邊界元素法特論第一次討論

邊界元素法特論　

第一次討論

指導教授 : 陳正宗終身特聘教授指導學長 : 李應德老師、高聖凱、李家瑋、　　　　江立傑、簡頡學生 : 黃文生日期 :2013-10-17

Advanced Course of Boundary Element Method

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Introduction• Directional derivative

• Dirac-Delta function

• Fundamental Solution

• Green’s theorem

• Green’s identity


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Directional derivative• 方向導數是用以推求曲面函數

在某一特定單位向量 b 之變率。

• 純量函數在 b 方向的方向導數是定義為：

• 其中為梯度 (gradient) ; 變數 s 是 b 方向之直線 r(s) 的弧長變數。

( , , )f x y z C

dfD f f =

ds=Ñ ×b b

( , , )f x y z


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• 通過曲面上 P 點於 b 方向之方向導數。

• 了解方向導數的意義在於：有助於計算出空間中某一場量在某一特定方向 b 之變化率。

( , , )f x y z C

( , , )f x y z


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例題• 已知一純量函數　試求此函數在點於方向之　方向導數。

　解答：

2 2 2( , , ) 2 3f x y z x y z

: (2,1,3)P 2 a i k

( )f f f a

D fx y z

b i j ka

2(8 6 6 )

2

45

5

D f

b

i ki j k

i k


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Dirac-Delta function• 點分佈函數，此函數值分佈均集中於空間中某

一點或時間軸上的某一瞬間時，如固體力學中的集中負荷、剛體運動的衝擊、電學中的點電荷、熱傳中的點熱源。

• 這些物理現象的數學模擬，常以 Dirac-Delta 函數來表示此物理量，而其強度由前面的

值決定。( )p x

p


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• 此函數滿足

, 0( )

0 , 0

( ) 1

xx

x

x dx


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Fundamental Solution• 基本解：基本解又可稱為自由空間格林函數，

其數學意義為將微分方程式表示為積分方程式的橋樑。

• 數學定義而言：

• Ｌ為微分運算元， G(x,s) 為基本解， x 為場點（ field points ）， s 為源點（ source points ）。

, , lim , 0r

L G x s x s G x s


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• 物理定義而言：• 影響線是表示集中荷重在結構上移動時，對結

構某一特定點所引起的反作用力、剪力或彎矩的變化。

• 一但此線建立後，即可立即顯示出活荷重應置於結構何處，可使其對特定點產生最大影響。

s x

( , )G x y


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Green’s theorem• Green’s theorem 基本上是線積分與面積分

之關係，實際上就是微積分基本定理的推廣。

• 令 C 為平面上一分段平滑的封閉曲線而其所圍區域為，假設函數 P(x,y), Q(x,y) 為連續且一次偏導數也連續則等式成立。

( )C R

Q PPdx Qdy dA

x y


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例題• 利用 Green 定理計算線積分

• 其中曲線 C 是由拋物線 y=x2 與直線 y=x 所圍區域之邊界。

2 2(2 ) ( )Cxy x dx x y dy

2 2( , ) 2 , ( , )P x y xy x Q x y x y

1 2Q P

xx y


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• 原線積分

2

1

0

(1 2 )

1(1 2 )

30

R

x

x

x dA

x dydx


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Green’s identity• 散度定理 (Divergence Theorem) ：

• 假設， vector field ，且　　為勢流中之純量勢位。

V SdV dS n

u ,u

2

( ) ( )div u

u u


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• Green's first identity

• Green's second identity

• Green's third identity

2( )V Su u dV u dS

n

2 2( ) ( )V S

uu u dV u dS

n n

2( )V S

uu u dV dS

n


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