第三讲 牛顿运动定第三讲 牛顿运动定律律

牛顿定律的应用牛顿定律的应用

一、牛顿运动定一、牛顿运动定

一切物体总是保持匀速直一切物体总是保持匀速直线运动状态或静止状态，线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这直到有外力迫使它改变这种状态为止。种状态为止。

物体的加速度跟所受外力物体的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物体的的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。向跟合外力的方向相同。F = ma F = ma

两个物体之间的作用力和两个物体之间的作用力和反作用力大小相等反作用力大小相等 ,, 方向方向相反相反 ,, 作用在同一条直线作用在同一条直线上上 ..

牛顿定律的应用牛顿定律的应用 从力与运动的关系方面分：从力与运动的关系方面分： (1)(1)        已知力求运动。已知力求运动。 (2)(2)        已知运动求力。已知运动求力。

牛顿

s

vv

t

vva

m

F tt

2

20

20 或

从解题方法方面分从解题方法方面分

(1)(1)        物体受多个互成角度的力时物体受多个互成角度的力时 ,, 用正交分解法用正交分解法分别分别沿沿 XX 轴及轴及 YY 轴列出动力学方程求解。轴列出动力学方程求解。

(2)(2)        当研究对象是两个物体的问题时，会用隔离受力当研究对象是两个物体的问题时，会用隔离受力分析的方法或综合受力分析的方法列出动力学方程求分析的方法或综合受力分析的方法列出动力学方程求解。解。

(3)(3)        对复杂物理过程对复杂物理过程 ,, 按时间顺序划分阶段的方法。按时间顺序划分阶段的方法。 (4)(4)        超重或失重问题。超重或失重问题。 (( 当物体相对运动参照物是静止的，当物体相对运动参照物是静止的，

但相对地面的参照物却做加速运动，会用通过变换参照系统的但相对地面的参照物却做加速运动，会用通过变换参照系统的办法求解，即在以地面为参照的系统里建立动力学方程求解。办法求解，即在以地面为参照的系统里建立动力学方程求解。 ))

(5)(5)        临界状态问题。临界状态问题。 (6)(6)        其它问题。其它问题。

三三 .. 典型典型例题例题

牛顿运动定律的应用牛顿运动定律的应用

例例11 一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹

簧上，如图所示。在簧上，如图所示。在 AA 点，物体开始与弹簧接触，到点，物体开始与弹簧接触，到 BB 点点时，物体速度为零，然后被弹回。下列说法中正确的是：时，物体速度为零，然后被弹回。下列说法中正确的是：

（（ AA ）物体从）物体从 AA 下降到下降到 BB 的过程中，动能不断变小。的过程中，动能不断变小。 （（ BB ）物体从）物体从 BB 点上升到点上升到 AA 的过程中，动能不断变大。的过程中，动能不断变大。 （（ CC ）物体从）物体从 AA 下降到下降到 BB ，以及从，以及从 BB 上升到上升到 AA 的过程中的过程中

，速率都是先增大，后减小。，速率都是先增大，后减小。 （（ DD ）物体在）物体在 BB 点时，所受合力为零。点时，所受合力为零。

分析 : 物体从 A 到 B 的过程，分为二个阶段，一个突变点。

加速阶段，弹力小于重力， N ＜ G ，物体所受的合力向下，但加速度数值逐渐减小，故物体作加速度值减小的加速运动，速度仍逐渐增大。

到 N=G （突变点）时，速度达到最大。

随着弹簧的继续压缩，物体进入减速阶段， N ＞ G ，物体所受的合力向上，且逐渐增大，但速度方向仍向下，故作加速度值增大的减速运动，速度逐渐减小，到 B 点速度为零，但此时向上的合力最大。

所以物体从 B 点到 A 点的过程中，先作加速度值减小的加速运动，速度逐步增大，到加速度等于零时，速度达到最大；而后随着弹力 N 的继续增大，物体作加速度值逐步增大的减速运动，速度逐渐减小，到 A 点时速度最小，但向上的加速度却最大，即受的合力最大。

