数当前付息期间的总天数

例 2-10: 利用华尔街日报的价格计算息票利息流的现值 表 2-2 中， 2030 年 5月到期的“ bp” 拆分债券所报的询

价价格是 21:13 ，标示为“ 6¼s of May 2030” 债券所报的询价价格为 108:12 ，不用债券定价公式，试计算标示为“ 6¼s of May 2030” 债券息票利息的现值。

因为到期日在 2030 年 5月的附息债券只有一种， 2030年 5月到期的“ bp” 拆分债券必定来自于“ 6¼s of May 2030” 的债券，因此附息债券本金的现值应是面值的 21.40625% 。为了求得息票利息的现值，首先需要确定“ 6¼s of May 2030” 债券的价格。以十进制法表示的询价价格是面值的108.375% ，截至 8月 31号当前付息期间已经过去了 108天，而当前付息期间的总天数为 184 ，因此新增利息为 (6.25/2)×(108/184)=1.8342 。息票利息的现值是 108.3750+1.8342−21.4062=88.8030 。下面的过程汇总如下

例 2-11: 计算附息债券赎回权利的价格 假设财政部债券价格（以 32 进制法表

示）如下所示

息票利率为 8¼% 的债券可以在 2010 年到 2015 年间任何一个 5月 15号按面值赎回，根据所报价格计算该赎回权利的价格。

可利用复制定价法来推导赎回权利的价格。根据问题所给信息，我们可用息票利率为 12% 的附息债券和零息债券构建一个不能赎回的息票利率为 8¼% 的附息债券。为了复制8¼% 的息票利息，我们需要买入个单位的息票利率 12% 的债券。尽管这一买入可以创造想要的现金流，但 2015 年偿还的本金仅为 68.75 ，为了弥补这个差异 100-68.75=31.25 ，我们需要买入 0.3125 个单位的零息债券，这样在不存在无成本套利的机会下，该无赎回权、息票利率为 8¼% 的附息债券价格为

因此，该赎回权的价格为 106.5410-103.59375=2.9473 。

债券等价收益率 “6¼s of May 2030” 债券连续复利的到期收益率

可用公式（ 2-24 ）计算，为 5.5847% 。但表 2-2中，“ 6¼s of May 2030” 债券所报的到期收益率却是 5.66% ，该报告利率称为债券的等价收益率。尽管本书此后各章并不都使用债券等价收益率这个概念，但要协调市场报价和实际的经济学意义上的价格，还是很有必要了解一下债券市场所采用的报价规则。

债券等价收益率是一个名义收益率 ，令债券的市场价格等于其现金流的现值，求解 ，可得债券等价收益率，即

sy

sy

其中，是当前付息期间剩余的天数，是当前付息期间的总天数。实际上，公式（ 2-34 ）右边意味着，先计算债券在下次付息日的价格，然后利用贴现因子将该价格贴现，贴现因子的大小取决于当前付息期间的剩余天数在总天数中的比例。需要注意的是，当计算债券在下次付息日的价格时，加总式中第一个利息不需要贴现，因为该利息是立刻支付的。此外还需注意，报告中的债券等价收益率是基于询价价格，而非报价价格，其原理是，如果买入该债券，债券的等价收益率可作为将债券持有至到期所得回报率的近似值 本规则仅适用于财政部债券和票据，而公司债券和市政债券采用不同的天数计算规则。

1

0

/ )2/1(2/1n

i

TSi

nnSc

idcpdr yCFyB

例如，“ 6¼s of May 2030” 债券等价收益率由下式决定

其中，等于每期的息票利息 3.125 ，但最后一次付款是息票利息加到期日偿还的本金 103.125

160

0

184/76 )2/1(2/12092.110i

TSiS

iyCFy

2.5 利率期限结构

我们从表 2-1所报的贴现债券的利率可以看出，零息债券利率（或即期利率）随到期期限的变化而变化。即期利率和到期期限的关系称为利率的期限结构，即期利率的期限结构，以及零息债券的收益率曲线，这些称呼可互换。

