社会选择

社会选择社会选择Zhang YanZhang Yan

Guang Dong University of FinanceGuang Dong University of Finance2007-2008 First Semester2007-2008 First Semester

2007 Fall Zhang Yan---GDUF 2

社会选择社会选择 BergsonBergson －－ Samuelson social welfare funSamuelson social welfare funcion cion 伯格森－萨缪尔森社会福利函数伯格森－萨缪尔森社会福利函数

Voting Paradox Voting Paradox 投票悖论投票悖论 Arrow’s Impossibility Theorem Arrow’s Impossibility Theorem 阿罗不可能性定理阿罗不可能性定理

其他不可能定理其他不可能定理其他社会福利函数其他社会福利函数


BergsonBergson －－ Samuelson social welfaSamuelson social welfare function---re function---swfswf

社会福利函数（社会福利函数（ A. Bergson 1938, P. SamA. Bergson 1938, P. Samuelson 1947uelson 1947 ））

基本思想：社会福利是社会全体成员所购基本思想：社会福利是社会全体成员所购买的商品和所提供的要素和其他有关变量买的商品和所提供的要素和其他有关变量的函数，福利最大化的标准可以是帕累托的函数，福利最大化的标准可以是帕累托最优，也可以是其他标准。在使用时必须最优，也可以是其他标准。在使用时必须加入一定的价值判断。加入一定的价值判断。

W=WW=W （（ ZZ11，， ZZ22┄┄┄┄ ）） WW ：社会福利，：社会福利， W()W() ：函数，：函数， Z1Z1 ，， Z2 ┄Z2 ┄ ：：有可能影响福利的变量。有可能影响福利的变量。


通常的价值判断标准：通常的价值判断标准： 1. Welfarism---1. Welfarism--- 福利主义福利主义社会排序可以仅仅取决于社会成员的个人社会排序可以仅仅取决于社会成员的个人排序排序

2.2. Strong Pareto Criterion---Strong Pareto Criterion--- 强帕累托强帕累托标准标准

包括：弱帕累托标准和严格帕累托标准包括：弱帕累托标准和严格帕累托标准社会福利无差异曲线是负斜率的。社会福利无差异曲线是负斜率的。



弱帕累托标准：其他条件不变所有弱帕累托标准：其他条件不变所有个人的效用水平增加那么函数值也个人的效用水平增加那么函数值也增加。增加。

WW11-W-W22-W-W3 3 离原点越高的福利水平越高离原点越高的福利水平越高

BergsonBergson －－ Samuelson social welfaSamuelson social welfare function-re function---swf--swf

社会福利无差异曲线社会福利无差异曲线

A

B

C 严格帕累托标准：严格帕累托标准：至少一人福利增加，至少一人福利增加，同时没有任何人福同时没有任何人福利减少。利减少。

A-CA-C A-BA-B

W2

W3

W1

UK

UJ


BergsonBergson －－ Samuelson social welfaSamuelson social welfare function-re function---swf--swf

3. Stictly quasi-concave---3. Stictly quasi-concave--- 严格准凹性严格准凹性

, , (0,1),

(1 ) min ( ), ( )

x y X x y

f x y f x f y

社会无差异曲线凸向原点，平均主义的伦理观念；即靠近坐标轴的效用不平等状态是社会所不希望的

W1

UK

UJ


各种影响福利的变量可能组合成种不同的各种影响福利的变量可能组合成种不同的方式，因此，福利的最大化取决于这些变方式，因此，福利的最大化取决于这些变量的排列组合情况和每个人对这种排列组量的排列组合情况和每个人对这种排列组合的选择，而个人的选择则取决于个人的合的选择，而个人的选择则取决于个人的偏好；于是，福利最大化便追溯到一个道偏好；于是，福利最大化便追溯到一个道德的领域，即社会成员的主观评价问题。德的领域，即社会成员的主观评价问题。上述表述也可以反过来推理：个人的偏好上述表述也可以反过来推理：个人的偏好选择决定了个人的福利最大化，个人的偏选择决定了个人的福利最大化，个人的偏好选择最终总和决定了整体的社会福利最好选择最终总和决定了整体的社会福利最大化的增减情况。大化的增减情况。



BergsonBergson －－ Samuelson social welfare fuSamuelson social welfare function-nction---swf--swf 被提出之后，福利经济学家被提出之后，福利经济学家开始寻找社会福利的特定形式。开始寻找社会福利的特定形式。

Kenneth J. ArrowKenneth J. Arrow 于于 19511951 年（最早见于期年（最早见于期其其 19501950 年的年的 A difficulty in the concepA difficulty in the concept of social welfaret of social welfare ）证明了寻找社会福）证明了寻找社会福利函数的具体形式是徒劳的。－－－利函数的具体形式是徒劳的。－－－ The iThe impossibility proposition of Arrowmpossibility proposition of Arrow..



