ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕСУРСНЫЕ СЕТИ

ДИНАМИЧЕСКИЕ

РЕСУРСНЫЕ СЕТИ

ДИНАМИЧЕСКИЕ

РЕСУРСНЫЕ СЕТИ

О.П. Кузнецов

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва

[email protected]

Л.Ю. ЖиляковаПИ ЮФУ,

г. Ростов-на-Дону[email protected]

Тверь, КИИ-2010Тверь, КИИ-2010

mailto:[email protected]












2

Функции на ребрахФункции на ребрах

Ориентированный граф G(V, E); V – множество вершин, V= n;

E – множество ребер, e = (u, v); Е= m. Hа ребрах определена числовая функция (поток)f(e) = f(u, v), u, v V.

Дивергенция вершины (разница между входящим и выходящим потоками)

),(

),(vu

vuf ),(

),(uv

uvf

,0)( Vv

f vdiv

divf(v) =

так как всякое входящее ребро является выходящим.

3

1. Статические потоки 1. Статические потоки

1. Выделены две вершины: s (источник) и t (сток). Остальные вершины называются внутренними; для них divf(v) = 0.

2. На функцию f(е) наложены ограничения:

0 f(е) с(е);

с(е) называется пропускной способностью (емкостью, проводимостью) ребра е.

Из п.1 следует, что divf(t) = divf(s) = M(f) – мощность

(объем, величина) потока.

1а.Классическая постановка Форда-Фалкерсона:

s-t-поток (1-1-задача) 1а.Классическая постановка Форда-Фалкерсона:

s-t-поток (1-1-задача)

4

ПримерПример

s a b c t

s 2 1

a 1 1

b 2

c 1

t

Матрица потока F = ||fij||

n n

ac4 1

s

b

t

2

3 2

13

2

1

2

11

5

РазрезыРазрезы

Разрез А = (X, Y) - разбиение множества вершин на два класса, причем s X, t Y.

U+(A) – множество вершин из X в Y;

U(A) – множество вершин из Y в X.

c(A) = - пропускная способность разреза.

divf(A) =

M(f) = divf(A) = = c(A) –

мощность потока не превосходит пропускной способности любого разреза.

Ue

ec )(

Xv

f vdiv )(

Ue

ef )( Ue

ef )( Ue

ec )(

6

Теорема Форда-Фалкерсона:

1. Если для всех е Е с(е) – целые числа, то существует целочисленный

максимальный поток (поток максимальной мощности).

2. Мощность максимального потока равна пропускной способности

минимального разреза: M(f) = с(А).

Алгоритм Форда –Фалкерсона строит максимальный поток только в целочисленном случае.

В общем случае алгоритм Форда-Фалкерсона может не сойтись, причем даже в пределе может получиться немаксимальный поток.

Amin

7

1б. Модификации классической постановки1б. Модификации классической постановки

Многополюсные потоки: источники s1, …, sk и стоки t1, …, tl (k-l-задача).

Дивергенция в промежуточных вершинах по-прежнему равна нулю.

Задача о максимальном суммарном потоке решается простой редукцией к 1-1-задаче:s1

sk

t1

tl

st

Потоковая сеть


8

Многопродуктовый поток: имеется множество продуктов K = {1, . . . , k}, k источников s1, …, sk, k стоков t1, …, tk (по одному источнику и стоку для каждого продукта), пропускные способности с(е) ребер; задано k функций fi на ребрах, причем fi задает поток i-го продукта из si в ti.

Задача о максимальном многопродуктовом потоке: найти поток максимальной суммарной мощности Mi при стандартных ограничениях.

1б. Модификации классической постановки1б. Модификации классической постановки


9

2. Динамические потоки (потоки во времени - flow over time)

2. Динамические потоки (потоки во времени - flow over time)

Для каждого ребра е задано время передачи (е), пропускная способность c(e), коэффициент цены a(e) на единицу потока. Поток, вошедший в ребро е в момент , выходит из е в момент + (е).

