Συστήματα αναφοράς και χρόνου

1

Συστήματα αναφοράς και χρόνου

Σύνοψη βασικών εννοιών

2

Κεφάλαιο 2

Βασικές έννοιες

3

Ένα σημείο Ο που ονομάζεται «αρχή» και μία «βάση» στο Ο = = τρία μη συνεπίπεδα διανύσματα στο Ο (συνήθως ορθοκανονική βάση = μοναδιαία διανύσματα κάθετα μεταξύ τους

1 2 3( , , , )O e e e

(2) Στην περιγραφή τοπικών διανυσμάτων σε κάθε σημείο Ρ μέσω τωνσυνιστωσών τους ως προς μια τοπική βάση η οποία προκύπτει μέσω της παράλληλης μετάθεσης της βάσης του συστήματος αναφοράςαπό το σημείο Ο στο σημείο Ρ

Σε τι χρησιμεύει ένα σύστημα αναφοράς;

(1) Στην περιγραφή σημείων Ρ μέσω των καρτεσιανών συντεταγμένωνΚαρτεσιανές συντεταγμένες = συνιστώσες του διανύσματος θέσης ΟΡ

1 2 3 1 2 3( , , , ) ( , , , )O e e e P e e e

1 2 31 2 3x OP x e x e x e

ex

1 2 31 2 3v v e v e v e ev

Τι είναι ένα σύστημα αναφοράς;

Ένα σύστημα αναφοράς μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο στη Νευτώνεια μηχανική - Χώρος τριών διαστάσεων = επίπεδος (μη καμπύλος)

4

1 2 3( , , )q q qΤι είναι ένα σύστημα (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων;

Tρεις συναρτήσεις q1, q2, q3 οι οποίες σε κάθε σημείο Ρ του 3Δ χώρουαντιστοιχούν τρεις αριθμούς q1(P), q2(P), q3(P)

Σε τι χρησιμεύει ένα σύστημα (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων;

(1) Στην περιγραφή σημείων Ρ μέσω των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων

(2) (ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΑ – ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ)Στην περιγραφή τοπικών διανυσμάτων σε κάθε σημείο Ρ μέσω τωνσυνιστωσών τους ως προς μια τοπική βάση η οποία προκύπτει από τηνπαραγώγιση του διανύσματος θέσης ΟΡ ως προς τις συντεταγμένεςΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ: Οι εξισώσεις της φυσικής έχουν την ίδια μορφή σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων

1 2 31 2 3, ,x x xe e eq q q

Ένα σύστημα συντεταγμένων και οι σχετικές βάσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί και πέρα από τη Νευτώνεια μηχανική, π.χ. στη γενική θεωρία της σχετικότητας (καμπύλος τετραδιάστατος χωροχρόνος)

5

Τι είναι το εσωτερικό γινόμενο;

Απεικόνιση δύο διανυσμάτων σε αριθμό: ( , ) | || | cosa b a b a b

Ποια γεωμετρικά χαρακτηριστικά αποδίδονται με το εσωτερικό γινόμενο;

Το μήκος διανύσματος, η γωνία θ μεταξύ διανυσμάτων και η απόσταση σημείων

a a a cos

| | | |a ba b

Τι είναι το εξωτερικό γινόμενο;

Απεικόνιση δύο διανυσμάτων σε διάνυσμα:

| | | | ( ) ( )B A B A B AAB x x x x x x

( , )a b c a b

, , | | | || | sinc a c b c a b

Ποια γεωμετρικά χαρακτηριστικά αποδίδονται με το εξωτερικό γινόμενο;

Το εμβαδόν Α του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν 2 διανύσματα

| |A a b

6

Ποια γεωμετρικά χαρακτηριστικά αποδίδονται με το μικτό γινόμενο;

Τι είναι το μικτό γινόμενο;

Απεικόνιση τριών διανυσμάτων σε αριθμό:

( , , ) [ , , ] ( )a b c a b c a b c

Ο όγκος V του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν 3 διανύσματα τοποθετημένασε δεξιόστροφη σειρά(για αριστερόστροφη σειρά προκύπτει ο αρνητικός όγκος -V )

[ , , ] ( )V a b c a b c

7

Πως αποδίδονται το εσωτερικό, το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο μέσω των συνιστωσών των σχετικών διανυσμάτων;