在运用息票债券定价公式 时，需要知道每次现金流的零息利率，但息票债券现金流的期限可能介于市场上零息债券到期期限之间。例如，假设需定价的债券将在 4 个月后有一笔现金流，现在将到期的零息债券只有 3 个月期和 6 个月期的，但不管怎样，必须要找到 4 个月期的零息债券利率。一种方法是线性插入法，即对 3月期和 6月期零息债券利率简单地进行加权平均， 3月期债券利率的权重为 2/3 ， 6月期债券利率的权重为 1/3 。另一种方法是利用最小二乘回归或者三项式加权组合法等技术对所有零息债券利率进行一次性平滑 。

n

i

Tri

n

iidc

iieCFBB11

,

我们假设已经对整个利率期限结构进行了平滑，该结构可由以下这样数学关系式表达： 图 2-1绘出了根据上式计算的不同到期期限下利率，如图所示，利率期限结构是向上倾斜的，且收益率的增长率随到期期限的增加而递减。图中还绘出了对应于每个零息利率的贴现因子，贴现因子就是未来 Ti 时刻收到的 1 美元的今天价格，即 。

0.04 0.01ln(1 )i ir T

i irTiDF e

2.5.1 隐含的远期利率

零息债券收益率曲线代表了到期期限不同的即期贷款利率，贷款从现在开始，直到债券的有效期末 T 。零息债券收益率曲线也隐含了未来贷款的利率，这些利率被称为远期利率。 我们要推导 时刻开始、 时刻结束的贷款的远期利率，我们需要先根据零息收益率曲线，找到对应于不同到期期限的即期利率 和 。接下来，假设我们打算将 1 美元投资 的时间，为此，我们可以直接买入到期期限为 的零息债券，或者也可先买入到期期限为 的零息债券，然后再将到期资金重新投资于到期期限为 的零息债券。 以上从 到 的贷款利率就称为远期利率，只需让两种投资方法的终值相等，也就是满足下面公式，即可求得远期利率。

(2-36)

1T 2T

1r 2r

1T2T

2T

2 1T T1T 2T

)( 122,11122 TTfTrTr eee

对上述公式两边取自然对数，用 i替代下标 1 ，用 j替代下标 2 ，然后变形以求出 ，可以得出更为一般化的 时刻开始、 时刻结束的贷款隐含远期利率：

(2-37)

零息债券收益率曲线也可用来推导远期贴现因子，由（ 2-36 ）式，我们有

(2-38)

其中， 是市场上可观察到的第 i种零息债券的贴现因子， 是 时刻开始、 时刻结束的隐含远期贴现因子。将（ 2-38 ）予以变换，隐含的远期贴现因子可计算如下

(2-39) 将式（ 2-39 ）进一步变形，隐含的远期利率也可由下式计算得出：

(2-40)

.i jf iT jT

ij

iijjji TT

TrTrf

,

2,112

111

FDFDFDF

iDF ,i jFDF

i

jji DF

DFFDF ,

ij

jiji TT

DFDFf

)/ln(,

iT

jT

例 2-12: 由零息债券收益率曲线计算远期利率和远期贴现因子假设当前零息债券的利率期限结构由下面的曲线给出

计算从现在开始、截止日从 1 年到 10 年不等的贷款的即期利率和贴现因子，并计算开始日为 1 年后至九年后的一年期贷款的远期利率和远期贴现因子。要计算零息债券即期利率非常容易，只需要需要运用所给的期限结构公式。例如，一年期即期利率为 ，一年期贴现因子为 ，其它的计算与此类似。 要根据息票债券即期利率计算远期利率和远期贴现因子，需要运用（ 2.37 ）和（ 2.39 ），一年后开始发放的一年期贷款隐含的远期利率为：

此外根据隐含的远期利率和隐含的贴现因子之间的关系，也可得：

0.04 0.01ln(1 )i ir T

1 0.04 0.01ln(1 1) 4.693%r 0.04693(1)

1 0.9542DF e

1,2

0.05099(2) 0.04693(1)5.504%

2 1f

1,2 1 21,2

ln(1/ ) ln( / ) ln(1.0566)5.504%

2 1 2 1 2 1

FDF DF DFf

其它期限的远期利率计算过程相同，结果如下图所示：

需注意，当前开始发放的一年期贷款隐含的远期利率等于一年期的即期利率，因为当前开始的贷款远期利率就是即期贷款利率。还需注意，隐含的远期利率可能远远高于即期利率。 9 年期和 10 年期贷款的即期利率分别为 6.303% 和 6.398% ，而 9 年后发放的一年期贷款隐含的远期利率则是 7.256% 。

另外一个比较重要的应用就是用远期利率来锁定远期贷款的利率如下例：例 2-13: 锁定远期贷款的利率若不同期限的即期借贷款利率如下图所示：

根据上述报价，对于三个月后开始的期限为 9 个月的贷款，应将远期利率锁定在何种水平上？说明如何安排该笔贷款的结构，现在可以锁定的利率水平是多少？（假设所有利率都是连续复利。）