Задача о максимальном потоке во времени: передать от s к t максимальный поток за время Т.

s v t(s, v) = 3, c(s, v) =

2 (v, t) = 2, c( v, t)

= 1

Задача: передать 2 единицы потока за минимальное время.

Можно послать 2 единицы потока в первое ребро в течение интервала [0, 1). Так как в первом ребре время передачи равно 3, то эти две единицы придут в v в интервале [3, 4). Тогда можно начинать передавать поток объема 1 во второе ребро с момента 3, передача закончится к моменту 5. Тогда весь поток придет в t в интервале [5, 7). Время передачи = 7, часть потока хранится в v. Другой вариант: начать передавать 1 единицу потока в интервале [0, 2). Время передачи также равно 7, но хранения в v нет.

10

2. Динамические потоки2. Динамические потоки

Быстрейшие потоки: передать от s к t заданный объем потока за минимально возможное время.

Потоки с ранним прибытием: построить s-t-поток, максимизирующий объем потока, прибывающего в сток раньше момента для всех ∈ [0, T).

Потоки с поздним отправлением: построить s-t-поток, максимизирующий объем потока, выходящего из источника позже момента для всех ∈ [0, T).

Потоки с ценами (NP-трудные задачи):

- найти поток минимальной стоимости в данном интервале времени:

- найти быстрейший поток, не превосходящий заданной стоимости.

Быстрейшие многопродуктовые потоки (NP-трудные задачи).

Другие задачиДругие задачи

11

Ресурсная сеть - граф, вершинам которого приписаны неотрицательные числа qi(t), называемые ресурсами, а

ребрам (vi, vj) - неотрицательные числа rij, постоянные во

времени и называемые проводимостями (пропускными способностями); n – число вершин.

Состояние Q(t) сети в момент t – это вектор (q1(t), …, qn(t)).

Правила передачи ресурса (правила функционирования сети) учитывают следующие условия:

а) сеть замкнута, т.е. ресурсы извне не поступают;б) ресурс, отдаваемый на выход, вычитается из ресурса

вершины; ресурс, приходящий по входам, прибавляется к ресурсу вершины.

В замкнутой сети суммарный ресурс сохраняется: W = const.

W = (закон сохранения)

n

ii tq

1

)(

3. Ресурсные сети3. Ресурсные сети

12

Состояние Q(t) называется устойчивым, если Q(t) = Q(t + 1). Очевидно, что в этом случае Q(t) = Q(t + 2) = Q(t + 3) = …

Состояние Q* = (q1*, …, qn

*) называется асимптотически

достижимым из состояния Q(0), если для любого > 0 существует t такое, что для всех t > t

qi* - qi(t) < , i = 1, 2, …, n.

Состояние сети называется предельным, если оно либо устойчиво, либо асимптотически достижимо.

Ресурсная сеть называется однородной, если все проводимости равны, а правило функционирования сети – следующее:

в момент t+1 вершина vi по каждому из своих mi выходящих ребер отдает:

• r единиц ресурса, если mi r qi(t);

• qi(t)/mi в противном случае.

13

Пару ребер <(vi, vj), (vj, vi)> назовем двусторонней парой.

Ресурсную сеть, все вершины которой соединены двусторонними парами, будем называть двусторонней полной сетью (ДПС).

Сначала рассмотрим однородные ДПС (ОДПС) без петель.

Для ОДПС mi = n – 1 для всех i.

Поэтому правило функционирования переформулируем:

В момент t + 1 вершина vi на каждую из своих n – 1

выходных связей отдает:

• r единиц ресурса, если (n – 1) r qi(t) (правило1);

• qi(t)/(n – 1) в противном случае (правило 2 – отдается

весь ресурс).

