Календарные аномалии: непараметрический подход и сравнение эмпирических функций распределения

Календарные аномалии: непараметрический подход и

сравнение эмпирических функций распределения

Л а б о р а т о р и я количественного анализа и моделирования экономики

М.К.Мазалова О.В. Польдин


2

План

1. Обзор аномалий

2. Исследуемые данные

3. Непараметрические методы

4. Регрессионный анализ

5. Стохастическое доминирование

6. Выводы


3

Аномалии на фондовых Аномалии на фондовых рынкахрынках

Существование аномалий противоречит гипотезе эффективного рынка согласно которой, в любой момент времени вся возможная информация уже заложена в цену бумаг

1. обзор аномалий


4

Аномалии финансовых

рынков

Прочие аномалииOther anomalies

Ценовые аномалииPrice anomalies

Эффект дня недели“Day-of-the-week effect”

Эффект месяца года“Month-of-the-year effect”

Эффект начала и конца года“End-of-year effect”

Календарные аномалии

Calendar anomalies

Эффект праздничного дня“Holiday effect”

Эффект трети месяца“Week-of-month effect”

Эффект полудня“Midday effect”

Эффект новолуния“New-moon effect”

Эффект размера“Size effect”

Эффект новостей

Эффект IPO и обратного выкупа

Погодные аномалииWeather anomalies

Низкий коэффициент Цена/Балансовая прибыль “Low Price-to-book ratio”

Низкий коэффициент Цена/Доходность

“Low Price-to-Earnings ratio”

Высокая дивидендная доходность

Эффект дня дивидендных выплат

Мусорные бумаги



5



6



7

Приложение: анализ календарных аномалий на

финансовом рынке РФ


8

Доходность

tзакрытP .

1. tзакрытP

– уровень закрытия индекса в день t;

– уровень закрытия индекса в день,

предшествующий дню t.

1.

.lntзакрыт

tзакрытt P

PR 01.09.1995 - 28.01.2010

2. исследуемые данные


9

Среднее значение

Стандартное отклонение

Асимметрия ЭксцессСтатистика Jarque-Bera

Вероятность

Количество

наблюдений

Понедельник 0.001801 0.030699 -0.784797 9.723522 1358.577 0.000000 684

Вторник 0.000540 0.028205 -0.316481 10.67414 1786.204 0.000000 723

Среда -0.002104 0.029508 -0.642259 7.970848 797.3691 0.000000 726

Четверг 0.001319 0.028944 -0.278643 8.272064 845.4989 0.000000 722

Пятница 0.002078 0.026094 0.516033 11.98036 2396.888 0.000000 704


Дневная доходность


10

Среднее значение

Стандартное отклонение

Асимметрия ЭксцессСтатистика Jarque-Bera

ВероятностьКоличество наблюдений

Январь 0.000415 0.159984 -0.093986 3.057848 0.024175 0.987985 15

Февраль 0.060885 0.093616 -0.050642 2.829561 0.022929 0.988601 14

Март 0.065855 0.118006 0.566192 2.401016 0.957293 0.619622 14

Апрель 0.068782 0.119680 0.059565 3.253628 0.045803 0.977359 14

Май 0.016265 0.206628 -0.768488 3.828901 1.778802 0.410902 14

Июнь 0.027852 0.149557 0.382309 2.766028 0.372974 0.829869 14

Июль -0.025374 0.125380 -0.270035 2.860606 0.181479 0.913256 14

Август -0.023896 0.256344 -2.300993 8.022382 27.06818 0.000001 14

Сентябрь -0.064003 0.166165 -0.492860 2.300574 0.913024 0.633489 15

Октябрь -0.005285 0.172164 -0.961851 4.125384 3.104450 0.211776 15

Ноябрь -0.000182 0.139556 -0.677381 2.694925 1.205283 0.547364 15

Декабрь 0.069808 0.138998 0.945971 5.137575 5.092920 0.078359 15



11

Непараметрические методы


12

Непараметрические методы - это статистические процедуры,

позволяющие обрабатывать данные из выборок малого объема с неизвестным распределением переменных