[ , , ] ( ) [ ]Ta b c a b c c a b

, ,a b c ea eb ec Ta b a b

[ ]a b a b

Αντισυμμετρικός πίνακας με αξονικό διάνυσμα a :3 2

3 1

2 1

0[ ] 0

0

a aa aa a

a

Aξονικό διάνυσμα a αντισυμμετρικού πίνακα A :

12 13

12 23

13 23

00 [ ]

0

A AA AA A

A a32 23

13 13

21 21

A AA AA A

a

8

1

1 1 2 2 3 3 1 2 3 2

3

k

k k k k k k

k

Re R e R e R e e e e R

R

er

1 2 3 1 2 3 1 2 3Te e e e er er er e r r r eR

1,2,3k

Δύο ορθοκανονικές βάσεις συνδέονται με έναν ορθογώνιο πίνακα

( )Ti k ik ike e e e

T e e I

( )Ti k ik ike e e e

T e e I

T T T e eR R R RR I

( ) ( )T T T T T T I e e eR eR R e eR R IR R R

9

Στροφές γύρω από τους άξονες

1

1 0 0( ) 0 cos sin

0 sin cos

R

2

cos 0 sin( ) 0 1 0

sin 0 cos

R

3

cos sin 0( ) sin cos 0

0 0 1

R

γύρω από τον 1ο άξονα



10

Παράγωγοι των πινάκων στροφής γύρω από τους άξονες

21 3

00

010

10

10

I ii i

1

0 0[ ] 0 1

0 0

00

1

i

1 1 1 1 1( ) [ ] ( ) ( )[ ]a

R i R R i

2 2 2 2 2( ) [ ] ( ) ( )[ ]

R i R R i

3 3 3 3 3( ) [ ] ( ) ( )[ ]

R i R R i

2

0 0[ ] 0 0

1 0

10

0

i 3

0 1[ ] 0 0

0 0

01

0

i

11

Περιγραφή του πίνακα στροφής R με στροφές γύρω από τους έξονες

3 3 2 2 1 1( ) ( ) ( ) R R R R

2 2 3 3 1 1( ) ( ) ( ) R R R R

1 1 3 3 2 2( ) ( ) ( ) R R R R

3 3 1 1 2 2( ) ( ) ( ) R R R R

2 2 1 1 3 3( ) ( ) ( ) R R R R

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) R R R R

Γωνίες Cardan Γωνίες Euler

1 3 1( ) ( ) ( ) R R R R

1 2 1( ) ( ) ( ) R R R R

2 1 2( ) ( ) ( ) R R R R

2 3 2( ) ( ) ( ) R R R R

3 1 3( ) ( ) ( ) R R R R

3 2 3( ) ( ) ( ) R R R R

12

Κεφάλαιο 3

Συστήματα καμπυλόγραμμωνσυντεταγμένων

13

Η τοπική βάση ενός συστήματος (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων

1 1

xeq

2 2

xeq

3 3

xeq

1

0 20 0 0 0

1 2 3

3

( )

k

k k k k k

k

xq

x xe e e eq q q q

xq

e x xe

1,2,3k

0 0 0 0 01 2 3 1 2 3 1 2 3e e e

q q q q q q

x x x x x x xe e e e e eq

14

Η τοπική βάση ενός συστήματος (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων

1 1

xeq

2 2

xeq

3 3

xeq

1

0 20 0 0 0

1 2 3

3

( )

