Динамика распространения эпидемий

Презентацию подготовила Лопатухина Е.В.Учебная группа №218

Факультет Биологический

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В.Ломоносова

Москва, 2014г.

Крупнейшие эпидемии в истории человечества• Юстинианская чума, 541 г. н. э.• Антонианская чума, 165-180 г.г.• «Черная смерть», XIV-XV века, последующие

вспышки вплоть до XVIII в.• Эпидемия ветряной оспы среди коренного

населения Америки, 1492-1900 гг.• Первая пандемия холеры, 1817-1823 гг.• Азиатский (российский) грипп, 1889-1890 гг.• Эпидемия сальмонеллеза, 1906• Грипп «испанка», 1918 - 1919 гг.

• Малярия• СПИД, 1981• Грипп• Эпидемии сыпного тифа

Современные эпидемии

Страны мира с наиболее высокой степенью распространения ВИЧ/СПИДа среди взрослого населения, 2005 год, доля населения 15-49 лет с выявленным вирусом ВИЧ

Чумная палочка при флюоресцентной микроскопии

Эритроциты, зараженные P.vivax

ВИЧ (зеленый) на поверхности лимфоцита

Вирус гриппа

Вирионы оспы

Сальмонелла

• Нахождение пороговых значений• Оценка степени тяжести эпидемии• Прогнозирование динамики развитие

эпидемии• Моделирование развития ситуации при

борьбе с эпидемией

Цель данной работы – рассмотреть классическую модель динамики эпидемий

Прикладные задачи

Классическая модель Кермака-МакКендрика, 1927г.

S – восприимчивые особиI – инфицированные особиR – устраненные особи

S I R • Скорость прироста инфицированных особей пропорциональна произведению количества восприимчивых и инфицированных особей• Число восприимчивых особей убывает с такой же

скоростью• Скорость перехода инфицированных особей в

устраненный класса пропорциональна количеству инфицированных особей• Инкубационный период мал, так что им можно

пренебречь, то есть заболевшая особь сразу же переходит в класс инфицированных• Постоянство численности популяции

𝜕𝑆𝜕𝑡

=−𝑟𝑆𝐼

𝜕𝑅𝜕𝑡

=𝑎𝐼

𝜕 𝐼𝜕𝑡

=𝑟𝑆𝐼−𝑎𝐼

r>0, скорость инфицированияа>0, скорость убыли инфицированных - время пребывания в инфицированном классе

S I RS(t)+I(t)+R(t)=Nили условие постоянства численности, гдеN – общая численность популяции

Начальные условия:• S(0)=So>0• I(0)=Io>0• R(0)=0

S(t) нет эпидемии

эпидемия!

Пороговый эффект

ρ = ;

σ =

относительная интенсивность устранения

интенсивность контактов

𝑅𝑜=𝑟 𝑆𝑜𝑎

базовое репродуктивное число

количество вторичных заболеваний, появившихся в результате передачи первичного заболевания в популяции, полностью состоящей из восприимчивых особей

при > 1

• Уменьшение – вакцинация;• «Коллективный иммунитет» – защита

всего сообщества, вакцинация чужих детей

{ 𝜕 𝐼𝜕𝑆=−𝐼 (𝑟𝑆−𝑎 )𝑟𝑆𝐼

=− 𝑟𝑆𝐼−𝑎𝐼𝑟𝑆𝐼

=𝑎𝐼−𝑟𝑆𝐼𝑟𝑆𝐼

=−1+𝑎𝑟×1𝑆

=−1+ 𝜌𝑆

𝐼 ≠0  

Ro при t

Imax достигается при S

Imax o

𝑆𝑜<𝑎𝑟

𝑆𝑜>𝑎𝑟

нет эпидемии

эпидемия

r=2, a=1, N=1

000

Так как

I = Io + So -

𝜕𝑆𝜕𝑡

=−𝑟𝑆𝐼

𝜕𝑅𝜕𝑡

=𝑎𝐼

𝜕 𝐼𝜕𝑡

=𝑟𝑆𝐼−𝑎𝐼

Эпидемия угасает из-за уменьшения числа инфицированных особей, а не восприимчивых

), R(0) = 0;

, так как (разложение в ряд Тейлора)

𝜕𝑅𝜕𝑡

=𝑎𝐼

Гиперболические функции

Скорость устранения

, где

,

Пример. Бомбейская чума 1905-1906 гг.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Недели

Скор

ость

уст

ране

ния

Перекрестные инфекции

• Шистосоматоз – перекрест между людьми и определенным видом улиток• Бычий туберкулез –

перекрест между барсуками и крупным рогатым скотом• Венерические

заболевания

Яйца Schistosoma sp.Mycobacterium bovis – возбудитель бычьего туберкулеза

Гонококк

Моделирование венерических заболеваний

S I R

S* I* R*

S I R

S* I* R*

S I

S* I*

S, I, R – группы мужчинS*, I*, R* - группы женщин

отсутствие иммунитета

Начальные условия:

I

S

S*

Стационарные состояния:1). I = 0

2).

, где

Ненулевые стационарные состояния при - пороговое условие

среднее число мужчин, зараженных одной женщиной; для аналогично.

Линеаризация системы и отыскание характеристических значений

Для I

Для ненулевых корней

= 0

Reустойчивый фокус

Модель гонореи

Четные номера – мужчиныНечетные номера - женщины

N1 + N3 + N5 + N7 = 1N2 + N4 + N6 + N8 = 1

Ii(t), где i=1, 2, …, 8 – доля инфицированных1-Ii(t) – доля восприимчивых

Активные Неактивные

Тяжелая форма (симптомы)

N1, N2 N3, N4

Легкая форма (нет симптомов)

N5, N6 N7, N8

• Di – среднее время (в мес.) инфицирования для группы

• - вероятность излечения за каждый месяц

• - интенсивность устранения в месяц - матрица контактов 8×8;

Активные Неактивные

Тяжелая форма (симптомы)

N1, N2 N3, N4

Легкая форма (нет симптомов)

N5, N6 N7, N8

(1-Ii) – восприимчивый из группы i заразился от кого-то из j

𝜕 (𝑁 𝑖 𝐼 𝑖 )𝜕𝑡

=∑𝑗=1

8

𝐿𝑖𝑗 (1− Ii )𝑁 𝑗 𝐼 𝑗−𝑁 𝑖 𝐼𝑖𝐷𝑖

скорость инфицирования заболеваемость выздоровление

Географическое распространение эпидемий• S (x, t) – восприимчивые• I (x, t) – инфицированные

Безразмерные переменные:

- базовое репродукционное число

При поиске решений в виде бегущей волны получаем солитон - уединенную волну в средах различной физической природы, сохраняющую неизменной свою форму и скорость при распространении.

Заключение

Анализирование данных моделей позволяет:• предсказать эволюцию эпидемического процесса• оценить потребность в вакцинации, если вакцина от данного

заболевания существует• планировать профилактических и противоэпидемических

мероприятий

Использованная литература

• Дж.Мюррей «Математическая биология», изд. УдГУ, 2011• Andrew J Black and Alan J McKanе «WKB calculation of an epidemic

outbreak distribution». Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 10.1088/1742-5468/2011/12/P12006• С.Л.Плавинский «Моделирование ВИЧ-инфекции и других

заразных заболеваний человека и оценка численности групп риска. Введение в математическую эпидемиологию». Москва, 2009