コンピュータ基礎演習　ー探索、整列ー

岩井　儀雄iwai@sys.es.osaka-u.ac.jp

線形探索と二分探索 線形探索法 (linear search)

データを最初から順番に探索する例） {2, 4, 5, 8, 9, 11, 6, 7, 15, 20} から 15 を探す　最初の要素から始めて９回目→計算量 O(n)

二分探索法 (binary search) データをあらかじめソートしておき，中央の要素から

検索する．

二分探索 (binary search) {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 20} から 15 を探す

{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 20}１回目

二分探索 (binary search) {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 20} から 15 を探す

{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 20}２回目

二分探索 (binary search) {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 20} から 15 を探す

{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 20}

探索回数　３回計算量　　 log2(n) O(log n)

３回目

整列 (sort) 内部整列 (internal sort)

主記憶上で行う整列 外部整列 (external sort)

外部記憶装置（テープ等）上で行う

整列アルゴリズムの優劣→比較回数と交換回数の大小

安定な整列 (stable sort) 同じ値を持つデータ間の順序関係が整

列の前後で保たれている

例）整列前： 7 9 5A 4 8 5B 2　　整列後： 2 4 5A 5B 7 8 9 　（安定）　　整列後： 2 4 5B 5A 7 8 9 　（不安定）

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目

比較

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

１回目　 20 6 55 74 3 45 13 87 30 46

入替

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

１回目　 20 6 55 74 3 45 13 87 30 46

比較

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

１回目　 20 6 55 74 3 45 13 30 87 46

入替

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

１回目　 20 6 55 74 3 45 13 30 87 46

比較

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

１回目　 20 6 55 74 3 45 13 30 87 46

比較

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

１回目　 20 6 55 74 3 13 45 30 87 46

入替

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

１回目　 20 6 55 74 3 13 45 30 87 46

比較

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

１回目　 20 6 55 74 3 13 45 30 87 46　　　　 20 6 55 3 74 13 45 30 87 46 20 6 3 55 74 13 45 30 87 46 20 3 6 55 74 13 45 30 87 46 3 20 6 55 74 13 45 30 87 46

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

２回目　 3 20 6 55 74 13 45 30 87 46　　　　 46 87 30 46 30 45 13 30 13 74 13 55 6 13 6 20

単純な整列（バブルソート） 配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

２回目　 3 6 20 13 55 74 30 45 46 87３回目 3 6 13 20 30 55 74 45 46 87４回目 3 6 13 20 30 45 55 74 46 87５回目 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87６回目 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87７回目 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87８回目　 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87９回目　 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87

バブルソート（疑似コード）

for (i←0..n-1) for (j←n-1..i) if !(a[j-1] ≦ a[j]) swap(a[j-1],a[j])

整列アルゴリズムが満たす事後条件 ∀i, j[i < j] ⇒ a[i] ≤a[ j]

計算量は O(n2)

右辺値の交換

バブルソート（Ｃ言語）

for (i←0..n-1) for (j←n-1..i) if !(a[j-1] ≦ a[j]) swap(a[j-1],a[j])

void bubble_sort(int a[],int n) { int I,j,t; for (int I=0; I<n-1; ++I) for (int j=n-1; j>I; --j) if (a[j-1] > a[j]) { t = a[j]; a[j] = a[j-1]; a[j-1] = t; }}

swap(a[j-1],a[j]) に相当する

単純な整列（選択ソート） 未整列部分から最小の要素を選び出し，それを未整

列部分の先頭と入れ替える

整列アルゴリズムが満たす事後条件 ∀i, j[i < j] ⇒ a[i] ≤a[ j]

a[0] ≤ a[1] ≤ ≤ a[i –1] ≤ a[i] ≤ a[n –1]整列済 未整列部分

未整列部分から最小値を取り出し続けると下記の条件を満たす

選択ソート

整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目

入替

選択ソート

整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目 3 6 55 74 20 45 13 87 46 30

選択ソート

整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目 3 6 55 74 20 45 13 87 46 30２回目 3 6 55 74 20 45 13 87 46 30