k

k k k k k

k

xq

x xe e e eq q q q

xq

e x xe

1,2,3k

0 0 0 0 01 2 3 1 2 3 1 2 3e e e

q q q q q q

x x x x x x xe e e e e eq

Ιακωβιανός πίνακας

k στήλη Ιακωβιανού πίνακα

15

Ιακωβιανός πίνακας

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

x x xq q q

x x xq q q

x x xq q q

xJq

Συνδέει την τοπική βάση των συντεταγμένων με την καρτεσιανή βάση

0 0

xe e e Jq

16

Ο μετρικός πίνακας

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

e e e e e ee e e e e ee e e e e e

G

Σχέση μετρικού πίνακα και Ιακωβιανού πίνακα

TG J J

0 0 0 0( ) ( ) ( )T T T T T T G e e e J e J J e e J J IJ J J

17

Σφαιρικές συντεταγμένες

1

2

3

cos coscos sin

sin

x rx rx r

x

cos sin sin cos cos coscos cos sin sin cos sin

0 cos sin

r rr r

r

xJq

2 2

2

cos 0 00 00 0 1

T

rr

G J J

Ορθογώνιες συντεταγμένες επειδή ο G είναι διαγώνιος

18

Κυλινδρικές συντεταγμένες

1

2

3

cossin

xxx z

x

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

xJq

2

1 0 00 00 0 1

T

G J J


19

Γεωδαιτικές συντεταγμένες


1

2

3 2

( )cos cos( )cos sin

[ (1 ) ]sin

x N hx N hx N e h

x

( )cos sin ( )sin cos cos cos( )cos cos ( )sin sin cos sin

0 ( )cos sin

N h M hN h M h

M h

xJq

2 2

2

( ) cos 0 00 ( ) 00 0 1

T

N hM h

G J J

20

Κεφάλαιο 4

Συστήματα αναφοράςσε κίνηση

21

T Ω Ω Ω ω

Η παράγωγος μιας περιστρεφόμενης βάσης έχει συνιστώσες ως προς την ίδια βάση τα στοιχεία ενός αντισυμμετρικού πίνακα ο οποίος εξαρτάται από τα στοιχεία του πίνακα στροφής και τις παραγώγους τους

0e 0 ( )Tte e R

= αδρανειακή = περιστρεφόμενη

[ ]ddt

e eΩ e ω

[ ]

Tddt

RΩ ω R

T

T T T Td d d ddt dt dt dt

R R IRR I RR R R Ω Ω 0

00 ,

T T TT T Td d d d d d

dt dt dt dt dt dt e e R R R RR e eR eΩ R Ω Ω R

= αντισυμμετρικός

T TT TT T Td d d

dt dt dt

R R RΩ R R R

22

Οι συνιστώσες της παραγώγου διανύσματος ως προς περιστρεφόμενη βάσηδεν εξαρτώνται μόνο από τις παραγώγους των συνιστωσών αλλά εμφανίζεται ένας

πρόσθετος όρος ο οποίος εξαρτάται από τιςσυνιστώσες του διανύσματος περιστροφής

, , [ ]db dc c bdt dt

bec eb c ω b

( ) [ ] [ ]db d d d d dcdt dt dt dt dt dt

e b b beb b e e ω b e e ω b ec

[ ]dx dvdt dt

xv ω x

[ ]dv da

dt dt

va ω v

[ ] [ ] [ ]d d ddt dt dt

x xa ω ω x v ω x

22

2 [ ] 2[ ] [ ]d d ddt dt dt

x x ωa ω x ω x

22

2[ ] [ ] [ ] [ ]d d d ddt dt dt dt

x ω x xω x ω x ω

Παραδείγματα: ταχύτητα, επιτάχυνση

23

Στις εξισώσεις κίνησης του Nεύτωνα (επιτάχυνση = δύναμη ανά μονάδα μάζας)εμφανίζονται πρόσθετοι όροι οι οποίοι εξαρτώνται από τις συνιστώσες του

διανύσματος περιστροφής, ως «ψευτοδυνάμεις» (ανά μονάδα μάζας):φυγόκεντρη p, Coriolis c, γυροσκοπική g

2

2

dxa fdt

2

002

ddt

x f

2

2

ddt

x f p c g

2[ ] p ω x 2[ ] ddt

xc ω d

dt ωg x

22

2 [ ] 2[ ] [ ]d d ddt dt dt

x x ωa ω x ω x f

22

2 [ ] 2[ ] [ ]d d ddt dt dt

x x ωf ω x ω x f p c g

24

Άξονας περιστροφής στερεού σώματος

Θεμελιώδη ιδιότητα περιστροφής στερεού σώματος:

Όταν η θέση ενός στερεού σώματος μεταβάλλεται

έτσι ώστε ένα από τα υλικά σημεία του να παραμένει σταθερό,

τότε υπάρχει μία ευθεία η οποία διέρχεται από το σταθερό σημείο,

τα υλικά σημεία της οποίας παραμένουν επίσης στην ίδια θέση.

Η ευθεία αυτή ονομάζεται άξονας περιστροφής του σώματος.