解答：根据以上分析，本题的答案只有（ C ）正确。

说明：对于类似的弹簧问题，一定要谨慎地对待。本题显示物体所受的合外力大小和方向一直在变化，绝对不能想当然地认为 A 到 B过程中弹簧逐渐被压缩，逐渐增大的弹力与速度方向相反，作减速运动，而忘了还有一个不变的重力存在。

例 2 ．在一个箱子中用两条轻而不易伸缩的弹性绳 ac 和 bc 系住一

（ 1 ）箱子水平向右匀速运动；（ 2 ）箱子以加速度 a 水平向左运动；（ 3 ）箱子以加速度 a竖直向上运动。（三次运动过程中，小球

与箱子的相对位置保持不变）

个质量为 的小球，如图所示，求下列情况时两绳张力 、 的大小：m T Ta b

分析：小球 m 始终受 3 个力：竖直向下的重力 mg 、水平向右的bc

 态。

绳张力 、斜向左上方的 绳张力 。三力的合力决定小球的运动状T ac Tb a

将 沿水平、竖直两个方向正交分解得Ta

T T

T Tax a

ay a

· θ

· θ

cos

sin

解：（ 1 ） m球处于平衡状态，即

②

①

baax

aay

TTT

mgTT

cos

sin

由两式解得

ctgmgT

mgT

b

a

sin

（ 2 ） m球水平合力提供向左加速运动的动力，即

③，

③θ

，，

maTTTTmaF

mgTmgTTF

babaxx

aaayy

cos

sinsin0

由此得 · θ

即 · θ ④

T T ma T ma

T mg mab ax a

b

cos

cot

（ 3 ） m球竖直向上加速运动时，由竖直方向的合力提供产生加速度的动力，即

F ma T mg ma

T mg ma

Tmg ma

y ay

a

a

，

· θ

θ⑤

sin

sin

F T T

T T mg ma

x ax b

b a

0，

· θ · θ ⑥cos cot

和θ

、θ

绳的张力分别为在题设三种情况下，sinsin

acmgmg

答：

mg mabc mg mg ma mg

sincot cot (

θ； 绳的张力分别为 · θ 、 · θ 和

ma) cot· θ 。

说明： 1．在物体受多个力时，正交分解法是研究牛顿动力学问题的最基本的方法。正交坐标轴通常取三种：水平 x 轴与竖直 y 轴，斜面 x 轴与斜面垂线方向的 y 轴，半径方向的 x 轴与切线方向的 y轴；然后，沿 、 轴分别列牛顿方程，即 ， 。x y F ma F max x y y

2．由①、③两式以及②、④两式对应比较可见，当 m 水平向左加速运动时， ac 绳张力不变，而 bc 绳张力变小；即 bc 绳的张紧程度有所减小（有一个“可以忽略”的回缩）。由①、⑤两式以及②、⑥两式对应比较可见，当 m竖直向上加速运动时， ac 绳与 bc 绳的张力都相应地增大了一个比例，即两根弹性绳的张紧程度都有所增大（有一个“可以”忽略 的进一步伸长）。但是，由于两根弹性绳的劲度系数 、 都k ka b

相当大，因此形变量的变化都极小，称为“不易伸缩”。

3．由①、⑤两式对比以及②、⑥两式对比可以看出，只要把①、②两式中的 g 改成（ g+a ）即为⑤、⑥两式。这表示：在竖直方向有加速度 a 的系统内，用“等效重力” G＇ =mg＇ =m （ g+a ）的观点处理超重（ a ＞ 0 ）或失重（ a ＜ 0 ）状态下的动力学（以及运动学）问题时，可把加速状态下的非惯性系统的动力学问题当作超重或失重状态下的“惯性系统”中的“静力学”问题（即“平衡状态”下“合力”为零）来处理，其效果完全相同。