为了计算远期利率，必须确定未来贷款区间两个端点对应的即期利率，即到期日分别在远期贷款区间开始和结束的贷款—— 3月期贷款和1 年期贷款的即期利率。因为你打算在该远期区间借款，较长期贷款的即期利率就是借款利率 5%；因为接下来的三个月你不需要贷款，较短期贷款的即期利率就是贷款利率 3% 。这样，三个月后开始发放的 9月期贷款隐含的远期利率为

需要的是在三个月后借款 5万美元，在借款后九个月偿还的贷款，对于这笔 5万美元的现金流，你需要将这笔三个月后收到的 5万美元的现值贷出，在该笔存款上可获得的利率为 3% 。三个月末收到的 5万元现值为

于是我们通过借入 49,626.40 美元一年，然后将其贷出三个月，你就构建了一笔三个月后发放、期限 9 个月的远期贷款。且该合约的净现金流是确定的，如下所示 ：

0.25,1

0.05(1) 0.03(0.25)5.667%

1 0.25f

0.03(0.25)50000 49626.40e

2.6 股票定价股票份额是在公司所有权中的筹码，股东通过两种方式获得收益，一是通过定期的现金红利支付，二是通过持股期间的股票价格变化（包括溢和折价两种情况）。股票的定价与息票债券相似，两者都是未来预期现金流的现值，但与债券不同的是，股票未来定期支付的现金流（股息红利）并不是合同约定好的，即不是固定的。且在不破产的情况下，股票的有效期是无穷的。

在股票的定价问题中，预期未来现金流就是现金红利，我们用 表示未来第 i 个现金红利，且红利流是无限连续的，即 ， ，……。 表示从现在起到第 i 个次股息支付所需的时间。所有未来现金流的现值为： (2-41)

其中 k 是持有股票所需的回报率。

上面公式定义时假设股票是被永久持有的，那当我们打算持有期限较短的时候，情况会如何！事实上，这种情况下，公式（ 2-41 ）仍是一个合适的模型。

1D 2D it

1i

kti

ieDS

现在我们假设在收到第 n 次股息后将把股票卖出，此时的股票价格为 (2-42)

其中， 是 时刻预期的股票价格。为了推导时刻预期的股票价格，假设我们把股票出售给计划永远持有股票的人，该笔交易价格为：

(2-43)

将（ 2-43 ）代入（ 2-42 ）并化简，我们得到 。

市场上交易的普通股：美国股票的现金红利一般是按季支付的，企业董事会每个季度聚一次，并发表公告，公告日称为股息公布日，公告要确定： (1)谁领取股息， (2) 多少股息， (3)什么时候支付股息（即付息日）。

ni ktn

n

i

kti eSeDS

1

nS nt

1

)(

ni

ttkin

nieDS

1i

kti

ieDS

总 结 有效地管理风险需要精确地测量风险，而精确地测量风险需要全面了解证券定价。本章介绍了证券定价的基础知识，第一小节讨论了定价的两个主要假设——不存在无成本套利机会和无摩擦市场。 第一个假设是基于这样的观点，假设其他因素不变，每个个体都会偏好更多的财富，该原则决定了无风险套利机会的消失，这个假设是至关重要的。而第二个假设是为了分析的方便，它确保我们不受妨碍地推导证券定价模型。在后面章节的学习中，将会以各种方式放松这些假设。

接下来的五节重点分析货币的时间价值和其对证券定价

意义，并介绍重要的风险度量工具。一． 首先第二节介绍的是连续复利利率的计算方法，并将该方法运用于证

券定价。给定名义利率 r 和一年有 m 个复利期间，当 m趋向于无穷时，有效利率如下：

二． 第三节重点介绍最简单证券——贴现债券的定价，贴现债券的价格不过是其到期日约定付款额的现值。

三． 第四节重点介绍了息票债券，并指出息票债券不过是贴现债券的简单组合。在三、四小节中利用定价公式推导了利率风险度量工具——久期和凸性。

1re

rTFeB

息票债券的定价公式：

零息债券的久期和凸性公式：

息票债券的久期和凸性公式：

TFe

TFe

B

drdB

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2222

2

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iidic TwDURwDUR

11.

n

iii

n

iidic TwCVXwCVX

1

2

1,

四． 第五节探讨了了利率随期限而变化的问题，和零息债券隐含的远期利率。远期利率公式如下：

五． 最后，利用利率计算方法介绍了普通股定价，股票价格是无数个预期现金红利的折现值。一般股票定价公式如下所示：

1i

kti

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ij

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