14

q1 q2

q4q3

q5

15

Пример 1: n = 5, r = 2, W = 35 (начальный ресурс в одной вершине)

0 35.00 0.00 0.00 0.00 0.001 27.00 2.00 2.00 2.00 2.002 21.00 3.50 3.50 3.50 3.503 16.50 4.63 4.63 4.63 4.634 13.13 5.47 5.47 5.47 5.475 10.59 6.10 6.10 6.10 6.106 8.70 6.58 6.58 6.58 6.587 7.27 6.93 6.93 6.93 6.938 6.93 7.02 7.02 7.02 7.029 7.02 7.00 7.00 7.00 7.0010 7.00 7.00 7.00 7.00 7.0011 7.00 7.00 7.00 7.00 7.00

t

Функционирование ОДПС (строки соответствуют моментам времени)

Функционирование ОДПС (строки соответствуют моментам времени)

16

Свойство 1.

Если для некоторого t’ qi(t’) = qj(t’), то для всех t > t’ qi(t) = qj(t).

Это следует из того, что с момента t обе вершины получают и отдают одинаковое количество ресурса.

Свойство 2.

Если для некоторого t’ qi(t’) r(n – 1), то для всех t > t’ qi(t) r(n –

1).

Это следует из того, что vi в момент t отдает весь свой ресурс, а

получить от других n – 1 вершин может не более чем r(n – 1).

Свойство 3.

Если для всех i qi(t) r(n – 1), то состояние Q(t) устойчиво.

Это следует из того, что все вершины получают и отдают r(n – 1) единиц ресурса.

Три свойства ОДПСТри свойства ОДПС

17

Теорема 1. Для однородного двустороннего полного графа

без петель с числом вершин n > 2 существует порог выравнивания T = rn(n – 1), не зависящий от начального состояния сети. Иными словами,

1. Если суммарный ресурс W T, то при любом начальном состоянии сети происходит выравнивание ресурса, т.е. ее предельным состоянием является вектор

2. Если W > T, то при любом начальном состоянии сети, в котором хотя бы в двух вершинах ресурсы не равны, выравнивание не происходит.

)...,,,(n

W

n

W

n

W

18

Пример 2: n = 5, r = 2, W = 25, T = 40

0 7.00 6.00 5.00 4.00 3.001 4.50 4.75 5.00 5.25 5.502 5.13 5.06 5.00 4.94 4.883 4.97 4.98 5.00 5.02 5.034 5.01 5.00 5.00 5.00 4.995 5.00 5.00 5.00 5.00 5.006 5.00 5.00 5.00 5.00 5.007 5.00 5.00 5.00 5.00 5.008 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00

t

5

19

T = rn(n – 1)

Z+

Z-

С(t) - сумма всех ci(t) (превышений над порогом),

D(t) - сумма всех dj(t) (недостач до порога)

C(0) – начальный профицит Z+,

D(0) – начальный дефицит Z-

C(0) - D(0) = s - сальдо

20

Пример 3: n = 5, r = 2, W = 43, T = 40. Зона Z+ уменьшается: s = 3, l = 2.

0 12.00 10.00 9.00 7.00 5.00

1 11.00 9.00 8.00 7.25 7.75

2 10.75 8.75 7.75 7.94 7.81

3 10.63 8.63 7.94 7.89 7.92

4 10.56 8.56 7.95 7.96 7.96

5 10.53 8.53 7.98 7.98 7.98

6 10.52 8.52 7.99 7.99 7.99

7 10.51 8.51 7.99 7.99 7.99

8 10.50 8.50 8.00 8.00 8.00

9 10.50 8.50 8.00 8.00 8.00

10 10.50 8.50 8.00 8.00 8.00

11 10.50 8.50 8.00 8.00 8.00

21

Теорема 2.

Если W > rn(n – 1), то предельным состоянием сети является вектор

(q1 hl, …, ql hl, r(n – 1), …, r(n – 1)),

где l = k и hk = , если ck(0) ;

в противном случае l k – наибольшее целое число, такое, что cl(0) hl,

hl = , где Cl(0) = .

k

D )0(

l

sCl )0(

l

iic

1

)0(

k

D )0(

22

i

q

r (n-1)

kl nl+1 …O 1

t = j

t= t’

t = tlim

t = 0

23i

q

r(n-1)

kl nl+1 …O

1

t=tlim

Окончательное распределениеОкончательное распределение

24

Свойство эргодичностиСвойство эргодичности

Однородная сеть при W > T является неэргодической системой: предельное состояние в ней всегда зависит от начального.

