디지털 신호처리

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chapter 07.

디지털 필터의 기초

주요내용

• 디지털필터의 개념

• 디지털필터의 표현

• 디지털필터의 종류

• 디지털필터의 주파수특성

• 필터설계 순서

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7.1 디지털필터의 개념 디지털 필터 : 특정한 성질의 결과를 얻기 위해서 이산신호를 처리하는 장치나 알고리즘 .

그림 7.1 디지털필터의 개념

입력된 아날로그 신호 ① 일정주기 T[sec] 로 표본화되어 , ② A/D 변환기에 의해 디지털 신호로 된다 . ③ 가산기 , 승산기 , 지연기 (shift register) 를 이용하여 필터링 처리를 하고 , ④ 출력을 D/A 변환기에 의해 아날로그 신호로 변환시킨다 .

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아날로그필터와 비교하여 디지털필터의 장단점

장점

① 비트 길이를 길게 하면 길게 할수록 고정도 ( 高精度 ) 의 필터를 실현② 필터계수 값을 적절히 변경시킴으로서 필터 특성을 쉽게 수정③ 하드웨어로 실현할 경우 그 구성요소는 논리회로와 메모리이기 때문에 LSI 화 ( 化 ) 가 용이 ( 소형화 , 경제화 , 고신뢰화 ) 함 .④ DSP(Digital Signal Processor: 신호처리 전용 마이크로프로세서 ) 의 이용이 가능함 .

⑤ 온도변동 , 경년변화에 의한 품질 열화가 없으므로 신뢰성이 높음 .

7.1 디지털필터의 개념

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단점

① 아날로그 신호에 대해서는 표본화 , 양자화 , 부호화에 의해 clock

주파수가 높게 되어 처리할 수 있는 아날로그 신호의 주파수 상한 ( 上限 ) 이 한정됨 .

② A/D, D/A 변환기와 제어장치가 필요하므로 , 낮은 차수의 필터를 구성할 때 또는 가변성 , 다양성을 요구하지 않는 경우에는 소형화의 효과가 감소함 .

③ 필터의 계수가 유한비트로 근사화되므로 , 유한어장 (finite wordlength)

의 영향 등을 고려하여야 함 .

소프트웨어에 의한 디지털필터 ⇒ 특성의 가변성이 최대의 이점 하드웨어로 실현한 디지털필터 ⇒ 품질의 균일성 , 안정성 , 소형화 , 저가격화의 큰 이점 .

7.1 디지털필터의 개념

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7.2 디지털필터의 표현

디지털필터의 표현방법⇒ 차분방정식 , 블록선도 , 전달함수

→ 차분방정식의 양변을 z 변환 ( 그림 7.2 b)

차분방정식으로 주어지는 디지털필터 ( 그림 7.2 a)

그림 7.2 디지털필터의 블록선도

시간영역과 z 영역의 사이에는 시간영역 지연소자를 z-1 의 승산기로 바꾸면 됨 .

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예제 7.1 블록선도가 다음과 같이 주어지는 디지털필터의 전달함수를 구하라 .

그림 7.3 디지털필터의 블록선도

해답 )차분방정식 y(nT) 는y(nT) = x(nT) + 0.5x(nT-T) + 0.25x(nT-2T) 이다 . 그러므로 전달함수 H(z) 은H(z) = 1 + 0.5z-1 + 0.25 z-2 로 주어진다 .


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블록법 기본이 되는 간단한 디지털필터를 단위블록으로 하여 복잡한 회로로 구성된 디지털필터의 전달함수를 구하는 방법

1) 직렬접속

그림 7.4 직렬접속

디지털필터 전체의 전달함수 H(z) 을 인수분해하여 몇 개의 함수를 곱의 형태로 표시한다면 , 복수의 기본블록을 종속으로 연결하여 실현할 수 있다 .


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2) 병렬접속


그림 7.5 병렬접속

디지털필터 전체의 전달함수 H(z)

(7.2)

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7.2 디지털필터의 표현3) 귀환접속

출력 Y(z) 이 입력측에 귀환 (feedback) 되는 경우의 전달함수

Where, 가산기의 출력을 W(z), 가산기에 귀환되는 입력을 V(z)

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블록선도에서 직접 전달함수를 구하는 방법 ⇒ 재귀부분 (1 주 loop) 과 비재귀부분 ( 귀환이 없는 부분 ) 을 분할하여 디지털필터의 전달함수 H(z) 을 구함 .

