Embed Size (px)
DESCRIPTION
מי מפחד מגאוס ?. קרל פרידריך גאוס. קרל פרידריך גאוס חיי במאות 18 19. נולד בגרמניה , היה מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים. גאוס עסק באלגברה, תורת המספרים, גאומטריה דיפרנציאלית, תורת הכבידה, תורת החשמל ומגנטיות, אסטרונומיה ועוד. גאוס הגדיר מושג הנקרא: שטף חשמלי. ננסה להבין מושג זה. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
קובץ זה נועד אך ורק לשימושם האישי של מורי הפיזיקה ולהוראה בכיתותיהם אין לעשות שימוש כלשהו בקובץ זה לכל מטרה אחרת ובכלל זה שימוש מסחרי פרסום באתר אחר )למעט אתר בית הספר בו מלמד המורה( העמדה
לרשות הציבור או הפצה בדרך אחרת כלשהי של קובץ זה או כל חלק ממנו
קרל פרידריך גאוסקרל פרידריך גאוס
19 18קרל פרידריך גאוס חיי במאות
היה מגדולי נולד בגרמניההמתמטיקאים של כל הזמנים
גאוס עסק באלגברה תורת המספרים גאומטריה דיפרנציאלית תורת
הכבידה תורת החשמל ומגנטיות אסטרונומיה ועוד
גאוס הגדיר מושג הנקרא
שטף חשמלישטף חשמלי
ננסה להבין מושג זה
המקור של המושג שטף בא מתורת
הנוזלים באותה תקופה מדענים רבים עסקו
בתורת הנוזלים והגזים
זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך ליחידת זמן
S1
S2
שטףשטף
נפח הזורםנפח הזורם
זמןזמן
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
קרל פרידריך גאוסקרל פרידריך גאוס
19 18קרל פרידריך גאוס חיי במאות
היה מגדולי נולד בגרמניההמתמטיקאים של כל הזמנים
גאוס עסק באלגברה תורת המספרים גאומטריה דיפרנציאלית תורת
הכבידה תורת החשמל ומגנטיות אסטרונומיה ועוד
גאוס הגדיר מושג הנקרא
שטף חשמלישטף חשמלי
ננסה להבין מושג זה
המקור של המושג שטף בא מתורת
הנוזלים באותה תקופה מדענים רבים עסקו
בתורת הנוזלים והגזים
זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך ליחידת זמן
S1
S2
שטףשטף
נפח הזורםנפח הזורם
זמןזמן
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
גאוס הגדיר מושג הנקרא
שטף חשמלישטף חשמלי
ננסה להבין מושג זה
המקור של המושג שטף בא מתורת
הנוזלים באותה תקופה מדענים רבים עסקו
בתורת הנוזלים והגזים
זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך ליחידת זמן
S1
S2
שטףשטף
נפח הזורםנפח הזורם
זמןזמן
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
המקור של המושג שטף בא מתורת
הנוזלים באותה תקופה מדענים רבים עסקו
בתורת הנוזלים והגזים
זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך ליחידת זמן
S1
S2
שטףשטף
נפח הזורםנפח הזורם
זמןזמן
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך ליחידת זמן
S1
S2
שטףשטף
נפח הזורםנפח הזורם
זמןזמן
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
נחקור מושג זה
S
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח
בפרק זמן Sהחתך Δt
נניח לשם פשטות שמהירות הזורם קבועה
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
L אורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
זורם כלשהו
נפח Δtבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר בתיבה
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
שטח חתך התיבה
S
למעשה אורך התיבה שווה למהירות הזורם כפול פרק הזמן
vt
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S
3ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
vt
השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
Lאורך התיבה
שטח חתך התיבה
S vt
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
נפח נפח ΔΔttבתרשים נוכל לראות שבפרק זמן בתרשים נוכל לראות שבפרק זמן הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר הזורם שעובר דרך שטח החתך מוגדר
במקבילוןבמקבילון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
L= אורך המקבילון
vt
שטח חתך המקבילוןS
למה שווה נפח המקבילוןלמה שווה נפח המקבילון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
ניתן לראות שנפח המקבילון ניתן לראות שנפח המקבילון LLשווה לנפח התיבה שאורכה שווה לנפח התיבה שאורכה ושטח הבסיס שלו שווה ל ושטח הבסיס שלו שווה ל
SScoscosαα
L=אורך התיבה vt
αα
acosα
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
עכשיו קל לחשב את נפח התיבה עכשיו קל לחשב את נפח התיבה ואת השטףואת השטף
L=אורך התיבה vt
αα
acosα שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך
המקבילוןS=ab
שטח חתך התיבהScosα
שטח חתך התיבהScosα
b
a
3 cos
cos coscos
ms
fluid volumeV S L
time t tS L S vt
S vt t
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
ככל שהזווית בין שטח החתך ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל כך למהירות הזורם תגדל כך
השטף ילך ויקטן כי פחות זורם השטף ילך ויקטן כי פחות זורם עובר דרך השטחעובר דרך השטח
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקרה פרטי כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם נקבל מקביל למהירות הזורם נקבל
שהשטף שווה לאפסשהשטף שווה לאפס
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
מקרה פרטי נוסף כאשר שטח מקרה פרטי נוסף כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם החתך ניצב למהירות הזורם
השטף יהיה מכסימליהשטף יהיה מכסימלי
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
התבנית של השטף מזכירה מכפלה התבנית של השטף מזכירה מכפלה סקלריתסקלרית
