Upload
ivan-ivanov
View
670
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
ДИНАМИКА НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА ( ЧАСТИЦА )
Зад. 1От хоризонтално летящ със скорост m/s вертолет е пуснато малко кълбо с маса
kg (Фиг.1.1). Да се определят:1. Законът за движение на кълбото, ако съпротивлението на въздуха се дава със силата
;2. Разстоянието от точката, в която кълбото се удря в земята, до положението на
вертолета, от което то е пуснато, ако същият лети на височина m.
Фиг. 1.1
Дадено: Търси се: m/s 1) ;
kg 2) ;
Решение:
1. Определяне на закона за движение на кълбото
Записваме основното уравнение на динамиката във векторна форма:. (1)
Поставяме координатна система с начало – началното положение на кълбото (т. е вертолета) и осите избрани така, че движението на кълбото да е в положителна посока (Фиг.1.2). След това, поставяме действащите върху кълбото сили с техните направления – това са силата на тежестта и силата на съпротивление на въздуха ( има вертикална директриса и е насочена надолу, а е с направление, съвпадащо с тангентата на траекторията в точката и посока срещу движението).
Фиг. 1.2Разлагаме (1) скаларно по двете оси и получаваме:
1
, (2) и , (3). След това заместваме силите в (2) и (3):
, (2') . (3')Но , , и . Тогава (2') и (3') добиват вида:
, (4) . (5)Започваме решението на (4):
. (4')
Това е хомогенно диференциално уравнение от втори ред. То се решава по следния начин:Записваме характеристичното му уравнение:
.
Решаваме го и получаваме:
,
и .
Тогава общото решение на хомогенното уравнение е:
.
В нашия случай то има следния вид:. (6)
Първата му производна е:. (7)
За да определим интеграционните константи и използваме известните ни гранични условия за началното положение на кълбото /при s/:
,.
Изразите (6) и (7) стават:,
.Решаваме системата уравнения и получаваме: , .Окончателно за получаваме:
.Преминаваме към (5):
. (5')
Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред – първо се решава хомогенното му уравнение, а след това се намира частният му интеграл.
Хомогенното уравнение е следното:
.
Решението му е същото като на (4’). Тогава общото решение на (5') има вида:.
Тук е частният интеграл на нехомогенното диференциално уравнение. Той има вида:,
където е най-малката производна от лявата страна на нехомогенното уравнение, а е полином, чиято степен отговаря на степента на полинома в дясната част на нехомогенното уравнение.
В нашия случай , защото най-малката производна в израза отляво на (5') е първата, а , защото полинома от дясната страна на (5') е от нулева степен. Тогава:
.
2
Определяме първата и втората производна на :, .
Заместваме ги в (5') / отговаря на , а – на / и определяме :
,
,
.
Тогава и общото решение на (5') е:
, (8)
а първата му производна е:. (9)
За да определим интеграционните константи и използваме известните ни гранични условия за началното положение на кълбото /при s/:
,.
Изразите (8) и (9) стават:,
.Решаваме системата уравнения и получаваме: , .Окончателно за получаваме:
.Закон за движение на кълбото:
2. Определяне на разстоянието от точката, в която кълбото се удря в земята, до положението на вертолета, от което то е пуснато
Височината на летене на вертолета е m. Това означава, че кълбото ще измине същото разстояние преди да се удари в земята (Фиг.1.3). Тогава ще бъде равно на :
m.Заместваме в закона за движение за и определяме времето , за което кълбото
стига до земята:
,
. (10)
Това уравнение има точно решение, но то се намира трудно и затова определянето на става с опитване: задава се някаква стойност за , например s. В уравнение (10) се получава 500 = 4,824. Както се вижда, разликата е голяма, затова опитваме с друга стойност за
. Вземамe s. В (10) се получава 500 = 872,57. Отново сме далеч, но вече сме намерили интервала, в който се намира – между 1s и 15s. След още няколко опита получаваме: s.
С тази стойност заместваме в закона за движение за и за получаваме:
m.
3
Фиг. 1.3
Зад.2Тяло с маса kg се плъзга с триене по хоризонтална повърхност под действие на сила
, където (Фиг.2.1). Силата на съпротивление на въздуха е , .
Да се определи законът за движение на тялото, ако началната скорост е m/s и коефициентът на триене е .
Фиг. 2.1
Дадено: Търси се: = ?
m/s
Решение:
Записваме основното уравнение на динамиката във векторна форма:. (1)
Приемаме координатна система с начало – началното положение на тялото и ос избрана така, че движението на тялото да е в положителната й посока (Фиг.2.2). Поставяме действащите върху тялото сили:
– по оста : движещата сила /по посока на движението/, силата на триене ,
силата на съпротивление на въздуха /последните две са противоположни на движението/ (Фиг.2.2);
– по оста : силата на тежестта /насочена надолу/ и нормалната реакция /насочена нагоре/(Фиг.2.2).
