引 言

第三章 一元函数积分学

积分学分为不定积分与定积分两部分．不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系．

本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理（牛顿莱布尼茨式 ), 解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分．

本章主要内容：第一节 不定积分第二节 不定积分的计算第三节 定积分第四节 定积分的计算第五节 广义积分

3.1.1 不定积分的概念

3.1.2 不定积分的基本公式和

运算法则

第一节 第一节 不定积分

在小学和中学我们学过逆运算：

如：加法的逆运算为减法 乘法的逆运算为除法 指数的逆运算为对数

3.1.1 3.1.1 不定积分的概念

问题提出

微分法 :

积分法 : )()?( xf互逆运算

反问题设已知 ),(xf

)(xF设已知

定义 1 　

若在某一区间上， F′(x) ＝ f(x) ，

则在这个区间上，函数 F （ x ）叫做函数

f(x) 的一个原函数（ primitive function ）

一个函数的原函数并不是唯一的，

而是有无穷多个．比如，

(sinx)′ ＝ cosx

所以 sinx 是 cosx 的一个原函数，而 sinx ＋ C （ C 可以取任意多的常数）是 cosx 的无穷多个原函数．

一般的，若 F′(x) ＝ f(x),F(x) 是 f(x)

的一个原函数，则等式

[F(x)+ C]′ ＝ F′(x) ＝ f(x)

成立（其中 C 为任意常数），从而一簇

曲线方程 F(x) ＋ C

是 f(x) 无穷多个原函数．

问题提出

如果一个函数 f(x) 在一个区间有一个

原函数 F(x) ，那么 f(x) 就有无穷多个

原函数存在，无穷多个原函数是否都有

一致的表达式

F(x) ＋ C

呢？

定理 1:

若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则f(x) 的所有原函数都可以表示成

F(x) ＋ C （ C 为任意常数）．

思考：如何证明？思考：如何证明？

YES

x 称为积分变量

f(x) 称为被积函数，

f(x)dx 称为被积表达式

其中∫ 称为积分号，

C 称为积分常数

定义 2 ：若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则

f(x) 的所有原函数 F(x) ＋ C 称为 f(x) 的

不定积分（ indefinite integral ） , 记为

∫ f （ x ） dx ＝ F （ x ） ＋ C

例 1 　求函数 f(x) ＝ ３ x ２ 的不定积分

例 2 　求函数 f(x) ＝ １ /x 的不定积分

由于函数 f(x) 的不定积分 F(x) ＋ C 中含有

任意常数 C ，因此对于每一个给定的 C ，都有

一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一

条确定的曲线，称为 f(x) 的积分曲线．

因为 C 可以取任意值，因此不定积分表示

f(x) 的一簇积分曲线，即 F(x) ＋ C ．

二、不定积分的几何意义

因为 F′(x) ＝ f(x) ，这说明，在积分曲线

簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标 x ＝ x ０

点处有相同的斜率 f(x ０ ) ，所以对应于这些点处，

它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之

间相差一个常数．因此，积分曲线簇 y ＝ F(x) ＋ C

中每一条曲线都可以由曲线 y ＝ F(x) 沿 y 轴方向

上、下移动而得到

二、不定积分的几何意义

二、不定积分的几何意义

y

xo 0x

例 3 　求经过点（１ ，３） ，且其切线的斜率为２ x 的曲线方程．

3.1.2 　不定积分的基本公式和运算法则

一、不定积分的基本公式

由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算．因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式．

基本积分表基本积分表

xkd)1( ( k 为常数 )

Cxk

Cx

11

1

xxd

)3( Cx ln

xx d)2( )1(

xxdcos)5( Cx sin

xxdsin)4( Cx cos

xa xd)6( Caa x ln

xex d)7( Cex

x

x2cos

d xxdsec )9( 2 Cx tan

x

x2sin

d xxdcsc )8( 2Cx cot

21

d)10(

x

xCx arctan

21

d)11(

x

xCx arcsin

xxx dtansec)12(

xxx dcotcsc)13(

cx sec

cx csc

例 求例 求

解 : 原式 =

xx d34

Cx 31

3

134

1

34

x C

例 求

解 : 原式 = xx dsin21

Cx cos21

关于不定积分，还有如下等式成立：

１ ［∫ f(x)dx ］′＝ f(x)

或 d∫f(x)dx ＝ f(x)dx

2 ∫F′(x)dx ＝ F(x) ＋ C

或 ∫ dF(x) ＝ F(x) ＋ C

二、不定积分的运算法则

１ 不为零的常数因子，可移动到积分号前

∫af(x)dx ＝ a∫f(x)dx 　（ a≠ ０）

２ 两个函数的代数和的积分等于函数积分的

代数和

∫[f(x)±g(x) ］ dx ＝ f(x)dx±∫g(x)dx

例 4 　求

解：原式 =

例 5 求

解：原式

例 6 　求

解：原式 =

例 7 　求

解：原式 =

课堂练习 课堂思考

本节给出了不定积分的定义、几何意义和基本公式及运算法则。

下一节

3.1 节 课堂练习

xdx2tan dxx

x2

2

cos

sin

dxx

xxx2

222

cos

coscossin

dxdxx2cos

1Cxx tan

3.1 节 课堂思考

?

