Перпендикулярност на Перпендикулярност на права и равнинаправа и равнина

Перпендикулярност на Перпендикулярност на права и равнинаправа и равнина

Перпендикулярност на права и равнина

Определение- права е перпендикулярна равнина, ако е тя е перпендикулярна на всяка права в равнината.

Критерий за перпендикулярност на

права и равнина• Т1 – права е перпендикулярна

на една равнина, ако тя е перпендикулярна на две пресичащи се прави от една равнина.

• m┴a, m┴b, a∩b =O, α = (a, b) → m┴α

Равнина през точка перпендикулярна на

права• Т2: През

дадена точка съществува единствена равнина, перпендикулярна на дадената права.

Права през точка, перпендикулярна на

равнина• Т3: През

дадена точка минава единствена права, перпендикулярна на дадена права.

Задача 1.• Дадено: Основата на

четириъгълна пирамида ABCDQ е правоъгълник ABCD със страниAB = 4 cm и AD = 3 cm.

Околният ръб QD е перпендикулярен на основата и има дължина 12cm.

Да се намерят дължините на околните ръбове.

• Решение : Тъй като QD┴(ABCD), ръбът QD е перпендикулярен на всяка права в равнината (ABCD), в частност на правите AD, DC и DB. От правоъгълния триъгълник ABD имаме

• • Като приложим питагоровата теорема за

триъгълниците ADQ, BDQ, CDQ последователно намираме:

•

Задача 2.• Дадено: Да се

докаже че всички точки, равноотдалечени от краищата на една отсечка, лежат в равнина, която минава през средата на отсечката и е перпендикулярна

• Решение: Нека O е средата на отсечката1. Ако точката M е такава, че MA = MB, то от

равнобедрения триъгълник ABM следва, че МО┴АB. Тъй като равнината през M, перпендикулярна на AB, съдържа точка О и е единствена, то тя съвпада с равнината

Следователно

2. Нека N е произволна точка от σ. Тогава

и понеже OA = OB, то ∆ABN е равнобедрен. Следователно NA = NB

Симетрална равинина на отсечка

• Определение: Равнината, която минава през средата на дадена отсечка и е перпендикулярна на нея се нарича симетрална равнина,

Прави перпендикулярни на

равнина• Т4: Ако две

прави са перпендикулярни на една равнина, то те са успоредни помежду си.

• а┴α, b┴α → a║b

Равнини, перпендикулярни на

права• Т5: Ако две

равнини са перпендикулярни на една права, те са успоредни помежду си.

• α┴m, β┴m → α║β

Права, перпендикулярна на

от успоредни равнини• Т6: Ако права е

перпендикулярна на едната от двете успоредни равнини, то тя е перпендикулярна и на втората.

• m┴α, α║β → m┴β

Изработили: Изработили: Илияна Илиева отИлияна Илиева от

12 12 а а класклас