הבעיה היחידה שהשטח הוא לא הבעיה היחידה שהשטח הוא לא ווקטורווקטור
אולי כן
ואולי לא
מבולבליםהמדענים
לא
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב ניתן לדמיין ווקטור שגודלו שווה לשטח וכיוונו ניצב למשטחלמשטח
היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב ααואז ואז למשטחלמשטח
גודל סקלריגודל סקלריוהתוצאה היא והתוצאה היא
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק בקירוב טוב
תיהיה מהירות אחת
לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם
total
v5
v4
v3
v2
v1v6
Φ1
Φ4
Φ2
Φ3
Φ5
Φ6
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
השטף עצמו עזר בחישוב הזרםהשטף עצמו עזר בחישוב הזרם
יחידות השטף הן נפח לזמן
יחידות הצפיפות הן קג לנפח
יחידות הזרם הן קג לשניה
s
m3
זרם=כמות הזורם
זמן= שטף צפיפות
נפחית 3m
kg
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם
היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיוביהיוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי
לכן אם סהכ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת
יש מקור זרם
ואם סהכ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם
ואם סהכ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או
בולען במעטפת
S1
S2
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מעכשיו כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצהמהברז נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה
S1
S2
הרי טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר
וסהכ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס
1221
2211
21
0
0
ssvv
vsvs
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
איך כל זה מתקשר איך כל זה מתקשר לחשמללחשמל
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג גדולתו של גאוס שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום
האלקטרוסטטיות האלקטרוסטטיות
הרי בחשמל הסטטי שום דבר לא זורם אבל את גאוס המתמטיקאי זה לא הטריד
גאוס פשוט דימה את ווקטור גאוס פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות השדה החשמלי כווקטור המהירות
בזורםבזורם
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
גאוס הגדיר שטף גאוס הגדיר שטף חשמליחשמלי
cos SE
מכפלה סקלריתמכפלה סקלרית
ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח ואם השדה לא קבוע נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזורקטנים כך שבקירוב טוב השדה יהיה קבוע באותו איזור
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי גאוס המתמטיקאי הסתכל על מטען נקודתי ושם לב לביטוי של השדהושם לב לביטוי של השדה
2
kqE
r
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
E
גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען גאוס דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה על פני המעטפת גודל השדה קבוע וניצב לפניה
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
הוא הבין שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר השטח שלה אמנם
יגדל אבל השדה על פניה יקטן
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
בשטח כל המעטפתבשטח כל המעטפתהוא חשב על מכפלת השדה
24 rE
נציב
qKrr
KqrE 444 2
2
2
2r
KqE
שטח פני מעטפת כדור
וכידוע שדה של מטען נקודתי
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
מכפלת השדה בשטח כל המעטפת הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת
ועבור מעטפת כדורית שעוטפת את אותו מטען נקבל תמיד גודל קבוע
qKSE 4שטח של שטח של
מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
שטח של שטח של מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
מכפלת השדה בשטח הזכירה לגאוס את הגדרת השטף כיוון שהתבנית דומה
במקרה של המטען הנקודתי ווקטור השדה ניצב לפני השטח והוא שווה בכל
נקודה על פני השטח לכן נקבל מקרה פרטי של
השטף פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח
qKSE 4
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי תלוי בכמות
המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור
לשתי המעטפות הכדוריות והשנייה Rאחת ברדיוס
אותו שטף 2Rברדיוס כולל
qKSE 4
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
0
0
41
4
E Sq
K
KE S q
הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
לגאוס היה נוח יותר להגדיר קבוע
חדש
קבוע הדיאלקטריות של הריק
qelc
0
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד ברור שמדובר במקרה פרטי מאוד הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת הרי מדובר במטען נקודתי נבחרה מעטפת
כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב כדורית קונצנטרית למטען כך שהשדה ניצב לפני המעטפתלפני המעטפת
qelc
0
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
qelc
0
כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור הרי כמות קווי
השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי
לכל מעטפת שטח אחר אך גם גודל השדה על פניה שונה החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן
משהו קבוע
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען מה יקרה אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתיהנקודתי
הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת הרי עבור המטען הנקודתי בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה
אך מה קורה אם השדה אינו ניצבאך מה קורה אם השדה אינו ניצב
בואו נבחר מעטפת אחרת
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
הפעם השדה לא קבוע לא בגודל הפעם השדה לא קבוע לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפתולא בכיוון על פני המעטפת
איך נחשב את איך נחשב את השטףהשטף
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען והחותכת את
מעטפת המשטח הכדורי חותכת גם את המשטח הסגור
אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל אם נחלק את שטח המעטפת לאלמנטיי שטח קטנים נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע
היוצר זווית כלשהי עם המשטחהיוצר זווית כלשהי עם המשטח
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן אפשר לראות שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא שבמעטפת שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא
חלק ממעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על ברדיוס המעטפת נוכל להסיק שהשטף הכולל על
פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני פני מעטפת סגורה כלשהי שווה לשטף על פני מעטפת כדוריתמעטפת כדורית
coscos dAEdAE חלק ממעטפת כדורית
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
מסקנהמסקנה
לכל משטח סגור לכל משטח סגור הכוללהכוללהשטף החשמלי השטף החשמלי העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע
ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפתופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת
ולא משנה צורת המשטחולא משנה צורת המשטח
qelc
0
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו אם יש לנו מטען שלילי אז השטף שלו יהיה שלילייהיה שלילי
qelc
0
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
נבחן שני מטענים נקודתיים וחיובייםנבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים
q1 q2
נעטוף כל מטען במעטפת סגורה נעטוף כל מטען במעטפת סגורה הרי הצורה של המעטפת אינה הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה סהכ השטף על פני חשובה סהכ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה המעטפת נמצא בפרופורציה
למטעןלמטען
202q
101q
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
שטף הוא גודל סקלישטף הוא גודל סקלי
q1 q2
202q
101q
לכן השטף הכולל על שתי לכן השטף הכולל על שתי המעטפות פשוט שווה לסכום המעטפות פשוט שווה לסכום
השטפיםהשטפים21
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטעניםשני המטענים
q1 q2
202q
101q
השטף הכולל על פני המעטפת השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה הגדולה נמצא בפרופורציה
למטען הכולל בתוך המעטפתלמטען הכולל בתוך המעטפת
nettotalqqq
210
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
על פני על פני גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף גאוס הבין שכאשר מחשבים שטף השטף תמיד יהיה ביחס השטף תמיד יהיה ביחס מעטפת סגורהמעטפת סגורה
ישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפתישר לסהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מהו השטף הכולל של דיפול חשמלי ) שני מטענים שוני סימן שווי גודל( מטענים שוני סימן שווי גודל(
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות מהו השטף הכולל של כל אחת מהמעטפות המסומנות בתרשיםהמסומנות בתרשים
0
1 Qtotal
02
total
0
3
2
Qtotal
04
total
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
השטף הכולל שווה לסכום השטפים השטף הכולל שווה לסכום השטפים של המטענים הנקודתייםשל המטענים הנקודתיים
הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר הוא גודל קבוע הנמצא ביחס ישר למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים למרות שהשדה השקול מחושב מכל המטענים גם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפניםגם מאלה שבחוץ וגם מאלה שבפנים
השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק השטף הכולל על פני המעטפת נמצא ביחס ישר רק למטען הכלוא בתוך המעטפתלמטען הכלוא בתוך המעטפת
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק גאוס ניסח חוק מתמטי הנקרא על שמו חוק זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים זה מאפשר לנו לחשב שדות חשמליים הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או הנוצרים על ידי מטענים סימטריים או לחשב פילוג מטען במקרים סימטרייםלחשב פילוג מטען במקרים סימטריים
אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב אך לפני שנעבור לחוק נחזור שוב על הגדרת השטף החשמלי על הגדרת השטף החשמלי
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
הגדרההגדרה
השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי השטף החשמלי העובר דרך משטח מישורי מוגדר כמכפלה מוגדר כמכפלה בשדה חשמלי אחידבשדה חשמלי אחידהנמצא הנמצא
הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי הסקלרית של ווקטור השדה החשמלי בווקטור השטח בווקטור השטח
נגדיר את ווקטור השטח כווקטור יחידה שכיוונו ניצב
למשטח וגודלו שווה לשטח המשטח
שטף הוא גודל סקלרישטף הוא גודל סקלרי
Aנסמן את השטף באותα
E
cosAEAEE
)פי(
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים כאשר אין שדה קבוע יש לחלק את האיזור לחלקים קטנים הנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנטהנקראים אלמנטים כך שבקירוב טוב השדה קבוע בכל אלמנט
השטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטחהשטף הכולל שווה לסכום השטפים על כל אלמנט שטח
iiitotalAE
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
השטף מקבל את ערכו השטף מקבל את ערכו αα=0=000כאשר כאשר המקסימלי המקסימלי
במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את במצב זה קווי השדה החשמלי חותכים את המשטח בניצב לפניוהמשטח בניצב לפניו
השטף שווה לאפס השטף שווה לאפס αα=90=9000כאשר כאשר במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את במצב זה - אין אף קו שדה חשמלי החותך את
המשטח ולכן לא קיים שטף חשמליהמשטח ולכן לא קיים שטף חשמלי
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל כאשר אנחנו מגדירים משטח סגור ווקטור הנורמל למשטח תמיד פונה החוצהלמשטח תמיד פונה החוצה
לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה לכן ווקטור שדה הפורץ החוצה מהמשטח יוצר שטף חיובימהמשטח יוצר שטף חיובי
ווקטור שדה הנכנס למשטח ווקטור שדה הנכנס למשטח יוצר שטף שלילייוצר שטף שלילי
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
שימו לב
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
גאוס התבסס על הרעיון שהשטף גאוס התבסס על הרעיון שהשטף החשמלי הכולל של מעטפת סגורה החשמלי הכולל של מעטפת סגורה
נמצא ביחס ישר לכמות המטען נמצא ביחס ישר לכמות המטען הכלוא במעטפת זוהכלוא במעטפת זו
intotalQ
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
חוק גאוסחוק גאוס השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו השטף החשמלי הנוצר עי שדה חשמלי כלשהו דרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עידרך מעטפת דמיונית סגורה כלשהי נתון עי
inQ
K
4
10
סהכ המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה
מקדם הפרופרציה נקרא דיאלקטריות של הריק כאשר התווך שונה מריק יש לתקן קבוע זה עי הכפלה בקבוע נוסף האופייני לחומר של
התווך
הכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
T T
T
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
ניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותרניתן לכתוב את חוק גאוס באופן כללי יותר
dהכוונה לסהכ השטף הכולל על פני מעטפת סגורה
0 0inQ d
הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הרעיון הבסיסי אומר שיש לחלק את המעטפת הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום הסגורה לאלמנטי שטח ואז לסכום
)אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים )אינטגרציה( את כל השטפים החלקיים
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול השטף בכל נקודה מחושב מהשדה השקול שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך שנוצר מכל המטענים גם אלו שנמצאים בתוך
המעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפתהמעטפת וגם אלו שנמצאים מחוץ למעטפת
השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא השטף הכולל על פני המעטפת כולה נמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא בפרופורציה רק לסהכ המטען שנמצא
בתוך המעטפתבתוך המעטפת
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן כאשר יודעים את סהכ המטען הכלוא ניתן אך זה לא אומר אך זה לא אומר סהכ השטףסהכ השטףלדעת את לדעת את
שיודעים את השדה בכל נקודהשיודעים את השדה בכל נקודה
כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת כאשר יודעים את השטף הכולל ניתן לדעת הכלוא אך זה לא אומר הכלוא אך זה לא אומר סהכ המטעןסהכ המטעןמהו מהו
שיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפתשיודעים את פילוג המטען בתוך המעטפת
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
על על מתאפס בכל נקודהמתאפס בכל נקודהאם השדה החשמלי אם השדה החשמלי פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל פני משטח סגור אז השטף החשמלי הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל שווה לאפס וזה אומר שסהכ המטען הכולל
שווה לאפס בתוך המעטפתשווה לאפס בתוך המעטפת
אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור אם המטען הכולל המצוי בתוך משטח סגור מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה מתאפס זה לא אומר שהשדה בכל נקודה
על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ על פני המעטפת שווה לאפס אלא שסהכ השטף הכולל שווה לאפסהשטף הכולל שווה לאפס
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא אם השטף החשמלי דרך משטח סגור הוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא גודל מסוים ונגדיל את המשטח כך שהוא
לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל לא כולל בתוכו עוד מטען אז השטף הכולל של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו של המשטח החדש יהיה שווה בגודלו
לשטף של המעטפת הקטנהלשטף של המעטפת הקטנה
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר למעשה חוק גאוס הוא חוק מתמטי הקושר בין מטענים משטחים שדות ושטףבין מטענים משטחים שדות ושטף
קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של קל מאוד ליישם את חוק גאוס במקרים של סימטריה מרחביתסימטריה מרחבית
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
אין דבר העומד בפני הרצון ואפילו עם גאוס נוכל לחמוד
לצון