? )()()()(

除法呢

对吗乘法 dxxgdxxfdxxgxf

xg(x)f(x), 例如不对

３ . ２ 　不定积分的计算

利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法 :

换元积分法与分部积分法

３ . ２ 　不定积分的计算

3.2.1 换元积分法

3.2.4* 积分表的使用

3.2.3* 有理函数积分简介

3.2.2 分部积分法

3.2.1 　换元积分法

一、第一类换元积分法（凑微分法）

　　有一些不定积分，将积分变量进行一定

的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来 .

例如

想到基本积分公式

若令 u ＝４ x ，把４ x 看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来

又如

u=2

x

第一类换元法第一类换元法

),()( uFuf 有原函数设 ,)( 可导xu

则有换元公式

)(d)]([ xxf

)(xu

CuF )( uuf d)(

CxF )]([

ux )(

例 8 　求

解：原式 =

推广：

解：

例 9 　求

解：原式 =

例 10 　求

解：原式 =

例 11 　求

解：原式 =

类似可得 　

二、第二类换元积分法

第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一

个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式，但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换 x ＝ φ(t) ，而积分

∫f(x)dx ＝∫ f ［ φ(t) ］ φ′(t)dt

可用基本积分公式求解

定理 2 　设 f(x)连续， x ＝ φ(t) 是单调可导的连续函数，且其导数 φ′(t)≠０，x ＝ φ(t) 的反函数 t＝ φ-1(x)存在且可导，并且 ∫ f[φ(t)]φ′(t)dt＝ F(t) ＋ C

则 ∫ f(x)dx ＝ F[φ-1(x)]＋ C

例例 1212 求求 .)0( d22 axxa

解 : 令 ,),(,sin 22 ttax 则

taaxa 22222 sin tacos

ttax dcosd

∴ 原式 tacos tta dcos tta dcos22

Ca 2

42sin

2tt

a x

22 xa

t

ax

arcsin Cxax 22

21

2

2a

ttt cossin22sin 2ax

axa 22

例例 13.13. 求求

解 : 令 ,),(,tan 22 ttax 则

22222 tan ataax tasec

ttax dsecd 2

∴ 原式 ta 2sectasec

td tt dsec

1tansecln Ctt a

x22 ax t

ln22 ax

)ln( 1 aCC

xa 1C

例例 14.14. 求求

解 : ,时当 ax 令 ,),0(,sec 2 ttax 则

22222 sec ataax ta tanxd ttta dtansec

∴ 原式

t d tta tansecta tan

tt dsec

1tansecln Ctt 22 ax

t

1 ln C

)ln( 1 aCC

22 ax axa

,时当 ax 令 ,ux ,au 则 于是

22

d

au

u1

22ln Cauu

122ln Caxx

122

2

ln Caxx

a

)ln2( 1 aCC

小结小结 ::