Περιστροφή στερεού σώματος =

= κίνηση με ένα σημείο στην ίδια θέση (κέντρο της περιστροφής)

25

Μέσο διάνυσμα περιστροφής στερεού σώματος από εποχή t σε εποχή t+Δt

= μέση κατεύθυνση περιστροφής (μοναδιαίο διάνυσμα)= άξονας περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt)

= γωνία περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt)),( ttt

),( ttnm

= μέση γωνιακή ταχύτητα περιστροφής για το διάστημα από t μέχρι t+Δt

( , )( , )mt t tt t t

t

Μέσο διάνυσμα της ταχύτητας περιστροφής (για το διάστημα από t μέχρι t+Δt ):

),(),(),( tttntttttt mmm

Διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής

απλά = διάνυσμα περιστροφής

),(),(lim),(lim)(00

tttnt

ttttttt mtmt

26

Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler

[ ]Td

dt

Rω RΓενικές

Ειδικές για επιλογή γωνιών στροφής ( ) ( ) ( )k k m m n n R R R R

n mn k

km

d d ddt dt dt

ωω ωω

[ ]T

mm

Rω R[ ]

T

nn

Rω R [ ]

T

kk

Rω R

( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )k m nk m n

d d dt t t t t t tdt dt dt

ω ω

27

Άξονες σχήματος παραμορφώσιμου σώματος

Τέτοιοι ώστε ο πίνακας αδράνειας να είναι διαγώνιος

11 12 13

12 22 23

13 23 33

0 00 00 0

C C C A F E AC C C F B D BC C C E D C C

C

Ροπές αδράνειας :

1 2 3( , ,x x x y x z

2 211( ) 0A y z dm C

2 222( ) 0B x z dm C

2 233( ) 0C x y dm C

Γινόμενα αδράνειας :

23 32 0D yz dm C C

13 31 0E xz dm C C

12 21 0F xy dm C C

: συντεταγμένες στοιχείου μάζας dm )

28

Άξονες Tisserand παραμορφώσιμου σώματος

Τέτοιοι ώστε να μηδενίζεται η σχετική στροφορμήκαι ταυτόχρονα να ελαχιστοποιείται η σχετική κινητική ενέργεια

0xxh dmdtd

R ][σχετική στροφορμή

σχετική κινητική ενέργεια min21

dm

dtd

dtdT

T

Rxx

29

Κεφάλαιο 6

Γεωδαιτικό datum

30

γεωδαιτικό datum = σύστημα αναφοράς

+ παράμέτροι a και b (ημιάξονες)

ελλειψοειδούς εκ περιστροφής με κέντρο την αρχή του συστήματος αναφοράς

και μικρό ημιάξονα (άξονα περιστροφής) τον 3ο άξονα του συστήματος.

Γεωδαιτικό Datum

31

Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, σε μία άλλη χαρτογραφική προβολή σε ένα άλλο datum

P

x

y

32


P

x

y

33


P

x

y

x

y

34


),,( Hyx

),,( h ),,( ZYX

datum AΧαρτογραφική προβολή Α

)~,~,~( h

)~,~,~( HHyx

)~,~,~( ZYX

datum ΒΧαρτογραφική προβολή Β

~

P

E

E~

γεωειδές

ελλειψοειδές Α

ελλειψοειδές Β

HH ~

1 2 3[ , , , , , ]X Y Z [ ]

[ , ]a e

[ , ]a e

[ ]

35

Αρχικά: 6 μοντέλα (RST, RTS, SRT, STR, TRS, TSR).

ίδιο αποτέλεσμα s (R x) = R (s x)αν μεταβληθεί αμοιβαία η σειρά διαδοχικής περιστροφής και κλίμακας (RS = SR):ταύτιση των μοντέλων RST = SRT και TRS = TSR.

Τελικά: μόνο 4 μοντέλα μετασχηματισμού ομοιότητας

RST = SRT:

RTS:

STR:

TRS = TSR:

cRxx s

)( RTScRxx s

)( STRcxRx s

)( TRScxRx s

Διαφέρουν μόνο οι όροι μετάθεσης

ccs1

RTS STR1 T

sc R c cRc T

s1

TRS

συνήθως χρησιμοποιείται το πρώτο μοντέλο (RST = SRT)

RTScx ssR

STRRcRx ss

TRSRcRx ss

cRx s

Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας(αλλαγή συστήματος αναφοράς με στροφή R, μετάθεση c και συντελεστή κλίμακας s)

36

Κεφάλαιο 7

Συστήματα αναφοράςγια την περιστρεφόμενη γη

37

Σε ποια μέρη χωρίζεται η περιστροφή της γης μέσω του διανύσματος περιστροφής;

Σε τρία μέρη:

(1) Τη μεταβολή της διέθυνσης του διανύσματος περιστροφής ως προς τοναδρανειακό χώρο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται μετάπτωση-κλόνιση.

(2)Τη μεταβολή της διέθυνσης του διανύσματος περιστροφής ως προς τη γη.Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται κίνηση του πόλου.