对阿罗悖论，我们用比他的分析简单得对阿罗悖论，我们用比他的分析简单得多的“投票悖论”给于表示。多的“投票悖论”给于表示。

这一投票现象是法国社会学家孔多塞（这一投票现象是法国社会学家孔多塞（ CCondorcetondorcet ，， 1713-17941713-1794 ）早就发现的，）早就发现的，因此也被称为“孔多塞效应”。因此也被称为“孔多塞效应”。

Voting paradox Voting paradox 投票悖论投票悖论


Voting paradox Voting paradox 投票悖论投票悖论假设：假设： James,Kate,RobertJames,Kate,Robert 三个人选公司公关部经三个人选公司公关部经理，三个人的偏好为理，三个人的偏好为 ::

才能才能 JJ>> 容貌容貌 JJ>> 关系关系 JJ

容貌容貌 KK>> 关系关系 KK>> 才能才能 KK

关系关系 RR>> 才能才能 RR>> 容貌容貌 RR


Voting paradox Voting paradox 投票悖论投票悖论通过下表的分析可以看出若每个人的偏好不同通过下表的分析可以看出若每个人的偏好不同 ,,

通过任意家总这些偏好而得到的结构是不相容的通过任意家总这些偏好而得到的结构是不相容的 ..

才能和容貌才能和容貌容貌和关系容貌和关系关系和才能关系和才能

JamesJames 选才能选才能 JameJame 选容貌选容貌 JamesJames 选才能选才能

KateKate 选容貌选容貌 KateKate 选容貌选容貌 KateKate 选关系选关系

RobertRobert 选才能选才能 RobertRobert 选关系选关系 RoberRober 选关系选关系

才能才能 >> 容貌容貌容貌容貌 >>关系关系关系关系 >> 才能才能


Voting paradox Voting paradox 投票悖论投票悖论

甲甲 AA＞＞ BB＞＞ CC乙乙 BB＞＞ CC＞＞ AA丙丙 CC＞＞ AA＞＞ BB

程序一程序一 A VS B

C VS A

程序二B VS C

A VS B

程序三A VS C

C VS B


Voting paradox Voting paradox 投票悖论投票悖论只要有三个以上的人，有三个以上的选择只要有三个以上的人，有三个以上的选择项就不会有所谓的最优选择：不同的程序项就不会有所谓的最优选择：不同的程序就有不同的结果。就有不同的结果。

在这种情况下，如果一定要排列出社会偏在这种情况下，如果一定要排列出社会偏好顺序，势必会等同于某一个人的偏好顺好顺序，势必会等同于某一个人的偏好顺序，这个人也就是阿罗所谓的“独裁者”。序，这个人也就是阿罗所谓的“独裁者”。


Arrow’s Impossibility TheorArrow’s Impossibility Theoremem

对个人的偏好无法进行简单地相加，由阿对个人的偏好无法进行简单地相加，由阿罗在罗在 19631963 年的《社会选择与个人价值》一年的《社会选择与个人价值》一书作了无法推翻的严格证明。书作了无法推翻的严格证明。

阿罗证明：不可能存在一种能够把个人对阿罗证明：不可能存在一种能够把个人对种备选方案的偏好次序转化为社会偏好次种备选方案的偏好次序转化为社会偏好次序，并且准确表达社会全体成员的各种各序，并且准确表达社会全体成员的各种各样的个人偏好的社会选择机制。样的个人偏好的社会选择机制。



假设假设 : : II ：社会由一个以上的人组成，社会排序基于个人：社会由一个以上的人组成，社会排序基于个人

对各种选择的排序。对各种选择的排序。 IIII ：个人和社会排序满足一下两个公理。：个人和社会排序满足一下两个公理。完全性完全性 (completeness):(completeness): For all x and y, eithe For all x and y, eithe

r xRy or yRx. r xRy or yRx. 传递性（传递性（ transitivitytransitivity ）：）： Fall all x, y and z,Fall all x, y and z,

xRy and yRz imply xRx. xRy and yRz imply xRx.



Natural conditions:Natural conditions: AA、、 Free triple:---Free triple:---自由三择自由三择 The social welfare function is defined for The social welfare function is defined for

every admissible pair of individual orderinevery admissible pair of individual ordering.g.