Только вершины, имевшие запас ресурса в начальном распределении, могут сохранить излишек в предельном состоянии.

25

Потоки в ресурсных сетяхПотоки в ресурсных сетях

Ресурс, выходящий из вершины vi по ребру (vi, vj) в момент t,

приходит в вершину vj в момент t + 1.

Соответственно, будем считать, что этот ресурс на интервале (t, t + 1) находится на ребре (vi, vj).

Его величину назовем выходным потоком sij(t) .

Матрицей потока S(t) назовем матрицу ||sij(t)||nn.

– выходной поток из вершины vi в момент t (сумма

элементов i-й строки матрицы S(t)).

Входным потоком в вершину vj в момент t + 1

назовем сумму элементов j-го столбца S(t):

кроме того, положим

В однородных сетях с петлями все столбцы матрицы потока одинаковы.

injs

)()(1

tsts outi

n

jij

)1( ts inj

;)()1(1

n

iij

inj tsts .0)0( in

js

26

Основные понятияОсновные понятия

Зона Z–, зона Z+

Пороговое значение T

Предельное состояние

Зона Z–, зона Z+

Пороговое значение T

Предельное состояние

27

Матрицей проводимости будем называть матрицу R = ||rij||n n.

Матрица проводимостиМатрица проводимости

Свойства матрицы проводимости:

1. R – неотрицательная матрица: i, j rij 0

2. i rii > 0

3. i, j (rij > 0 rji > 0)

nnnn

n

n

rrr

rrr

rrr

R

...

............

...

...

21

22221

11211

Несимметричные сетиНесимметричные сети

28

Входная и выходная проводимостиВходная и выходная проводимости

Суммарную проводимость входных ребер вершины vi будем называть ее входной проводимостью и обозначать:

;1

n

jji

ini rr

.1

n

jij

outi rr

Суммарную проводимость выходных ребер, назовем выходной проводимостью и обозначим через:

Проводимость петли входит в обе суммы.

r3i

r1i

r2i

r4i

riii

ri1

ri2

ri4

riii

ri3

29

Входная и выходная проводимости вершины

Входная и выходная проводимости вершины

293 inr

243 outr

v1 v2 v3 v4 v5

v1 3 2 4 6 5

v2 4 5 3 2 3

v3 8 7 6 1 2

v4 1 8 9 8 8

v5 9 1 7 2 6

30

Классификация сетейКлассификация сетейРесурсная сеть называется: • однородной, если все элементы матрицы R

одинаковы: rij = r i,j, и • неоднородной в противном случае;• симметричной, если симметрична ее матрица

проводимости;• квазисимметричной, если

i: (1)

• несимметричной, если она не удовлетворяет условию квазисимметричности (1), то есть существует хотя бы одна вершина (таких вершин будет как минимум две), для которой выполнится:

outi

ini rr

0 outi

ini rr

31

Обозначим через ri разность между входной и выходной

проводимостями вершины vi:

Классификация вершин несимметричной сети


Тогда все вершины сети делятся на три вида:

• вершины-приемники, для которых ri > 0;

• вершины-источники, для которых ri < 0;

• нейтральные вершины, для которых ri = 0.

ri = out

iin

i rr

Суммарной проводимостью сети, rsum, назовем сумму проводимостей всех ее ребер:

n

i

n

jijsum rr

1 1

32

В симметричных и квазисимметричных сетях все вершины нейтральны.

Путь от нейтральной вершины к источнику, не содержащий вершин-приемников, назовем неположительным путем.

Пусть среди n вершин сети имеется l приемников, k источников, и n – l – k нейтральных вершин.

Будем считать, что приемники имеют номера от 1 до l, источники – от l + 1 до l + k, нейтральные вершины – от l + k + 1 до n.