(3)Τη μεταβολή του μεγέθους του διανύσματος περιστροφής δηλαδή της γωνιακήςταχύτητας περιστροφής της γης. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται μεταβολή της διάρκειας της ημέραςεπειδή όταν η γη περιστρέφεται ταχύτερα ελαττώνεται η διάρκεια της ημέραςκαι αντίστροφα.

38

Ποια τα κύρια χαρακτηριστικά της μετάπτωσης-κλόνισης;

Η μετάπτωση είναι η κίνηση του άξονα περιστροφής ώστε να διαγράφει κώνομε άξονα κάθετο στο επίπεδο της εκλειπτικής (δηλαδή της τροχιάς της γης)σε κλίση 23ο 27 (γωνία μεταξύ άξονα περιστροφής και καθέτου στην εκλειπτική) με περίοδο 25800 έτη.Η κλόνιση είναι μια πρόσθετη κίνηση του άξονα περιστροφής γύρω από τη θέση του λόγω της μετάπτωσης. Η κυρίαρχη συνιστώσα της είναι η διαγραφή πεπλατυσμένου κώνου με περίοδο 18.6 έτη με ημιάξονες διατομής περίπου 9 και 7.Κατά την μία πλήρη περιστροφή στα 18.6 έτη ο άξονας της μετάπτωσης μετατοπίζεται κατά 15 περίπου

Ποια τα κύρια χαρακτηριστικά της κίνησης του πόλου;

Ο άξονας περιστροφής μετακινείται ως προς τη γη με ακανόνιστο τρόπο διαγράφοντας κύκλους μεταβαλόμενης ακτίνας της τάξης των 6 μέτρων (πάνω στην επιφάνεια της γης) με περίοδο 14 μηνών η οποία ονομάζεταιπερίοδος Chandler.

39

Πως περιγράφεται η περιστροφή της γης ώστε να διαχωρίζεται η συνολική περιστροφή στην μετάπτωση-κλόνιση, στην κίνηση του πόλου και στην μεταβολήτης διάρκειας της ημέρας;

Αυτό επιτυγχάνεται εισάγοντας εκτός από το ουράνιο (αδρανειακό) σύστημα και το επίγειο σύστημα αναφοράς δύο ενδιάμεσα συστήματα τα οποία έχουν τον 3ο άξονα στην κατεύθυση του άξονα περιστροφής:(α) το ενδιάμεσο ουράνιο σύστημα το οποίο δεν ακολουθεί τη γη στην ημερήσια περιστροφή της και(β) το ενδιάμεσο επίγειο σύστημα το οποίο ακολουθεί τη γη στην ημερήσια περιστροφή της. Με τον τρόπο αυτό ο συνολικός πίνακας στροφής R από το ουράνιο στο επίγειοσύστημα διαχωρίζεται σε 3 μέρη

R = W D Q(1) τον πίνακα μετάπτωσης-κλόνισης Q της στροφής από το ουράνιο στο ενδιάμεσο ουράνιο σύστημα

(2) τον πίνακα ημερήσιας περιστροφής D της στροφής από το ενδιάμεσο ουράνιο στο ενδιάμεσο επίγειο σύστημα και

(3) τον πίνακα της κίνησης του πόλου W της στροφής από το ενδιάμεσο επίγειο στο επίγειο σύστημα

40

Πως ορίζονται οι θέσεις των αξόνων των δύο ενδιάμεσων συστημάτων;

Οι 3οι άξονες των ενδιαμέσων συστημάτων έχουν την κατέυθυνση του άξοναπεριστροφής. Οι θέσεις των 2ων αξόνων προκύπτουν από τη θέση των 1ων.Οι συνιστώσες ω του διανύσματος περιστροφής (από το ουράνιο στο επίγειο)ορίζονται από τις σχέσεις

[ ]Td

dt

Rω R

Παρόμοια μπορούμε να ορίσουμε δύο διανύσματα σχετικής περιστροφής:

ωIC από το ουράνιο στο ενδιάμεσο ουράνιο (πίνακας Q)

ωIT από το επίγειο στο ενδιάμεσο επίγειο (πίνακας WT)

[ ]T

ICddt

Qω Q

[ ] TIT

ddt

Wω W

H θέση των 1ων αξόνων των ενδιαμέσων συστημάτων ορίζοντα με βάση τοκριτήριο της μη περιστρεφόμενης αρχής (NRO = Non Rotating Origin):τα σχετικά διανύσματα περιστροφής να μην έχουν 3η συνιστώσα.