个人有权进行“自由选择”，而无论个人偏好如个人有权进行“自由选择”，而无论个人偏好如何，都应成为社会选择的基础。何，都应成为社会选择的基础。



BB、、 Positive association of social and indiviPositive association of social and individual values---dual values--- 社会福利与个人效用正相关社会福利与个人效用正相关

If an alternative social state x rises or doeIf an alternative social state x rises or does not fall in the ordering of each individual s not fall in the ordering of each individual without any other change in those orderings awithout any other change in those orderings and if x was preferred to another alternative nd if x was preferred to another alternative y before the change in individual ordering,thy before the change in individual ordering,then x is still preferred to y.en x is still preferred to y.

？？？？？？ What is the meaning?What is the meaning?



CC、、 Independence of irrelevant alternativeIndependence of irrelevant alternatives---s---非相关选择的独立性：非相关选择的独立性：

Let RLet R11 R R22, and R, and R’’11 R R’’2 2 be two sets of individual orderibe two sets of individual orderings. If, for both individuals i and for all x and y ings. If, for both individuals i and for all x and y in a given set of alternatives S, xRn a given set of alternatives S, xRiiy if and only if y if and only if xRxR’’iiy, then the social choice made from S is the same y, then the social choice made from S is the same whether the individual orderings are Rwhether the individual orderings are R11 R R22, or R, or R’’11 R R’’2 .2 .

其含义是，对三件事其含义是，对三件事 AA、、 BB、、 CC进行的选择与排序，不取决进行的选择与排序，不取决于是否存在另一些不相关的事件于是否存在另一些不相关的事件 DD 或或 EE，也不取决于人们对，也不取决于人们对 DD或或 EE的态度。的态度。



DD 、、 Citizens’ sovereignty---Citizens’ sovereignty--- 公民自主公民自主 The social welfare function is not to The social welfare function is not to be imposed.be imposed.

尽管社会中所有人都偏好于多子多福，而尽管社会中所有人都偏好于多子多福，而社会排序仍然显示计划生育更好，则该社社会排序仍然显示计划生育更好，则该社会偏好是强加的。会偏好是强加的。



EE 、、 non-dictatorship---non-dictatorship--- 非独裁性非独裁性 The Social welfare function is not be dictaThe Social welfare function is not be dicta

torial.torial. Individual Individual ii is a dictatorial if for all x is a dictatorial if for all x

and y, xPand y, xPiiy implies xPy regardless of the oy implies xPy regardless of the orderings of all individuals other than rderings of all individuals other than ii..

这是说，任何一个人的偏好不能自动地占据统治这是说，任何一个人的偏好不能自动地占据统治地位，成为社会偏好。地位，成为社会偏好。



思考思考 :: 自习并完成自习并完成 Arrow’s Impossibility TheoremArrow’s Impossibility Theorem 的证的证明。明。

Arrow’s Impossibility TheoremArrow’s Impossibility Theorem 原始证明的不足原始证明的不足（（ BlauBlau ，， 19571957 ））

Arrow’s Impossibility TheoremArrow’s Impossibility Theorem 原始证明的修正原始证明的修正 Murakami(1961):Murakami(1961): 自由排序，自由排序， IIAIIA ，弱帕累托准则，，弱帕累托准则，非独裁原则；非独裁原则；

ArrowArrow （（ 1963 )1963 ) ：：自由三则，自由三则， IIAIIA ，弱帕累托准则，，弱帕累托准则，强非独裁原则；强非独裁原则；



根据投票悖论，只要有三个以上的人，有三个以根据投票悖论，只要有三个以上的人，有三个以上的选择项就不会有所谓的最优选择：不同的程上的选择项就不会有所谓的最优选择：不同的程序就有不同的结果。序就有不同的结果。

在这种情况下，如果一定要排列出社会偏好顺序，在这种情况下，如果一定要排列出社会偏好顺序，势必会等同于某一个人的偏好顺序，这个人也就势必会等同于某一个人的偏好顺序，这个人也就是阿罗所谓的“独裁者”。是阿罗所谓的“独裁者”。

阿罗则从此得出：“对于每一存在真正意见分歧阿罗则从此得出：“对于每一存在真正意见分歧的选择，存在一个独裁者。”这就是说，在社会的选择，存在一个独裁者。”这就是说，在社会选择中，国家的权威是不可避免的。选择中，国家的权威是不可避免的。



If we exclude the possibility of interpeIf we exclude the possibility of interpersonal comparisions of utility, then the rsonal comparisions of utility, then the only methods of passing from individual only methods of passing from individual tastes to social preferences which will tastes to social preferences which will be satisfactory and which will be difinebe satisfactory and which will be difined for a wide range of sets of individual d for a wide range of sets of individual orderings are either imposed or dictatororderings are either imposed or dictatorial.ial.