Не требуют предположения о нормальности распределения выборки

Можно использовать на малых выборках Нет ограничений по точности измерений

3. непараметрические методы


13

Обзор непараметрических методовНепараметрические

методы

критерии различия между группами

(независимые выборки)

критерии различия между группами

(зависимые выборки)

критерии зависимости между

переменными

КритерийВальда-Вольфовица

Критерий Манна-Уитни

Критерий Колмогорова-Смирнова

критерий знаков

критерий Вилкоксона парных сравнений

R статистика Спирмена

θ Кендалла

коэффициент γ



14

Проведено сравнение распределений доходности в конкретный день и распределения доходности в остальные дни, используя три непараметрических теста:

тест Вальда-Вольфовица; тест Колмогорова-Смирнова; тест Манна-Уитни



15

Критерий серий Вальда-Вольфовицапроверяет H0 о равенстве целого ряда параметров двух выборок, включая медианы и коэффициенты асимметрии

Критерий проверяет гипотезу о том, что две независимые выборки извлечены из двух различных совокупностей, иными словами, различаются не только средними значениями, но также формой распределения

Нулевая гипотеза состоит в том, что обе выборки извлечены из одной и той же совокупности, то есть данные однородны



16

Критерий серий Вальда-Вольфовица

Серия - максимальный сегмент последовательности, состоящий из смежных равных элементов

Пример: упорядочив данные по возрастанию, получим такие серии:

1111 222 11 2 11111111 2222

Если гипотеза H0 (два распределения равны) не отклоняется, то наблюдения из I и II совокупностей должны быть хорошо перемешаны и общее число серий должно быть велико



17

U критерий Манна-Уитнисравнивает две независимые совокупности по их центральной тенденции

Этот критерий называется ранговым, так как он оперирует не численными значениями переменных, а их рангами

Для расчета значения критерия подгруппы ранжируются

Нулевая гипотеза состоит в том, что суммы рангов в обеих группах равны, что говорит о равенстве центральной тенденции двух распределений



18

U критерий Манна-Уитни

единиц с выборке ующаясоответств

сумм,ранговых двух из большая -

выборке второй во единиц количество-

выборке первой в единиц количество -

,2

)1(

2

1

21

x

x

xxx

n

R

n

n

Rnn

nnU



19

Двухвыборочный критерий Колмогорова-Смирновасравнивает эмпирические функции распределения двух рядов Проверяется нулевая гипотеза о том, являются ли одинаковыми непрерывные функции распределения генеральных совокупностей, из которых взяты выборки

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей и оценить достоверность этого расхождения

)()(sup),(2121 , zGzFyxD nn

Inn



20

Эффект дня недели

Вторник

Среда

Четверг

ПятницаПонедельник

-0,0025

-0,002

-0,0015

-0,001

-0,0005

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025



21

M ean Plot (Spreadsheet в W eek 5v*726c)

M ean; W hisker: M ean±SD

M ean M ean±SD M onday

TuesdayW ednesday

ThursdayFriday

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04


22

Тестирование эффекта дня недели

Тест Вальда-Вольфовица

Тест Манна-Уитни

Тест Колмогорова-

Смирнова

Понедельник 0,910324 0,061259 <0.025*

Вторник 0,460527 0,275461 <0.05*

Среда 0,598690 0,005603* <0.025*

Четверг 0,234359 0,394824 >0.10

Пятница 0,936237 0,232687 >0.10

Примечание: В таблице приведены вероятности ошибок первого рода для тестов



23

Эффект месяца года

12

11

10

9

87

5

432

1

6

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08



24

Mean P lo t (Spreadshee t в Year1 12v*14c)