Η θέση του 1ου άξονα του ενδιάμεσου ουράνιου (ουράνια ενδιάμεση αρχή, CIO = Celestial Intermediate Origin) από τη σχέση

Η θέση του 1ου άξονα του ενδιάμεσου επίγειου (επίγεια ενδιάμεση αρχή, TIO

= Terrestrial Intermediate Origin) από τη σχέση

3 0IC

3 0IT

41

Κεφάλαιο 8

Συστήματα χρόνου

42

Ποια είναι τα είδη χρόνου σε σχέση με το χρησιμοποιούμενο «ρολόι»;

(1) Ο αστρικός και ο παγκόσμιος χρόνος που ορίζονται με βάση την περιστροφή της γης

(2) Ο δυναμικός χρόνος που ορίζεται με βάση τις τροχιές των πλανητών γύρω από τον ήλιο

(3) Ο ατομικός χρόνος που ορίζεται με βάση τις ταλαντώσεις του ατόμουτου στοιχείου Καίσιο 133 σε ένα σύνολο ατομικών ρολογιών

43

Ποια είναι τα είδη χρόνου που ορίζονται με βάση την περιστροφή της γηςκαι πως ακριβώς ορίζονται αυτά;

Για τον προσδιορισμό χρόνων με βάση την περιστροφή της γης χρειάζονται- ένα επίπεδο αναφοράς που να διέρχεται από τον άξονα περιστροφής της γης και να ακολουθεί τη γη στην περιστροφή της. Το επίπεδο αυτό ήταν ιστορικά ο (αστρονομικός) μεσημβρινός του Greenwich. Σήμερα είναι το επίπεδο των αξόνων 1 και 2 του επίγειου συστήματος αναφοράς.- μία διεύθυνση αναφοράς η οποία να μην ακολουθεί τη γη στην περιστροφή της.Ο χρόνος μεταξύ δύο διαβάσεων του επιπέδου από την διεύθυνση αναφοράςορίζει την ημέρα η οποία χωρίζεται σε 24 x 60 x 60 = 86400 δευτερόλεπτα.

Για τον αστρικό χρόνο GST η διεύθυνση αναφοράς είναι το εαρινόισημερινό σημείο δηλαδή η τομή του ισημερινου (επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής) με το επίπεδο της εκλειπτικής (επίπεδο της τροχιάς της γης).

Για τον παγκόσμιο χρόνο UT η διεύθυνση αναφοράς είναι ο μέσος ήλιος,ένας φανταστικός ήλιος που περιστρέφεται (φαινομενικά) γύρω από τη γη με τηνίδια γωνιακή ταχύτητα. Ο πραγματικός ήλιος έχει μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα όταν η γη βρίσκεται στο περιήλιο και μικρότερη όταν βρίσκεται στο αφήλιο (2ος νόμος Κέπλερ: η ακτίνα γης-ήλιου διαγράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους).

44

Πως ορίζεται ο δυναμικός χρόνος;

Ως η παράμετρος t που εμφανίζεται στις εξισώσεις κίνησης του ηλιακού συστήματος

Πραγματικό νόημα: Όταν παρατηρούμε ένα σώμα του ηλιακού συστήματος (τη γη, ή τη σελήνη) να βρίσκεται σε μία ορισμένη θέση, αποδίδουμε στην αντίστοιχη χρονική στιγμή την τιμή t, κατά την οποία προβλέπεται, από τις εξισώσεις κίνησης, να βρίσκεται το σώμα αυτό στη συγκεκριμένη θέση.

Αποτελεί πρακτική υλοποίηση του Νευτώνειου χρόνου

Ο δυναμικός χρόνος διαφέρει από το Νευτώνειο χρόνο λόγω σφαλμάτων στη λύση των εξισώσεων κίνησης

45

Πως ορίζεται ο ατομικός χρόνος, πως υλοποείται και ποια είδη ατομικού χρόνου υπάρχουν;

Η μονάδα είναι το δευτερόλεπτο ατομικού χρόνου TAI που ορίζεται ίσο με ένασυγκεκριμένο αριθμό ταλαντώσεων του ατόμου του στοιχείου Καίσιο 133, έτσι ώστε να προσεγγίζει το δευτερόλεπτο του παγκόσμιου χρόνου UT1.Η αρχή του συστήματος ορίζεται έτσι ώστε την 1-1-1958: ΤΑΙ = UT1.

O TAI υλοποιείται από σύνολο ατομικών ρολογιών καισίου στο γεωειδές, με ευθύνη του Διεθνούς Γραφείου Μέτρων και Σταθμών BIPM (Bureau International des Poids et Mesures).