被积函数含有时 , 22 ax 或

可采用三角代换消去根式

例 15 求

解：设 ，则

从而 原式

小结：

当被积函数含有 时，只需做代换 ，就可将根号去掉．不定积分就变成容易的积分了。

上述第二类换元积分均是利用变换去掉被积函数中的根式，把积分转化成容易积分．

3.2.2 分部积分法（ integration by parts）

如果 u ＝ u(x) 与 v ＝ v(x) 都有连续的导数，则由

函数乘积的微分公式

d(uv) ＝ vdu ＋ udv 移项得 udv ＝ d(uv) － vdu

从而 ∫ udv ＝ uv －∫ vdu 或∫ udv ＝ uv －∫ vu′dx

　　这个公式叫作分部积分公式，当积分∫ udv 不易计算，而积分∫ vdu 比较容易计算时，就可以使用这个公式．

例例 16.16. 求求

解 : 令 ,xu xdxdv cos

则 ,dxdu xv sin

∴ 原式 xxsin xx dsin

Cxxx cossin

在计算方法熟练后，分部积分法的替换过程可以省略

例 17 求不定积分

解：原式

例例 18.18. 求求 .dsin xxex解 : 原式

xxexe xx dcoscos

xdxexexe xxx sinsincos

移项整理可得

)cos( xdex

Cxxex )cos(sin21 xxex dsin

例例 19.19. 求求 .darctan xxx

解：原式

xx arctan21 2

xx

xd

121

2

2

xx arctan21 2

xx

d)1

11(

21

2

xx arctan21 2 Cxx )arctan(

21

)2

(darctan2x

x

例例 20.20. 求求 xxdln

解 :原式 = xxdxx lnln

Cxxx ln

dxxxxx

1ln

思考：如何求 xxxn dln

例例 21.21. 求求

解 : 令

,tx 则 ,2tx ttx d2d

原式 tet t d2

tet(2

Cxe x )1(2

,tu tev

)te C

令

总结 : 分部积分法主要解决被积函数是两类不同类型的函数乘积形式的一类积分问题，例如这些形式：

∫P(x)eax dx ∫P(x)lnmxdx ∫P(x)cosmxdx ∫P(x)sinmxdx ∫sinmxeaxdx ……

其中 m 为正整数， a 为常数， P（ x ）为多项式

正确选取 u(x) ， v(x) ，会使不定积分

∫v(x)du(x) ＝∫ v(x)u′(x)dx

变得更加简单易求。

3.2.3* 有理函数积分简介

有理函数总可以写成两个多项式的比

其中 n 为正整数，m 为非负整数， a ０≠０， b ０

≠０ ，设分子与分母之间没有公因子，当n＞m 时，叫做真分式；当m ≥ n 时，叫做假分式，假分式可以用除法把它化为一个多项式与一个真分式之和．

多项式可以很容易地逐项积分，因此只需要讨论真分式的积分，一般来讲，先将真分式化成部分分式，部分分式的积分较容易，真分式的积分就会计算了．

例 22 将 分解成部分分式6512

2 xxx

解：由于真分式 )2)(3(12

6512

2

xx

xxxx

可设 236512

2 x

BxA

xxx

右边通分，再与左边比较分子可得

)3()2(12 xBxAx 从而

132

2

BA

BA

解得 故 23

35

xx原式

3

5

B

A

例 23 将 分解成部分分式)1)(1(12

2

2

xxx

xx

右边通分，再与左边比较分子可得)1)(()1(12 22 xCBxxxAxx

从而

3

1

2

1

2

1

C

B

A

CA

ABC

BA

解：设 11)1)(1(12

22

2

xxCBx

xA

xxxxx

因此

13

12

)1)(1(12

22

2

xxx

xxxxxx

例 24 求

解：由例 22 结果

dxxx

xxx

x)

2

3

3

5(d

65

122

Cxx |2|ln3|3|ln5

xxx

xd

65

122

例 25 求

解：由例 23 结果

xxxx

xxd

)1)(1(

122

2

dx

xx

x

xx

xxx

xx)

1

3

1

2(d

)1)(1(

1222

2

dxxx

x

x

dx

1

3

1

22

dxxx

xx

1

3|1|ln2

2

dxxx

xdx

xx

x

1

5)12(

2

1

1

322

12

5

1

12

2

122 xx

dxdx

xx

x

43

)21

(

)21

(

2

5

1

)1(

2

1

22

2

x

xd

xx

xxd

Cx

xx

2321

arctan3

2

2

5|1|ln

2

1 2

xxxx

xxd

)1)(1(

122

2

|1|ln2 x

从而

Cx

xx

3

12arctan

3

5|1|ln

2

1 2

例 26 求 x

xxxd

)1(

122

解：设1)1(

12222

xx

DCx

x

B

x

A

xxx

用待定系数法得： 0 1 1 1 DCBA

x

xx

xx

xx

xx

xxxd

1d

1d

1d

)1(

12222

xxx

xx

xx

xd

1

1)12(

2

1d

1 22

43

)21

(

)21

(

2

1

1

)1(

2

1

22

2

x

xd

xx

xxd

Cx

xx 3

12arctan

31

)1ln(21 2

Cx

xxx

x 3

12arctan

31

)1ln(211

||ln 2

从而 x

xxxd

)1(

1

22

x

xx

xx

xx

xd

1d

1d

122

3.2.4* 　积分表的使用

一般的积分表都是按照被积函数的类型进行分类的，所以求不定积分时，首先找出被积函数所属的类型，然后在积分表中查出相应的公式．有时，还需要经过适当的变换，把被积函数化成积分表中所列出的形式，然后查．

积分表可看附录Ⅰ

解：被积函数含 a ＋ bx ，与附录Ⅰ公式２７ 相同，其中 a ＝２， b＝５，于是

例 27 　求 2)52(

xx

dx

Cx

x

xxx

dx

|52

|ln4

1

)52(2

1

)52(

2

解：被积函数含有 a ＋ bx ＋ x2 与附录Ⅰ

公式 45 相同，其中 a ＝ 3 ， b＝２， c ＝１，

b2 － 4ac ＝４－４·３·１＝－８＜０，于是

例 28 　求 32

2 xx

dx

Cx

Cx

xx

dx

2

1arctan

2

14134

212arctan

4134

2

32

2

说明：积分运算与微分运算还有一个很不相同的地方，即任何一个初等函数的导数都可以根据基本导数公式和微分运算法可求出来，并且仍然是初等函数．但是，有许多初等函数却“积不出来”，即这些函数的原函数存在，但这个原函数不能用初等函数来表示，例如

dxx

xdxx

dxedxx x sin

ln

1 )cos(

22

课堂练习课堂练习 课堂思考课堂思考

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3.2 节 练习

令 ,2xu ,sin xdxdv

则原式

再利用例再利用例 1616 做做看做做看

3.2节 思考 :

x

xddxx

11

1

怎么回事？ dxx

x )1

(12

dxx

11

所以 所以 1=01=0