그림 7.6 귀환접속

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예제 7.2 다음과 같은 블록선도로 표시되는 각 디지털필터의 전달함수를 구하라 .

그림 7.7


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풀이 ) 보조변수를 이용하여 차분방정식으로 구하는 방법도 있지만 , 여기서는 블록선도에서 직접 전달함수를 구하는 방법으로 구해 보자 . (a) 재귀부분이 없으므로 전달함수는 다음과 같이 주어진다 .

(b) 우선 비재귀부분의 전달함수는 a0 + a1z-1 이다 . 그리고 재귀부분의

loop 는 2 개로 b1z-1 와 b2 z

-2 이다 . 따라서 식 (7.5) 를 적용하면 전달함수 H(z) 은 다음과 같이 주어진다 .

(c) 비재귀부분의 전달함수는 4+3z-1 이고 , 재귀부분의 전달함수는 0.5z-1

다 . 따라서 식 (7.5) 를 적용하면 전달함수 H(z) 는 다음과 같이 주어진다 .


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예제 7.3 다음과 같은 전달함수를 갖는 디지털필터의 차분방정식을 구하라 .

해답 ) 전달함수 H(z) 은 입력신호 x(n) 과 출력신호 y(n) 의 z 변환의 비 ( 比 )

⇒ 위의 식을 전개 Y(z) - 0.5z-1 Y(z) - 0.06z-2 Y(z) = 4X(z) + 3z-1 X(z) + 2z-2 X(z) ⇒ 차분방정식으로 고치면∴ y(nT) = 0.5y(nT-T) + 0.6y(nT-2T) + 4x(nT) + 3x(nT-T) + 2x(nT-2T)

그림 7.8 블록선도


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7.2 디지털필터의 표현 기타 디지털필터를 표현하는 방법

제어이론분야에서 많이 사용하는 상태공간표현법 (state space representation)

시스템 표현의 한 방법으로 시스템을 1 계의 연립차분방정식 ⇒ 보조변수를 이용하여 전후간의 입출력관계를 표현하는 상태방정식과 출력을 표현하는 출력방정식으로 구성됨 .

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7.3 디지털필터의 종류

귀환의 유무로 분류 재귀형 (recursive filter)

비재귀형 (nonrecursive filter)

시간영역특성에서 임펄스응답의 유 , 무한 관점에서 분류FIR(Finite Impulse Response)

IIR(Infinite Impulse Response)

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1. FIR 필터 (Finite Impulse Response) 임펄스응답이 유한하며 비순회형 혹은 비재귀형 필터라고도 부

름 . 입출력관계는 차분방정식으로 주어짐 . 식 (7.6)

그림 7.9 FIR 필터

⇒ 귀환로가 없을 때 (bn = 0, n = 1, 2, … , N)

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임펄스응답은 a0 , a1 , a2 , … , aM , 0, 0, …

⇒ 필터의 계수와 일치하고 유한함 . 필터를 FIR 필터라함

장점 ① 선형 ( 직선 ) 위상특성을 정확하고 용이하게 실현 ⇒ 데이터전송과 같은 파형정보를 중요시하는 응용에서는 필수적인 성질 . ② 귀환이 없기 때문에 항상 안정하다 . 단점 ① 주파수영역에서 급준한 감쇠특성을 실현할 때는 높은 차수의 필터가 필요 .

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필터의 입출력의 위상차가 신호의 주파수에 비례하는 것을 의미 . ⇒ 군지연 특성이 주파수에 관계없이 일정함 . 신호파형의 형태가 문제가 되는 경우 ⇒ 파형을 찌그러지지 않도록 하기위해 선형위상특성을 갖는 필터 이용 . 선형위상특성을 근사할 수 있는 것 ⇒ 아날로그필터 , IIR 디지털필터로도 실현가능하지만 , 완전한 선형위상을 실현할 수 있는 것 ⇒ FIR 디지털필터 .

선형위상

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선형위상필터의 임펄스응답

그림 7.10 선형상위필터의 임펄스응답

식 (7.8) 에 대응하는 응답

식 (7.9) 에 대응하는 응답

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2. IIR 필터 (Infinite Impulse Response) 임펄스응답이 무한한 필터 .

순회형 혹은 재귀형 필터라고도 부름 . 귀환로가 있는 경우 차분방정식으로 주어짐 .

⇒ 식 (7.6) 의 양변을 z 변환하면

전달함수 H (z) ⇒ 임펄스응답의 z 변환이므로 임펄스응답이 무한함 .