Εκτός από τον ΤΑΙ υπάρχουν άλλα 2 είδη ατομικού χρόνου:Ο χρόνος GPS υλοποιείται από σύνολο ατομικών ρολογιών με ευθύνη τουΝαυτικού Αστεροσκοπείου των Η.Π.Α. (USNO =United States Naval Observatory)Ο χρόνος UTC, ο οποίος έχει την ίδια μονάδα χρόνου με τον ΤΑΙ, αλλά χαρακτηρίζεται από άλματα 1 δευτερολέπτου σε κατάλληλες χρονικές στιγμέςέτσι ώστε η διαφορά με τον ΤΑΙ να είναι λιγότερη από δευτερόλεπτο

|UTCUT1| < 0.9 sec.Συνδέονται με τη σχέση UTC = TAI n(1 sec), (n = ακέραιος).Από 1-1-2009 η διαφορά είναι n = 34 sec.

46

Κεφάλαιο 11

Συστήματα αναφοράςστη γεωδαισία δορυφόρων

47

df

Ποιοι είναι οι νόμοι του Kepler;

(1) H τροχιά κάθε πλανήτη είναι μία έλλειψη με τον ήλιο σε μία από τις εστίες της.

(2) Το ευθύγραμμο τμήμα από τον ήλιο σε οποιονδήποτε πλανήτη διαγράφει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους.

Για δύο σημεία της τροχιάς σε αποστάσεις r1, r2 από τον ήλιοοι «επιφανειακές» ταχύτητες είναι ίσες αλλά οι γωνιακές ταχύτητες διαφέρουν

(3) Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των πλανητών είναι ανάλογοι προς τα τετράγωνα των περιόδων της περιστροφής τους γύρω

από τον ήλιο.

Για δύο πλανήτες3 2

1 1

2 2

a Ta T

2 21 1 2 21 2

1 12 2

dS df dS dfr rdt dt dt dt

2

1 2 22

1

df r dfdt r dt

21 1 1( )2 2 2

dS base height rdf r r df rdfdSr

48

Ένα πλανήτης στο περίγειο διαγράφει σε ένα μικρό χρονικό διάστημα Δt γνωστή γωνία ΔθΠ. Ποια είναι η αντίστοιχη γωνία ΔθΑ που θα διαγράψει μέσα στο ίδιοχρονικό διάστημα στο αφήλιο;

s r μήκος τόξου

εμβαδόν 21 1 12 2 2

S base height s r r

212

S r 212

S r στο περήλιο στο αφήλιο

2ος νόμος Kepler: S S 2 21 12 2

r r 2r

r

B

EF O

s s

d d

b

s FB BE d FO O

Έλλειψη = γεωμετρικός τόπος σημείων με σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις εστίες Ε,F:

r E O OE a d

r AE AO OE a d FB BE F E ( )s s FO OE E E

2 ( )s d d r r ( )s d r d a d a 2 2 2 2s d b a 2 2 2 2 2d a b a e d ae

(1 )r a d a e (1 )r a d a e

2 2 2(1 ) 1(1 ) 1

r a e er a e e

49

Ένα πλανήτης έχει μεγάλο ημιάξονα τροχιάς k φορές μαγαλύτερο από τη γη.Σε πόσα γήινα χρόνια συμπληρώνει ο πλανήτης αυτός μια περιστροφήγύρω από τον ήλιο;

Γη: ,E Ea T Πλανήτης: ,P E Pa ka T

3ος νόμος Kepler:3 2

P P

E E

a Ta T

2 33P E

E E

T ka kT a

3P

E

T kT

3 3P ET k T k γήινα χρόνια

50

Ποια είναι η μορφή της τροχιάς δορυφόρου σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων και πως καθορίζεται η θέση της στο χώρο;

Είνα μια έλλειψη με άξονα του μεγάλου ημιάξονα που ονομάζεταιευθεία των αψίδων και βρίσκεται σε επίπεδο το οποίο τέμνει τον ισημερινόκατά την ευθεία των συνδέσμων.Η θέση της έλλειψης καθορίζεται από 3 γωνίες

- Ορθή αναφορά του συνδέσμου ανάβασης Ω :γωνία ανάμεσα στον 1 άξονα του ουράνιου συστήματοςκαι την ευθεία των συνδέσμων (σύνδεσμος ανάβασης)