4
Фиг. 2.2
Разлагаме (1) по двете оси и получаваме:, (2)
, (3)
, (2')
. (3')Но , , и . Тогава (2') и (3') добиват вида:
, (2''). (3'')
Получава се система от две уравнения с три неизвестни – , и , но от схемата се вижда, че движението на тялото е само по ос . В такъв случай , . Тогава от (3''):
, и .Сега вече в уравнение (2'') не знаем само търсения закон за движение . Започваме
определянето му:,
, (4)
. (4')Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред и се решава по следния начин:Първо решаваме хомогенното му уравнение:
.
Записваме характеристичното уравнение:
,
.Корените на това уравнение са и . Тогава общото решение на (4) е:
.
Полиномът има следния вид:.
Това е така, защото най-малката производна от дясната страна на (4) е нулева, а изразът вляво на (4) е от втора степен. Определяме първата и втората производна на :
, и ги заместваме в (4’) / отговаря на , - на , а - на /. Получаваме:
.Групираме коефициентите пред различните степени на :
,след което ги сравняваме – тези отляво с тези отдясно /пред еднаквите степени на /:
, ,, ,
, .За получаваме: , а за общото решение:
. (5)
Следва намирането на интеграционните константи и . За целта определяме първата производна на (5):
. (6)След това записваме граничните условия – това са положението и скоростта на тялото в
началния момент на движението /при s/: и m/s.
5
Заместваме с тях в (5) и (6) и получаваме:(5')
(6')
(5'')(6'')
От системата уравнения (5'') и (6'') намираме и .Окончателно, Законът за движение на тялото е:
Зад. 3Тяло с маса kg е свързано с пружина с коравина N/m и започва движение върху
хоризонтална равнина (Фиг.4.1). Коефициентът на триене e . В началния момент тялото има скорост m/s, а пружината е ненапрегната. Силата на съпротивление на въздуха е
. Да се определи законът за движение на тялото докато за пръв път промени посоката си на
движение.
Фиг. 4.1
Дадено: Търси се:kg m/s = ?N/m
;
Решение:
Записваме основното уравнение на динамиката във векторна форма:. (1)
Приемаме координатна система с начало – началното положение на тялото и ос избрана така, че движението на тялото да е в положителната й посока (Фиг.4.2). Поставяме действащите върху тялото сили:
– по ос : силата на триене , силата на съпротивление на въздуха и пружинната сила /всички са противоположни на движението/ (Фиг.4.2);
– по ос : силата на тежестта /насочена надолу/ и нормалната реакция /насочена нагоре/(Фиг.4.2).
Фиг. 4.2
6
Разлагаме (1) по двете оси и получаваме:, (2)
, (3), (2')
. (3')Но , и . Тогава (2') и (3') добиват вида:
, (2''). (3'')
Получаваме система от две уравнения с три неизвестни – , и , но от схемата се вижда, че тялото не може да се движи по оста . В такъв случай , , . Тогава от (3'') получаваме:
, и .Сега вече в уравнение (2'') не знаем само търсения закон за движение . Започваме
определянето му:,
, (4)
. (4')Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред и се решава по следния начин:Първо решаваме хомогенното му уравнение:
.
Записваме характеристичното уравнение:
,
.Корените на това уравнение са комплексните числа и , където
и . Тогава общото решение на (4) е от вида:
Полиномът има следния вид:.
Това е така, защото най-малката производна от дясната страна на (4) е нулева, а изразът вляво на (4) също е от нулева степен. Определяме първата и втората производна на :
, и ги заместваме в (4’) / отговаря на , - на , а - на /. Получаваме:
За общото решение получаваме:
. (5)
Следва намирането на интеграционните константи и . За целта определяме първата производна на (5):
(6)След това записваме граничните условия – това са положението и скоростта на тялото в
началния момент на движението /при /: и m/s.
Заместваме с тях в (5) и (6) и получаваме:
(5')
7
(6')
(5'')(6'')
От системата уравнения (5'') и (6'') намираме и .Окончателно, Законът за движение на тялото е:
.
Зад.4Частица с маса kg се движи върху гладка хоризонтална равнина под действие на
сила , N/m. Да се определи законът за движение на частицата ако в началния момент от движението тя е била в т. и е имала скорост m/s (Фиг.4.1).
Фиг. 4.1
Дадено: Търси се:kg
, N/m m/s
Решение:
Записваме основното уравнение на динамиката във векторна форма:. (1)
В тази задача координатната система е зададена и затова директно се пристъпва към поставяне на силите, действащи на частицата. В условието на задачата е казано, че движението е върху гладка хоризонтална равнина: “гладка” означава, че няма триене между частицата и повърхността, а “хоризонтална” – че силата на тежестта не влияе на движението на частицата. В такъв случай, единствената действаща сила е дадената .