33

Правила функционирования сетиПравила функционирования сети

Распределение ресурса в сети происходит по одному из двух правил, выбор которых зависит от величины ресурса в вершинах.

В момент t + 1 вершина vi в ребро,

соединяющее ее с вершиной vk, отдаст:

правило 1: rik единиц ресурса, если

правило 2: в противном случае.

;)( outii rtq

ikouti

i rr

tq )(

34

Ресурс вершины qi

Изменение ресурса в вершине за один такт (правило 1)


iout

ir

35

Ресурс вершины qi



outir

36

Свойства вершин-источников и нейтральных вершин

Свойства вершин-источников и нейтральных вершин

Свойство 1. В процессе функционирования несимметричной

сети ресурс в нейтральных вершинах может временно

стабилизироваться, а затем снова изменяться.

Свойство 2. Если для некоторого t' qi(t') , то для всех t > t'

qi(t) < (i > l).

Множество вершин с ресурсом qi(t), меньшим , – зона Z–(t). Из свойства 2 следует, что источники и нейтральные вершины, раз

попав в Z–, уже не смогут ее покинуть.

Поскольку для них выполняется:

inir

inir

outir

outi

ini rr

37

t v1 v2 v3 v4 v5

0 0.000 100.000 0.000 0.000 0.0001 2.000 95.000 1.000 1.000 1.0002 3.000 91.000 2.000 2.000 2.0003 3.800 87.800 2.800 2.800 2.800…18 16.406 68.598 4.999 4.999 4.99919 17.405 67.597 4.999 4.999 4.999

20 18.405 66.597 5.000 5.000 5.00021 19.404 65.596 5.000 5.000 5.00022 20.404 64.596 5.000 5.000 5.000…79 77.404 7.596 5.000 5.000 5.00080 78.404 6.596 5.000 5.000 5.00081 79.404 5.596 5.000 5.000 5.000

82 80.269 4.933 4.933 4.933 4.93383 80.873 4.782 4.782 4.782 4.782…110 82.856 4.286 4.286 4.286 4.286111 82.857 4.286 4.286 4.286 4.286

Пример 1. Временная стабилизация ресурса в нейтральных вершинах (св-во 1).W = 100, n = 5. Ресурс находится в вершине-источнике: Q(0)=(0, 100, 0,0,0).

38

Свойства вершин-источников и нейтральных вершин (i > l)

Свойства вершин-источников и нейтральных вершин (i > l)

Теорема 3. В связной несимметричной сети при

любом начальном состоянии и любом начальном

ресурсе существует такой момент времени t', начиная с которого все источники и нейтральные

вершины, из которых имеются неположительные

пути (пути к источнику, не содержащие вершин-

приемников), будут находиться в зоне Z–(t).

39

4

5

21

3

Пример 2. Нейтральная вершина остается в зоне Z+

W = 100, n = 5. Ресурс в нейтральной вершине (вершина v5), связанной только с приемником v1 (у вершины v5 нет неположительных путей)

t v1 v2 v3 v4 v5

0 0.000 0.000 0.000 0.000 100.0001 1.000 0.000 0.000 0.000 99.0002 1.200 0.200 0.200 0.200 98.2003 1.507 0.357 0.357 0.340 97.440…92 4.997 2.398 2.398 1.998 88.20893 4.997 2.398 2.398 1.999 88.20894 4.997 2.398 2.398 1.999 88.20795 4.998 2.399 2.399 1.999 88.20796 4.999 2.399 2.399 1.999 88.20697 5.000 2.399 2.399 1.999 88.205

40

Пороговое значение ресурса ТПороговое значение ресурса Т

Теорема 4. В несимметричной сети существует

пороговое значение суммарного ресурса Т, такое, что

при W Т все вершины, начиная с некоторого t', переходят в зону Z–(t); при W > T зона Z+(t) непуста для любого t.

Т единственно и не зависит от суммарного ресурса W

и его начального распределения Q(0).