例例 33..AA 、、 BB 两物体的质量分别为两物体的质量分别为 mmAA=2kg=2kg ，， mmBB==3kg3kg ，它们之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为，它们之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为 ffmm=12N=12N ，将它们叠放在光滑水平面上，如图所示，，将它们叠放在光滑水平面上，如图所示，在物体在物体 AA 上施加一水平拉力上施加一水平拉力 FF ＝＝ 15N15N ，则，则 AA 、、 BB 的的加速度各为多大？加速度各为多大？

分析：从题设条件看，水平拉力大于 B 对 A 的最大静摩擦力，所以 A 、 B可能发生相对滑动，根据牛顿第二定律采用隔离法，可分别求得 A 、 B 加速度

a A＝ ＝ ＝

＝ ＝ ＝

F f

mm s m s

af

mm s m s

m

A

Bm

B

15 12

215

12

34

2 2

2 2

/ . /

/ /

从结果看，物体 B 的加速度竟然大于物体 A 的加速度，这显然是不合理的．原来 A 、 B 之间是否产生相对滑动，不能根据 是否大于 来判断 只有当 物体不动时，才可以这样判F f ( Bm

力 ，然后再将 与 比较，当 ＞ 时， 、 有相对滑动，

＜ 时， 、 保持相对静止，因此解题的关键是求出临界

条件 ．

F F F F F A B

F F A B

F

0 0 0

0

0

断 ) ，而应该先求出 A 、 B刚好发生相对滑动时的临界水平拉

解：由于物体 B 的加速度是由静摩擦力产生的，所以加

速度的最大值由最大静摩擦力决定， ＝

＝

a =12

3m / s

4m / s

2

2

f

mm

B

A 、 B刚要发生相对滑动时， A 、 B 间恰好为最大静摩擦力，这时 、 的加速度相同恰为 ，对 整体而言，这

个加速度是由 提供的，利用牛顿第二定律可求出临界水平

A B a AB

Fm

0

拉力 ， ＝ ＋ ＝ ＋ × ＝ ，根据题意

当 ＝ 时，由于 ＜ ，所以 、 仍保持相对静止，但这

时它们之间的加速度应小于 ，故由牛顿第二定律求出

F F (m m )a (2 3) 4N 20N

F 15N F F A B

4m / s

0 0 A B m

0

2

a 3m / s2＝ ＝ ＝F

m mm s

A B 15

2 32/

A 、 B 的共同加速度

说明：在许多情况中，当研究对象的外部或内部条件超过某一临界值时，它的运动状态将发生“突变”，这个临界值就是临界条件，而题目往往不会直接告诉你物体处于何种状态．解决这类问题的方法一般先是求出某一物理量的临界值，再将题设条件和临界值进行比较，从而判断出物体所处的状态，再运用相应的物理规律解决问题．

例例 44 ．倾角为．倾角为 θθ 的斜面体上，用长为的斜面体上，用长为 ll 的细绳吊的细绳吊着一个质量为着一个质量为 mm 的小球，不计摩擦．试求斜面体以的小球，不计摩擦．试求斜面体以加速度加速度 aa 向右做匀加速度直线运动时，绳中的张力．向右做匀加速度直线运动时，绳中的张力．

分析：不难看出，当斜面体静止不动时，小球的受力情况，如图 (1) 所示．当斜面体向右做匀加速直线运动的加速度大于某一临界值时，小球将离开斜面．为此，需首先求出加速度的这一临界值．采用隔离体解题法．选取小球作为