- Κλίση i : δίεδρη γωνία του ισημερινού και του επιπέδου της τροχιάς

- Όρισμα του περιγείου ω : γωνία ανάμεσα στην ευθεία των συνδέσμων (σύνδεσμος ανάβασης)και την ευθεία των αψίδων (περίγειο)

Ο σύνδεσμος ανάβασης είναι η διεύθυνση του δορθφόρου όταν αυτός περνάαπό το νότιο στο βόρειο ημισφαίριο (ο σύνδεσμος κατάβασης το αντίθετο)

Το περίγειο είναι το κοιντινότερο προς τη γη σημείο της τροχιάς πάνω στην ευθεία των αψίδων (το απόγειο είναι το πλέον απομακρυσμένο)

51

Ποια είναι τα στοιχεία Kepler της τροχιάς δορυφόρου σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων και τι καθορίζει κάθε τι από αυτά;

Είναι τα 6 στοιχεία Ω, i, ω, a, e και M(t).

Τη θέση του επιπέδου της τροχιάς καθορίζουν τα Ω (ορθή αναφορά του συνδέσμου ανάβασης), i (κλίση) και ω (όρισμα του περιγείου).

Το σχήμα της ελλειπτικής τροχιάς ορίζουν ο μεγάλος ημιάξονας aκαι η εκκεντρότητα e.

Tη θέση στην τροχιά κατα τη στιγμή t ορίζει η μέση ανωμαλία Μ(t), η οποία είναι ουσιαστικά οχρόνος ttP που πέρασε από την προηγούμενη διέλευση από το περίγειο (στιγμή tP) εκφρασμένος ως γωνία (Τ = περίοδος της τροχιάς):

Δύο εναλλακτικές της μέσης ανωμαλίας γωνίες είναι η έκκεντρη ανωμαλία Ε καιη αληθής ανωμαλία f, oι οποίες συνδέονται μονοσήμαντα μεταξύ τους και ορίζονταιστο σχήμα 1 (κεφ. 11). Η μέση ανωμαλία συνδέεται με την έκκεντρη μέσω της εξίσωσης του Kepler

2( ) ( ) ( )P PM t n t t t tT

MEeE sin

52

L

Ποιο είναι το σύστημα αναφοράς της τροχιάς δορυφόρου σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων πως συνδέεται με το ουράνιο σύστημα και πως με το επίγειο σύστημα;

Το σύστημα αναφοράς έχει τους άξονες q1, q2 στο επίπεδο της τροχιάς, τον q3 κάθετο σε αυτό και τον q1 προς το περίγειο.Η σύνδεση με τις ουράνιες συντεταγμένες x δίνεται από τις σχέσεις

RxxRRRq )()()( 313 i

3 1 3( ) ( ) ( )i x R R R q

xRx )(3 WΟι επίγειες συντεταγμένες xW συνδέονται με τις ουράνιες x μέσω:

Οι συντεταγμένες q στό σύστημα της τροχιάς είναι: 3 1( )r f q R i

Επομένως:

3 1 3 1

3 1 3 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )W i f r

L i u r

x R R R i

R R R i

u f

= επίγειο μήκος του συνδέσμου ανάβασης

= όρισμα του πλάτους

fr

1q

2q 1s2s

53

Πως υπολογίζονται οι επίγειες συντεταγμένες του δορυφόρου στο GPS;

3 1 3 3 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )W L i u r L i x R R R i R R x

3 1

cos( ) sin

0 0

r u xu r r u y

x R i

3 1

cos sin cos( ) ( ) sin cos cos

sinW

X L x L i yY L i L x L i yZ i y

x R R x

, , ,L i u r από τα στοιχεία της μεταδιδόμενης εφημερίδας

54

0 3

G Mna

21 sinarctancos

Ef eeE

00 ( ) ( )e etL tL t t

00 ,u f

0 0 0cos2 sin 2rc rsr r u C uC

0 (1 cos ),a er E

0 0 0( ) cos2 sin 2e ic isi i t C Ci t u u

0 0 0cos2 sin 2uc usu u u C uC

sineM E E

Τελικές σχέσεις υπολογισμού των επίγειων συντεταγμένων (X, Y, Z) του δορυφόρου

00 ( )( )eM n n ttM Eεξίσωση Kepler

με βάση τα στοιχεία της μεταδιδόμενης εφημερίδας

Πως υπολογίζονται οι επίγειες συντεταγμένες του δορυφόρου στο GPS;

Documents

Συστήματα αναφοράς και χρόνου