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그림 7.11 IIR 필터

장점 ① FIR 필터보다 적은 차수로 급준한 감쇠특성을 실현할 수 있다 . 단점 ① 선형위상특성을 실현하기 어렵다 . ② 귀환이 있기 때문에 항상 안정하다고는 할 수 없다 . 무한어장 ( 無限語長 ) 연산에서는 안정하더라도 실제의 유한어장 연산에서 리미트 사이클 (limit cycle) 과 같은 진동을 일으킴 . ∴ 시스템이 안정한가를 항상 판별해야 함 .

IIR 필터의 특징

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예제 7.4 진폭특성이 같은 두 종류의 디지털필터의 전달함수가 아래와 같다 .

각각에 대하여(a) FIR 형인가 IIR 형인가를 밝혀라 .(b) 블록선도 및 차분방정식을 유도하라 .(c) 승산기 , 가산기 및 데이터 저장개소는 몇 개 필요한가 ?


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해답 )

그림 7.12

(a) (1) IIR 필터 (2) FIR 필터이다(b) (1) 의 필터에 대한 블록선도 그림 7.12(a), 대응하는 차분방정식 w(nT) = x(nT) -b1 w(nT-T) -b2w(nT- 2T) y(nT) = a0w(nT) + a1w(nT-T) - a2w(nT- 2T) (2) 의 필터에 대한 블록선도 그림 7.12(b), 대응하는 차분방정식

(c) IIR FIR승산기 5 12가산기 4 11저장개소 8 24 ( 그림 7.25 참조 )

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7.4 디지털필터의 주파수특성 디지털필터의 주파수특성에 따라

⇒ 디지털필터의 진폭특성 |H(ejT)| ≒ 1 인 주파수영역으로 입력신호가 출력신호가 됨 .

통과역 (pass band)

저지역 (stop band)

⇒ |H(ejT)| ≒ 0로 되는 주파수영역으로 입력신호가 감쇠되어 출력신호가 나오지 않는다 .

디지털필터의 전달함수 H(z)

⇒ 입출력신호의 z 변환의 비 ( 比 ) →

Where, z = ejT 로 하면 H(ejT) 를 구함 .

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7.4 디지털필터의 주파수특성 고유함수 ejT ⇒ T = 2, 4, 6, …일 때 같은 값이 되며 ⇒ s = 2/T[rad/sec] (f = s / 2 = 1/T[Hz]) 의 주기 ⇒ 주파수특성 H(ejT) 는 동일한 특성이 반복 .

⇒ 주파수 스펙트럼의 X 축 ( 주파수 축 ) 의 범위 → 주파수로 표시 f = 0 ~ 1/2T까지 표시 . → 각 주파수로 표시할 경우 T = 0 ~ 특성을 표시 .⇒ X 축이 일 때는 /T까지 표시 .

표본화간격이 T 일 경우

그림 7.13 디지털필터의 진폭스펙트럼

|H(ejT)|

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예제 7.5 디지털필터의 입출력관계가 다음과 같은 차분방정식으로 주어질 때 이 시스템의 주파수특성을 구하여 진폭특성과 위상특성의 개략도를 그려라 .

차분방정식의 양변을 z 변환하여 전달함수를 구하면 해답 )

주파수특성 H(ejT )

7.4 디지털필터의 주파수특성

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낮은 주파수 (T ≒ 0) 에서 |H(ejT)| ≒ 0 ⇒ 입력신호는 거의 출력신호로 나오지 않는다 .

높은 주파수 ( ≒ 0) 에서 |H(ejT)| ≒ 1 ⇒ 입력신호는 그대로 출력신호로 된다 .

표본화간격 T 를 0.01[sec] 로 하여 주파수로 환산 ⇒ X 축 T= f, = 50[Hz] ( 그림 7.14)

고역통과 디지털필터 ( 예제 7.5)

그림 7.14 주파수 특성

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7.4 디지털필터의 주파수특성 진폭특성 분류

저역필터 (low pass filter), 고역필터 (high pass filter), 대역필터 (band pass filter) , 대역저지 필터 (band stop filter) 등으로 나뉨 .

그림 7.15 이상적인 진폭특성

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그림 7.16 필터의 진폭특성 및 감쇠특성

진폭특성을 dB 로 표시 ⇒ 20log|H(ejT)| [dB] 감쇠량 표시 ⇒ -20log|H(ejT)| [dB]

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실현 가능한 필터의 설계 스펙 (specification)

그림 7.17 필터의 설계스팩


0= 3[dB]( 전력 1/2, 진폭 1/ √2) 되는 주파수 ⇒ 차단주파수 (cutoff frequency) 0 ~ 0까지의 주파수대역 ⇒ 대역폭 (bandwidth) r 은 소거주파수 (shutoff frequency) 로서 최초의 저지역을 의미 .