Для однородных сетей выполняется равенство: Т = rsum.

Для несимметричных сетей Т < rsum.

41

При W T и t > t' все вершины сети функционируют по правилу 2:

Функционирование сети при W T Функционирование сети при W T

n

iiout

i

inn

iiout

i

i tqr

rtq

r

rtQ

11

1 )(..,.,)()1(

Q(t+1) = Q(t)R'

outn

nnout

n

nout

n

n

outn

outout

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

R

...

............

...

'

21

1

1

1

12

1

11

где

R' является стохастической матрицей.

42

Теорема 5. Для ресурсной сети, являющейся связным двусторонним графом с петлями, при W Т предельное состояние Q*

1) существует;2) единственно и не зависит от начального

распределения ресурса по вершинам, а только от суммарного количества ресурса в сети.

Предельное состояние при W T Предельное состояние при W T

43

Функционирование сети при W > T

При W > Т в несимметричных сетях излишек ресурса в предельном состоянии перетекает в некоторое множество вершин.

Это могут быть приемники или (в неполных сетях) при ряде дополнительных ограничений,- некоторые нейтральные вершины.

Однако не все приемники сети способны в предельном состоянии накопить ресурс, превышающий их входную проводимость.

44

Пример 3. Сеть с двумя приемниками (первый более «мощный»).W = 100, n = 5. Ресурс в первом приемнике.

t v1 v2 v3 v4 v5

0 100.000.000 0.000 0.000 0.0001 96.0001.000 1.000 1.000 1.0002 92.9951.876 1.710 1.710 1.710…31 83.7994.536 3.888 3.888 3.88832 83.7984.536 3.888 3.888 3.88833 83.7974.537 3.889 3.889 3.88934 83.796 4.537 3.889 3.8893.889

45

Пример 4. Сеть с двумя приемниками.W = 100, n = 5. Ресурс во втором приемнике, но все равно ресурс забирает первый.

t v1 v2 v3 v4 v5

0 0.000 100.000 0.000 0.000 0.0001 1.000 96.000 1.000 1.000 1.0002 1.995 92.876 1.710 1.710 1.7103 2.759 90.431 2.270 2.270 2.270…19 6.951 80.817 4.077 4.077 4.07720 7.193 80.574 4.077 4.077 4.07721 7.436 80.331 4.078 4.078 4.07822 7.678 80.089 4.078 4.078 4.078…331 82.678 5.089 4.078 4.078 4.078332 82.921 4.846 4.078 4.078 4.078333 83.133 4.726 4.047 4.047 4.047334 83.296 4.682 4.007 4.007 4.007335 83.420 4.646 3.978 3.978 3.978…371 83.796 4.537 3.889 3.8893.889

46

Вершину, способную в предельном состоянии остаться в зоне Z+, назовем потенциальным аттрактором.

Если приемники имеют разные входные и выходные проводимости, в сети существует единственный потенциальный аттрактор.

Классификация вершинКлассификация вершин

47

Сеть с одним аттрактором является эргодической системой.

При любом фиксированном значении суммарного ресурса W, как бы он ни был распределен по вершинам в начальном состоянии, предельное состояние существует и единственно.

Сеть с одним аттракторомСеть с одним аттрактором

48

Сеть с несколькими потенциальными аттракторами является частично эргодической системой.

При W > T, количество ресурса в нейтральных вершинах и вершинах-источниках не зависит от начального состояния, а распределение ресурса по аттракторам зависит от его начального положения.

Сеть с несколькими потенциальными аттракторами

Сеть с несколькими потенциальными аттракторами

49

Пример 5. Сеть с двумя равными приемниками (куда положили, там и останется).W = 100, n = 5. Ресурс в первом приемнике.

t v1 v2 v3 v4 v5

0 100.00 0.000 0.000 0.000 0.0001 96.000 1.000 1.000 1.000 1.0002 92.900 1.900 1.733 1.733 1.7333 90.493 2.593 2.304 2.304 2.3044 88.625 3.132 2.748 2.748 2.748…39 82.144 5.000 4.285 4.285 4.28540 82.144 5.000 4.286 4.286 4.28641 82.143 5.000 4.286

4.286 4.286

Ресурс вершины v2 стремится к значению ее выходной проводимости снизу; этот приемник не сможет перейти с правила 2 на правило 1. Таким образом, если весь ресурс в одном из потенциальных аттракторов, остальные останутся в зоне Z-

(t).