Mean; W hisker: Mean±SD

Mean Mean±SD Ja

nu

ary

Fe

bru

ary

Ma

rch

Ap

ril

Ma

y

Jun

e

July

Au

gu

st

Se

pte

mb

er

Oct

ob

er

No

vem

be

r

De

cem

be

r-0 ,4

-0 ,3

-0 ,2

-0 ,1

0 ,0

0 ,1

0 ,2

0 ,3


25

Тестирование эффекта месяца года

Тест Вальда-Вольфовица

Тест Манна-УитниТест Колмогорова-

Смирнова

Январь 0,204640 0,513937 >0.10

Февраль 0,367355 0,206406 >0.10

Март 0,238845 0,349732 >0.10

Апрель 0,367355 0,202436 >0.10

Май 0,367355 0,836333 >0.10

Июнь 0,367355 0,849898 >0.10

Июль 0,367355 0,162385 >0.10

Август 0,702751 0,982237 >0.10

Сентябрь 0,769406 0,064275 >0.10

Октябрь 0,097432 0,762587 >0.10

Ноябрь 0,495150 0,733973 >0.10

Декабрь 0,434921 0,255032 >0.10



26

Регрессионный анализ


27

Регрессионный анализ1 ,t o t d tR r R r day of week

где Rt – доходность в период t, Rt-1 – доходность в период t-1, ρ – коэффициент автокорреляции, εt – случайная величина, “day of week” – качественная переменная, равная единице в случае попадания дня недели на тестируемый, ноль - в остальных случаяхrd измеряет разницу в доходности в определенный день недели по сравнению со средней доходностью в остальные дни

4. регрессионный анализ


28

Регрессионный анализ

rd p-значение

Понедельник 0.001065 0.4013

Вторник -0.000420 0.7190

Среда -0.003622 0.0026*

Четверг 0.001274 0.2843

Пятница 0.001588 0.1565



29

Регрессионный анализ1 ,t o t m tR r R r month of year

rm p-значение

Январь -0.031800 0.4542

Февраль 0.052383 0.2291

Март 0.042562 0.3303

Апрель 0.043624 0.3084

Май -0.013872 0.7517

Июнь 0.012245 0.7790

Июль -0.048672 0.2638

Август -0.033687 0.6226

Сентябрь -0.071244 0.1021

Октябрь -0.003505 0.9347

Ноябрь -0.012892 0.7606

Декабрь 0.062557 0.1379



30

Стохастическое доминирование


31

Стохастическое доминирование

Производит качественные, а не количественные измерения

Исследуемые переменные могут быть дискретными, их распределение может не быть нормальным

5. стохастическое доминирование


32

Стохастическое доминирование3 основных типа:

СД первого порядка (FSD)

(uniformly higher wealth at every level of probability)

СД второго порядка (SSD)

(uniformly less down-side risk at every level of probability)

СД третьего порядка (TSD)(uniformly less ruin risk at every level of probability)



33

Пусть x1 и x2 – исследуемые переменные

F1 и F2 – их кумулятивные функции распределения (CDF)



34

FSD

F1 >FSD F2 :

F1(x) ≤ F2(x) для всех x

и

F1(x) < F2(x) хотя бы для одного x



35

CDF

x

1

0



36

SSD

F1 >SSD F2 :

для всех x

и

хотя бы для одного

x

1 2( ) ( )x x

F t dt F t dt

1 2( ) ( )x x

F t dt F t dt



37

CDF

x

1


0


38

TSD

F1 >SSD F2 :