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7.5 필터설계 순서

디지털필터를 설계하는 순서는 5단계의 과정이 필요

(1) 설계스펙 결정(2) 필터계수 결정 ( 전달함수 결정 )(3) 구조 결정(4) 유한어장 영향의 해석(5) 소프트웨어 혹은 하드웨어 실현

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1. 설계스펙


스펙이 주어지는 3가지 방법① 진폭특성만 규정하는 경우② 진폭특성과 위상특성을 동시에 지정하는 경우③ 임펄스응답과 진폭특성을 지정하는 경우

⇒ ① 과 ②는 주파수영역만 , ③ 은 주파수영역과 시간영역을 동시에 규정 .

1) 진폭특성만 규정하는 경우

그림 7.18

예 ) 저역통과 필터

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그림 7.19 진폭특성

fp : 차단주파수 [Hz]Ap : 통과역 최대감쇠량 [dB]fr : 소거주파수 [Hz]Ar : 저지역 최소감쇠량 [dB]fs : 샘플링 주파수(samplingfrequency)[Hz]

그림 7.19(a) 와 같이 최대평탄 특성 (Butterworth 특성 ) 이 많이 이용 .

통과역과 저지역 모두 양호한 특성을 얻기 위해서그림 7.19(b) 필터 유용 .(equalripple)

최대평탄 특성과 체브체프 (Chebyshev) 특성을 병용한 그림 7.19(c), (d)

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7.5 필터설계 순서 2) 진폭특성과 위상특성을 동시에 지정하는 경우

그림 7.20

입력파형이 0 만큼 지연되고 찌그러짐이 없도록 전송하기 위해⇒ 진폭특성이 1( 전역통과형 ) 이고 , ⇒ 위상특성이 선형 ( 군지연특성이 일정한 값 ) 이어야 함 .

군지연특성⇒ 어떠한 주파수의 입력정현파 계열에 대해 출력정현파 계열의 시간지연을 시간단위로 표현

찌그러짐이 없는 파형전송을 실현할 경우 대표적인 특성

⇒ 지연 최대평탄 특성 , 지연 등맥동특성 , 정지연 특성 ( 선형위상특성 ) 등

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7.5 필터설계 순서 3) 임펄스응답과 진폭특성을 지정하는 경우

시간영역에서 부호간 간섭을 억제하기 위해 ⇒ 임펄스응답의 주펄스의 피크점으로부터 부호간격 Tc 마다 0으로 함 . 주파수영역에서 부호스펙트럼의 대역제한을 하기 위해 ⇒ 진폭특성이 어떠한 주파수보다 높은 주파수성분을 가지지 않게 하는 필터가 필요 . 부호간 간섭 · 저지역 감쇠량규정 디지털필터라 부름 .

그림 7.21

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7.5 필터설계 순서 2. 필터계수 결정

FIR 필터의 계수를 구하는 방법

주파수영역의 경우 ⇒ 창함수법 (window function method), 이상필터의 무한 임펄스응답을 유한 임펄스응답으로 근사하여 FIR 필터의 계수를 결정하는 방법 .

⇒ 주파수 샘플링법 (frequency sampling method) 설계스펙으로 주어진 진폭특성을 주파수축상에서 샘플링하고 근사하는 것에 의해서 결정하는 방법 .

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IIR 필터의 계수를 구하는 방법


스펙을 만족하는 아날로그필터의 전달함수를 구하고 각종 z 변환법을 이용하여 디지털필터의 전달함수를 구하는 것 .

사용되는 z 변환의 대표적인 것⇒ 표준 z 변환 (standard z-transform), 쌍 1 차 z 변환 (bilinear z-transform) 정합 z 변환 (matched z-transform) 등

시간영역스펙이 주어진 경우

⇒ 임펄스응답 h(nT) 를 희망하는 임펄스응답 hd(nT) 로 근사하는 방법

비선형 최적화법을 이용하여 오차의 자승평균치를 최소화 시키는 최적화법

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3. 구조 결정


IIR 형의 경우 3가지의 기본구조

직접형 ⇒ IIR 형의 전달함수를 단순히 표현한 것 . 종속형 ⇒ 전달함수를 2 차 및 1 차의 전달함수로 인수분해하여 블록으로 하여 종속접속으로 구성하는 구조 . 병렬형 ⇒ 전달함수를 부분분수의 합으로 하여 2 차 및 1 차의 전달함수에 의한 병렬접속으로 구성하는 구조

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7.22 (a) 직접형


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7.22 (b) 종속형 (c) 병렬형


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FIR 형의 경우 구조 ⇒ 그림 7.23(a) 와 같은 직접형이 주로 이용 .