8
Фиг. 4.2
Силата е правопропорционална на вектора и за определяне на нейните компоненти и трябва първо да се определят координатите на вектора /от координатите на
втората точка (т. ) вадим тези на първата (т. )/: . Точка има
координати: m и , а координатите на точка са двете компоненти на закона за движение: и (Фиг.4.2). Тогава:
;,
а компонентите на силата са:;
.Разлагаме (1) скаларно по двете оси и получаваме:
(2) и (3)Започваме решението на (2):
,,
,
. (2’)Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред – първо се решава
хомогенното му уравнение, а след това се намира частният му интеграл.Хомогенното уравнение е следното:
.Записваме характеристичното му уравнение:
.Решаваме го и получаваме:
.Тогава общото решение на хомогенното уравнение е:
Частното решение има следния вид:
, защото най-малката производна от дясната страна на (2’) е нулева, а изразът вляво на (2’) също е от нулева степен. Определяме първата и втората производна на :
, и ги заместваме в (2’):
9
.
За общото решение получаваме:(4)
Следва намирането на интеграционните константи и . За целта определяме първата производна на (4):
(5)След това записваме граничните условия – това са положението и скоростта на тялото в
началния момент на движението /при s – т. /:
;
m/s.Заместваме с тях в (4) и (5) и получаваме:
; .
Окончателно за получаваме:.
Преминаваме към (3):,
,
. (3’)Това е хомогенно диференциално уравнение от втори ред, а общото му решение е същото
като на (2’):. (6)
Първата производна е:. (7)
За да определим интеграционните константи и използваме известните ни гранични условия за началното положение на кълбото / при s – т. /:
m,.
Изразите (6) и (7) стават:;
.
Окончателно за получаваме:.
Закон за движение на частицата:
;.
Зад.5Частица с маса kg се спуска по идеално гладък участък , наклонен под ъгъл
спрямо хоризонта, а след това продължава движението си по идеално гладък улей с форма на четвърт кръг (Фиг.5.1). Да се определят:
1.Закона за движение на частицата в участък , ако в началния момент тя е била в покой;
2.Скоростта, с която частицата ще напусне улея.Забележка: Силата на съпротивление на въздуха ( kg/s) да се вземе предвид
само за участък !
10
Фиг. 5.1
Дадено: Търси се:kg 1) Закон за движение в участък
, kg/s 2)
Решение:
Записваме основното уравнение на динамиката във векторна форма:. (1)
В тази задача движението на частицата се осъществява в два участъка, които трябва да бъдат разгледани поотделно.
1. Определяне на закона за движение на частицата в участък
Въвеждаме координатна система за първия участък и поставяме действащите сили – силата на тежестта , силата на съпротивление на въздуха и нормалната реакция (Фиг.5.2).
Разлагаме (1) по двете оси:, (2)
, (3), (2’). (3’)
Разглеждаме първо уравнение (3’), защото частицата не може да се движи по оста . В такъв случай , , . Тогава:
N.
11
Фиг. 5.2
Продължаваме с (2’):,
,
.Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред и решението е:- хомогенно уравнение:
.- характеристично уравнение:
,,
; .- общо решение:
.- частен интеграл:
, , , .
- вид на закона за движението и скоростта:,
.- интеграционни константи:
.
.
Закон за движение в първи участък:.
Закон за скоростта в първи участък:.
12
Преди да продължим с участък трябва да се определи скоростта на частицата в т., тъй като тя ще бъде началната й скорост за втория участък на движение!
– определяне на скоростта на частицата в т.Дължината на участък е m (Фиг.5.3). С тази стойност се замества в закона за
движение и като резултат ще се получи времето, за което частицата стига от т. до т. . След това, със същото време се замества в закона за скоростта в първия участък и се получава .
.
С опитване: s.
m/s.
Фиг. 5.32. Определяне на скоростта на частицата в т.
В участък движението на частицата е в улей с форма на четвърт кръг, т.е. кривата на движение е позната. Тогава, по-удобно е да се използва естествената координатна система, състояща се от тангента и нормала в равнината на движение. Отново поставяме действащите сили – сега това са силата на тежестта и нормалната реакция (Фиг.5.4).
След това, налице са два подхода за определяне на скоростта в т. : единият е традиционният – определят се законите за движение и скорост в участък , след тях се определя времето за движение на частицата от т. до т. и след заместване се получава скоростта. Този подход, обаче, е по-дълъг и трудоемък и затова определянето на ще стане по друг, по-лесен начин, състоящ се в следното:
От Кинематиката е известно, че при естествен начин на задаване на движението, ускорението на частица се състои от две компоненти – нормална и тангенциална, като първата отговаря за изменение на направлението на скоростта, а втората – за изменение на големината на скоростта. В тази задача ние се интересуваме от големината на скоростта и затова разглеждаме движението на частицата само по тангентата (Фиг.5.4):
, (4)
13
)60sin( 0 Gma t . (4’)
Фиг. 5.4
Въвеждаме естествената координата и централният ъгъл (Фиг.5.4), като връзката между тях е:
. Продължаваме със зависимостите:
,
.
Използваме познатата субституция:
,
а синуса разлагаме:.
След всички преобразувания диференциалното уравнение (4’) става с отделящи се променливи:
,
.
То се решава по отношение на по следния начин:
,
,
,
,
14