如果个人偏好次序都有定义，那么把个人偏好加如果个人偏好次序都有定义，那么把个人偏好加总成为表达社会偏好的最理想的方法，要么是强总成为表达社会偏好的最理想的方法，要么是强加的，要么是独裁的。也就是说，不可能存在一加的，要么是独裁的。也就是说，不可能存在一种这样的社会选择机制：不仅能够把个人对种这样的社会选择机制：不仅能够把个人对 NN 中中被选方案的偏好转换为社会偏好，同时又能准确被选方案的偏好转换为社会偏好，同时又能准确地表达社会各成员地个人偏好－－－地表达社会各成员地个人偏好－－－以个人效用以个人效用为基础地社会福利函数不可能存在。为基础地社会福利函数不可能存在。


其他不可能定理其他不可能定理 1. The Impossibility Propositon of Kemp-Ng 1. The Impossibility Propositon of Kemp-Ng

and Parksand Parks (Kemp & Ng 1979, Parks 1979) (Kemp & Ng 1979, Parks 1979) －－－－－肯普－黄和帕克斯不可能性－肯普－黄和帕克斯不可能性

我们不能够仅仅根据个人的序数偏好得出合理化我们不能够仅仅根据个人的序数偏好得出合理化的社会排序。的社会排序。

2. Gibbard’s Oligarchy Theorom-2. Gibbard’s Oligarchy Theorom-----吉伯德寡吉伯德寡头定理头定理

一个满足理性、弱帕累托性和二元性的集体决策一个满足理性、弱帕累托性和二元性的集体决策规则必然存在寡头。规则必然存在寡头。


其他不可能定理其他不可能定理 3. Sen’s Impossibility of a Pareto Lib3. Sen’s Impossibility of a Pareto Liberal-eral----- 森帕累托自由悖论。森帕累托自由悖论。

弱帕累托标准与自由主义可能会出现不一致，弱帕累托标准与自由主义可能会出现不一致，从而提出应该重视研究个人权利等问题对社会从而提出应该重视研究个人权利等问题对社会排序的影响。排序的影响。


其他社会福利函数其他社会福利函数 1. Arrow’s Social Welfare Function-1. Arrow’s Social Welfare Function---SWF--SWF －－－－

－－阿罗社会福利函数阿罗社会福利函数 RR ＝＝ ff ｛｛ (R(Rii)) ｝｝

定义在社会状态集合定义在社会状态集合 XX 上的个人偏好排序上的个人偏好排序 RRii确确定社会排序定社会排序 RR 的某种社会决策规则。的某种社会决策规则。

2. 2. 功利主义的社会福利函数功利主义的社会福利函数

1

H

i ii

i i

W x a u x

a u W x x

其中为权重，为个人效用, 为社会状态的社会效用


其他社会福利函数其他社会福利函数 3. 3. 贝尔努利－纳什社会福利函数贝尔努利－纳什社会福利函数

1

( ) i

Ha

ii

i

W U

U

因为越平均采用连乘法得到的社会福利越大，

与功利主义社会福利函数相比更强调平等。

4. 4. 罗尔斯社会福利函数罗尔斯社会福利函数WW＝＝ min(umin(uii) i=1,2,3,…,n) i=1,2,3,…,n重视社会底层的福利。重视社会底层的福利。


其他社会福利函数其他社会福利函数思考并讨论：思考并讨论：我们这节课提到的我们这节课提到的 55 种社会福利函数，种社会福利函数，你更认同那一种，为什么？你更认同那一种，为什么？

你认为存在社会福利函数么？你认为存在社会福利函数么？预习：预习：课本第七章：外部性课本第七章：外部性


Thanks For Your Attentions!!!Thanks For Your Attentions!!!

1,1, 饮食简单，尽量不要吃野生动物、保护动物饮食简单，尽量不要吃野生动物、保护动物2,2, 早睡早起，充分利用自然光，节约能源早睡早起，充分利用自然光，节约能源3,3, 尽量安步当车，既锻炼身体，又缓解交通堵塞、减少尽量安步当车，既锻炼身体，又缓解交通堵塞、减少汽车尾气污染汽车尾气污染

4,4, 去食堂尽量用消毒餐具或自带餐具，少用一次性用品，去食堂尽量用消毒餐具或自带餐具，少用一次性用品，既健康有环保既健康有环保

5,5, 随身带个塑料袋，以备超市等购物、装物用随身带个塑料袋，以备超市等购物、装物用6,6, 尽量用手帕，因为餐巾纸有漂白剂污染环境。此款特尽量用手帕，因为餐巾纸有漂白剂污染环境。此款特别适用于女士，显得古典、优雅别适用于女士，显得古典、优雅

7,7, 勿随意丢弃废旧电池，一个勿随意丢弃废旧电池，一个 55号电池可将号电池可将 55 平方米土平方米土地重金属污染达地重金属污染达 5050 年…………年…………

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