⇒ 트랜스버셜필터 (transversal filter) 혹은 tapped delay line 이라함 .

그림 7.23(b),(c) 는 주파수 샘플링구조와 고속 컨볼루션형태의 구조

트랜스버셜필터와 비교하여 주파수 샘플링구조는 계수가 몇 개 안되어 계산이 간단하나 구조가 복잡하며 많은 저장 메모리가 필요 .


447.23 (a) 트랜스 버셜필터 (b) 주파수 샘플링 구조 (c) 고속 콘볼루션


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음성신호처리와 선형 예측법에 주로 이용됨 . 그림 7.24(a) - 단일 입력과 한 쌍의 출력으로 되어 있다 . 그림 7.24(b) 와 같이 N 차의 격자형 필터를 구성할 수 있다 . 그림 7.24(c) 는 분자다항식이 1 차이고 분모다항식이 2 차인 전극 (all-pole) 2 차 IIR 격자형필터 .

격자형의 기본구조

7.24 각종 격자형 필터


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7.5 필터설계 순서 4. 유한어장 영향의 해석

유한어장으로 인한 주요 특성열화

① 입 ·출력 양자화 오차 (input/output signal quantization) 디지털필터로 아날로그 신호를 처리하고자 하는 경우에는 아날로그 신호를 A/D 변환기에 통과시켜야 하는데 이 때 양자화 오차가 발생한다 .② 계수 양자화 오차 (coefficient quantization) 필터계수의 양자화에 기인하는 오차로 인해 FIR 및 IIR 필터의 주파수특성이 달라진다 . 특히 IIR 형의 경우에는 불안정한 필터가 될 수도 있다 .③ 오버플로우 발진 (overflow oscillation) 가산결과가 허용하는 어장을 초과할 때 발생하는데 , 이것은 잘못된

출력샘플을 초래하고 IIR 형에서는 불안정으로 되는 원인이 된다 .

정확한 필터의 계수를 구하고 곱셈과 덧셈이 정확해도 필터의 계수는 보통 8(bit) 또는 16(bit) 로 유한하기 때문에 양자화 오차가 발생함 .

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7.5 필터설계 순서 5. 하드웨어 혹은 소프트웨어 실현

1) 하드웨어에 의한 실현

디지털필터의 구성요소 ⇒ 승산기 , 가산기 , 지연기

각종의 계산을 실행하는 가산회로와 승산회로와 같은 연산회로가 필요 . 지연 (delay) 을 실현하는 시프트 레지스터 (shift register) 가 필요 . 필터계수의 기억에는 IC 메모리가 있어야 함 .

7.25 하드웨어에 의한 구성

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7.5 필터설계 순서 전용하드웨어로 디지털필터를 실현 할 경우 문제점

① 스펙에 따른 설계가 어렵다 .② 필터의 종류에 따라 하드웨어를 따로 구성해야 한다 .③ 배선이 곤란하고 규격이 커지므로 대규모의 필터는 실현하기 어렵다 .④ 가격이 비싸다 .

2) 소프트웨어에 의한 실현

필터의 계산을 수행하는 프로그램에 의해 디지털필터를 실현하는 방법

신호처리 전용으로 개발된 DSP(Digital Signal Processor) - 고속처리가 가능하기에 만족할만한 동작속도를 가진 디지털필터를 실현 .

고속으로 동작 할 수 있는 이점 외에

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소프트웨어 실현의 장점① 동일한 소프트웨어 구성을 이용하여 프로그램의 변경만으로 다양한 필터를 실현할 수 있다 .② 대량생산이 가능하고 가격도 싸다 .

어떠한 신호로부터 여분의 성분을 제거하기 위하여 디지털필터를 사용하는 경우

⇒ 하드웨어로 실현하는 방법 ⇒ 마이크로프로세서 or DSP 를 이용하여 firm 의 형태로 실현하는 방법

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7.5 필터설계 순서 소프트웨어에 의한 실현 예

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