入替

選択ソート

整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目 3 6 55 74 20 45 13 87 46 30２回目 3 6 55 74 20 45 13 87 46 30３回目　 3 6 13 74 20 45 55 87 46 30４回目　 3 6 13 20 74 45 55 87 46 30５回目　 3 6 13 20 30 45 55 87 46 74６回目　 3 6 13 20 30 45 55 87 46 74７回目　 3 6 13 20 30 45 46 87 55 74８回目　 3 6 13 20 30 45 46 55 87 74９回目　 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87

選択ソート（疑似コード）

for (i←0..n-2) lowest←argmin(a[j]) i<j<n swap(a[i],a[lowest])

選択ソート（Ｃ言語）

void selection_sort(int a[],int n) { int i,j,t,lowest,lowval; for (i = 0; i<n-1; ++i) { lowest = i; lowval = a[i]; for (j = i+1; j < n; ++j) if (a[j] < lowval) { lowval = a[j]; lowest = j; } t = a[I]; a[I] = a[lowest]; a[lowest] = t; }}

argmin の計算部分

選択ソートの計算量 ループ n 回， argmin の計算量 O(n) 選択ソートの計算量は O(n2)

単純な整列（挿入ソート） 配列の一部分が整列済みの時に，残りの要素

を一つずつ整列済みの中に挿入する整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目　 6 20 55 74 3 45 13 87 46 30２回目 6 20 55 74 3 45 13 87 46 30３回目　 6 20 55 74 3 45 13 87 46 30４回目　 3 6 20 55 74 45 13 87 46 30５回目　 3 6 20 45 55 74 13 87 46 30６回目　 3 6 13 20 45 55 74 87 46 30７回目　 3 6 13 20 45 55 74 87 46 30８回目　 3 6 13 20 45 46 55 74 87 30９回目　 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87

挿入ソート（疑似コード）

for (i←0..n-1) j←i while (! (a[j-1] ≦ a[j]) ) swap( a[j-1], a[j] ) j←j-1

計算量：外側ループ O(n) 内側ループ O(n)合計：　 O(n2)

コンピュータ基礎演習　ー計算量ー

岩井　儀雄iwai@sys.es.osaka-u.ac.jp

計算量 (complexity) 時間計算量 (time complexity)

アルゴリズムがデータに対してどれくらい時間がかかるかを示す

空間計算量 (space complexity) アルゴリズムがデータに対してどれくらい記憶領域を必要

とするかを示す

時間計算量と空間計算量はトレードオフの関係にあることが多い

計算機にとって記憶資源は潤沢にあるので，通常時間計算量の方が重きを置かれることが多い

オーダー記法Ｏ 計算量 T(n) の上界値を評価するとき， O(f

(n)) という記法を用い，オーダー f(n) と読む．

ある正定数 c と n0 が存在して， n0以上の n に対して，常に T(n) ≦cf(n) が成立するという意味n0 の役割は有限個の例外を許すことにある．

∃c,n0 c> 0, n≥n0 ⇒ T(n) ≤cf(n)

オーダー記法 Ω 計算量の下界値のオーダーを表すには，

記法 Ωを用いる． T(n)=Ω(f(n)) とは，

∃c∀n T(n) ≥cf(n)

計算量とオーダ表記の関係

n

計算量

計算量の下界Ω

計算量の上界 O実際の計算量

有限個の例外は OK

n0

オーダーの演算 T1 = O( f (n)), T2 = O(g(n))

T1 + T2 = O(max( f (n),g(n)))T1 × T2 = O( f (n) ×g(n))

例） T1 = O(n2), T2 = O(n3)T1 + T2 = O(n3)T1 × T2 = O(n5)

最悪計算量と平均計算量 同じアルゴリズムでも入力するデータに応じ

て計算量が変化する．そこで，客観的に測定し評価する必要がある．

最悪計算量 worst case complexity 全ての入力パターンに対して最大の計算量を要す

るものに基づいて定める 平均計算量 average complexity

全ての入力パターンとその入力の生起確率に基づいて計算量の平均を求める