для всех x

и

хотя бы для

одного x

1 2( ) ( )x z x z

a a a a

F t dtdz F t dtdz

1 2( ) ( )x z x z

a a a a

F t dtdz F t dtdz

1 2( ) ( )E F E F



39-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Понедельник

Вторник

СредаЧетверг

Пятница



40

Эффект дня недели

Понедельник Вторник Среда Четверг Пятница

Понедельник –

Вторник –

Среда –

Четверг –

Пятница SSD SSD SSD SSD



41

Эффект месяца года (FSD)Январь Февраль Март Апрель Май Июнь

Январь

Февраль

Март

Апрель

Май

Июнь

Июль – – –

Август – –

Сентябрь – – –

Октябрь

Ноябрь –

Декабрь



42

Эффект месяца года (FSD)Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь

Январь

Февраль FSD FSD

Март FSD FSD FSD

Апрель FSD FSD FSD FSD

Май

Июнь

Июль

Август

Сентябрь

Октябрь

Ноябрь FSD

Декабрь FSD FSD



43

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Февраль



44

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Март


4.


45

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Апрель



46

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Ноябрь



47

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Декабрь



48

Эффект месяца года (SSD)Январь Февраль Март Апрель Май Июнь

Январь – – – –

Февраль SSD SSD SSD

Март SSD SSD SSD

Апрель SSD SSD SSD

Май – – – –

Июнь SSD – – – SSD

Июль – – – –

Август – – – – – –

Сентябрь – – – – –

Октябрь – – – –

Ноябрь – – – –

Декабрь SSD – – – SSD SSD



49

Эффект месяца года (SSD)Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь

Январь SSD SSD –

Февраль SSD SSD SSD

Март SSD SSD

Апрель SSD SSD

Май SSD –

Июнь SSD SSD SSD SSD SSD –

Июль SSD –

Август – – – –


Октябрь SSD –

Ноябрь SSD –

Декабрь SSD SSD SSD



50

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Январь



51

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Июнь



52

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Июль



53

Эффект месяца года (TSD)Январь Февраль Март Апрель Май Июнь

Январь – – – –

Февраль

Март

Апрель

Май – – – –

Июнь – – –

Июль – – – –

Август – – – – – –

Сентябрь – – – – –

Октябрь – – – –

Ноябрь – – – –

Декабрь – – –



54

Эффект месяца года (TSD)Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь

Январь –

Февраль TSD

Март TSD

Апрель

Май –

Июнь –

Июль TSD –

Август – – – –


Октябрь –

Ноябрь –

Декабрь



55

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Июль

Август



56

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.40

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Rate of Return

Are

a

Июль

Август

E1= -0.0433E2= -0.0773



57

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Февраль

Декабрь



58

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Rate of Return

Are

a

Февраль

Декабрь

E1=0.0486 E2=0.0461



59

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Март

Декабрь



60

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Rate of Return

Are

a

Март

Декабрь

E1=0.0554E2=0.0461



61

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Май



62

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Rate of Return

Are

a

Сентябрь

Май

E1= -0.0809E2= -0.0175



63

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Август



64

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rate of Return

CD

F

Сентябрь

Октябрь



65

Выводы

В работе был проведен обзор аномалий финансовых рынков и непараметрических критериев, а также анализ двух календарных эффектов с помощью непараметрических тестов, регрессионного анализа и критерия стохастического доминирования

6. выводы


66

Выводы

Исследование не выявило сильно выраженных эффектов, но дает основания говорить о наличии слабых «эффекта среды» и «эффекта сентября» на бирже РТС

6. выводы


67

Ресурсы:

http://www.statsoft.ru/home/textbook/modules/stnonpar.html - электронный учебник StatSoft

Айвазян С. А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. — М.: Финансы и статистика, 1983.

Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики, изд.3-е. -М:Наука, 1983

Sheskin, David. Handbook of parametric and nonparametric statistical procedures. 2nd ed. Capman & Hall, 2000

Daniel D. Heyer Stochastic Dominance: A Tool for Evaluating Reinsurance Alternatives

Al-Khazali O., Koumanakos E., Chong Soo Pyun Calendar Anomaly in Greek stock market: Stochastic dominance analysis. 2007


68

Спасибо за внимание

Вопросы?

Documents

Календарные аномалии: непараметрический подход и сравнение эмпирических функций распределения