50

Пример 6. Сеть с двумя равными приемниками.W = 100, n = 5. Ресурс во втором приемнике.

t v1 v2 v3 v4 v5

0 0.000 100.00 0.000 0.000 0.0001 1.000 96.000 1.000 1.000 1.0002 1.900 92.900 1.733 1.733 1.7333 2.593 90.493 2.304 2.304 2.3044 3.132 88.625 2.748 2.748 2.748…39 5.000 82.144 4.285 4.285 4.28540 5.000 82.144 4.286 4.286 4.28641 5.000 82.143 4.286 4.286 4.286

Ресурс вершины v1 стремится к значению ее выходной проводимости снизу.

51

Пример 7. Сеть с двумя равными приемниками.W = 100, n = 5. Ресурс в первом источнике (вершина v3).

t v1 v2 v3 v4 v5

0 0.000 0.000 100.000 0.000 0.0001 2.000 1.000 95.000 1.000 1.0002 2.967 2.133 90.967 1.967 1.9673 3.741 3.069 87.708 2.741 2.741…

12 9.416 7.748 73.364 4.736 4.73613 10.153 8.274 72.100 4.736 4.73614 10.889 8.800 70.837 4.737 4.73715 11.626 9.326 69.574 4.737 4.737…

66 49.205 36.168 5.153 4.737 4.73767 49.660 36.554 4.596 4.596 4.596…

76 50.123 37.017 4.287 4.287 4.28777 50.124 37.018 4.2864.286 4.286

Оба потенциальных аттрактора переходят в Z+

(t), но набирают разное количество ресурса.

52

Пример 8. Сеть с двумя равными приемниками.W = 100, n = 5. Ресурс в нейтральной вершине (вершина v5).

t v1 v2 v3 v4 v5

0 0.000 0.000 0.000 0.000 100.0001 1.000 1.000 1.000 1.000 96.0002 1.900 1.900 1.733 1.733 92.733…14 5.966 5.966 4.498 4.498 79.07215 6.215 6.215 4.499 4.499 78.57216 6.464 6.464 4.500 4.500 78.072…162 42.964 42.964 4.500 4.500 5.071163 43.214 43.214 4.500 4.500 4.571164 43.379 43.379 4.414 4.414 4.414…171 43.569 43.569 4.287 4.287 4.287172 43.570 43.570 4.287 4.287 4.287173 43.571 43.571 4.2864.286 4.286

1

3 4

5

2

53

Критерий аттрактивности

Вершина является потенциальным аттрактором, тогда и только тогда, когда при W=T ее ресурс в предельном состоянии равен ее выходной проводимости.

Ни по матрице проводимости R, ни по стохастической матрице R' для сети произвольной топологии нельзя однозначно определить будет ли тот или иной приемник потенциальным аттрактором.

54

Пример 9. Сеть с двумя неравными приемниками.W = 100, n = 5. Ресурс в нейтральной вершине.

t v1 v2 v3 v4 v5

0 0.000 0.000 0.000 0.000 100.0001 1.000 1.000 1.000 1.000 96.0002 2.504 1.838 1.552 1.552 92.5523 3.529 2.766 2.051 2.051 89.6034 4.439 3.495 2.487 2.487 87.0915 5.222 4.123 2.855 2.855 84.945…158 6.268 84.100 3.211 3.211 3.211159 6.267 84.101 3.211 3.211 3.211160 6.267 84.102 3.210 3.210 3.210161 6.266 84.103 3.210 3.210 3.210162 6.266 84.103 3.210 3.210 3.210163 6.266 84.1043.210 3.210 3.210

В Z+(t) оказывается более «слабый» приемник, потому что он «паразитирует» на сильном.

55

Пример 10. Изменим проводимость ребра r12 на 1.W = 100, n = 5. Ресурс в нейтральной вершине.

t v1 v2 v3 v4 v5

0 0.000 0.000 0.000 0.000 100.0001 1.000 1.000 1.000 1.000 96.0002 2.528 1.743 1.576 1.576 92.5763 3.601 2.522 2.100 2.100 89.6774 4.544 3.145 2.545 2.545 87.2215 5.342 3.677 2.920 2.920 85.141…80 86.696 4.076 3.076 3.076 3.07681 86.700 4.075 3.075 3.075 3.07582 86.701 4.075 3.075 3.075 3.07583 86.703 4.074 3.074 3.074 3.07484 86.703 4.074 3.074 3.074 3.07485 86.7044.074 3.074 3.074 3.074

В Z+(t) оказывается «сильный» приемник – «слабому» уже не хватает мощности.

56

4

5

21

3

Пример 11 (совпадает с примером 1). Потенциальный аттрактор – нейтральная вершина. W = 100, n = 5. Ресурс в нейтральной вершине (вершина v5), связанной только с источником

t v1 v2 v3 v4 v5

0 0.000 0.000 0.000 0.000 100.0001 1.000 0.000 0.000 0.000 99.0002 1.200 0.200 0.200 0.200 98.2003 1.507 0.357 0.357 0.340 97.440…92 4.997 2.398 2.398 1.998 88.20893 4.997 2.398 2.398 1.999 88.20894 4.997 2.398 2.398 1.999 88.20795 4.998 2.399 2.399 1.999 88.20796 4.999 2.399 2.399 1.999 88.20697 5.000 2.399 2.399 1.999 88.205

57

Классификация потенциальных аттракторов

Из примеров видно, что потенциальные аттракторы могут быть активными и пассивными.

Активные потенциальные аттракторы получаются из вершин-приемников несимметричной сети.

Нейтральные вершины без неположительных путей в несимметричных сетях и все вершины в однородных сетях являются пассивными потенциальными аттракторами: они могут удержать ресурс, но не притянуть его.

Заметим, что в несимметричной сети необходимо существует один активный аттрактор.

58

Классификация сетей по наличию потенциальных аттракторов (W>T)

Все вершины однородной сети являются пассивными аттракторами.

Однородная сеть представляет собой неэргодическую систему.

Несимметричная сеть с одним (потенциальным) аттрактором всегда будет эргодической системой.

Несимметричная сеть с более чем одним потенциальным аттрактором является частично эргодической: координаты вектора предельного состояния для не-аттракторов не зависят, а для потенциальных аттракторов зависят от начального распределения ресурса

59

1. При любом значении W процесс распределения ресурса сходится к предельному состоянию.

2. Существует пороговое значение ресурса Т, превышение которого влечет за собой непустоту Z+.

3. При W T сеть представляет собой эргодическую систему.4. При W > T в сети существуют аттракторы, которые

стягивают на себя основную часть ресурса. 5. Потенциальные аттракторы могут быть активными и

пассивными. Активными аттракторами могут быть только вершины-приемники несимметричной сети.

Основные результаты Основные результаты

60

Модель распространения вещества на заданной акватории.Начальные данные

Модель распространения вещества на заданной акватории.Начальные данные

61

Работа моделиРабота модели

620 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

63

ПубликацииПубликации

1. О.П. КУЗНЕЦОВ. Однородные ресурсные сети I. Полные графы. // Автоматика и телемеханика, 2009, № 11, с.136-147.

2. О.П. КУЗНЕЦОВ, Л.Ю. ЖИЛЯКОВА. Двусторонние ресурсные сети – новая

потоковая модель. // Доклады Академии Наук, 2010, том 433, № 5, с. 609–612.

64

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Documents

ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕСУРСНЫЕ СЕТИ