研究对象，孤立它进行受力情况分析，显然，上述临界状态的实质是小球对斜面体的压力为零．

解：选取直角坐标系，设当斜面体对小球的支持力 N＝0 a F

ma F 00 x

x y

时，斜面体向右运动的加速度为 Σ，据牛顿第二定律

＝ Σ， ＝ ，建立方程有

Tsin mg 0 Tcos ma0θ － ＝ ， θ ＝ ．

所以， ＝ θ ．a gcot0

，支持力时，存有斜面对小球的＜当 Naa 0

选择 x 轴与斜面平行 y 轴与斜面垂直的直角坐标系

T-mgsinθ=ma cos ，

mgcosθ－ N＝ ma sinθ．

解得此种情况下绳子的拉力

T＝ mgsinθ＋ macosθ．

此时，斜面体给小球的支持力θ．－＝ masinmgcosN

据牛顿第二定律得Tcosα－ mg＝ 0 ，

Tsinα＝ ma．联立求解，得绳子的张力

当 ≥ 时，对小球的受力情况分析的结果可画出图a a (2)0

T＝ ．m g a2 2

力学中的许多问题，存在着临界情况，正确地找寻这些临界情况给出的隐含条件是十分重要的．在本题中，认定隐含条件为 N＝ 0 ，就可借此建立方程求解．

例例 55 ．如图．如图 (( 甲甲 )) 所示，一根质量可以忽略不计的轻所示，一根质量可以忽略不计的轻弹簧，劲度系数为弹簧，劲度系数为 kk ，下面悬挂一个质量为，下面悬挂一个质量为 mm 的砝码的砝码AA ，手拿一块质量为，手拿一块质量为 MM 的木板的木板 BB ，用木板，用木板 BB 托住托住 AA 往往上压缩弹簧，如图上压缩弹簧，如图 ((乙乙 )) 所示．此时如果突然撤去木板所示．此时如果突然撤去木板BB ，则，则 AA 向下运动的加速度为向下运动的加速度为 a(aa(a ＞＞ g)g) ，现用手控制，现用手控制使使 BB 以加速度以加速度 a/3a/3 向下作匀加速直线运动．向下作匀加速直线运动．

(1)(1) 求砝码求砝码 AA 作匀加速直线运动的时间．作匀加速直线运动的时间． (2)(2) 求出这段运动过程的起始和终止时刻手对木板求出这段运动过程的起始和终止时刻手对木板 BB

的作用力的表达式，并说明已知的各物理量间满足怎的作用力的表达式，并说明已知的各物理量间满足怎样的关系，上述两个时刻手对木板的作用力的方向相样的关系，上述两个时刻手对木板的作用力的方向相反．反．

分析： B托住 A 使弹簧被压缩，撤去 B瞬间，因弹簧弹力F来不及改变，弹力 F 和物体重力方向都向下，因而产生向下加速度 ．当用手控制 向下以 作匀加速运动时，能

维持 ， 以 作匀加速运动的时间对应着 对 支持力 ≥

．

a B a

B A a B A N

0

1

31

3

解 (1)设在匀变速运动阶段，弹簧压缩量在起始时刻为x x A kx mg ma0 1 0，终止时刻为 ，以 为对象，起始时刻 ＋ ＝ ，

x0＝ ． ①m a g

k

( )得

终止时刻， B 对 A支持力 N＝ 0 ，此刻有

kx mg m a1＋ ＝ · ，1

3

x1＝ ． ②m

ag

k3

从 x0 到 x1 ，物体作匀加速运动，需要的时间设为 t ，则

t＝ ．2

3

20 1( )x xa

m

k

(2) 分析 A ， B起始时刻受力： A 受重力、弹簧弹力及 B对 的支持力 ； 受重力、 对 的压力 及手对 作

用力 ，设 向上，有

′A N B A B N B

F F1 1

1 1

对于 ： ＋ － ＝ ， ③

对于 ： ＋ － ＝ ， ④

A mg kx N ma / 3

B Mg N F Ma / 30 1

1 1

③④ ①解 并由 式，因 ＝ ，得′N N1 1

⑤．＝ ma3

2

3

agMF1

，有的作用力对受两个力，即重力与手终止时刻 2FBB

Mg F Ma / 32－ ＝ ，

解得 ＝ ． ⑥F M g1

32

a

，θ，劈面光滑，倾角为和别为两个劈形物块的质量分 21 mm6例 ．

。现用水平恒力μ和μ间的动摩擦因数分别为两物块与水平支承面之 21

F推动 ，使两物块向右运动，如图所示。试求：m1

（ ）保持 、 无相对滑动时，系统的最大加速度 ；1 m m a1 2 max

（ ）此时 对 的压力 ；2 m m p1 2

（ ）此时对 的推力 。3 m F1

取水平、竖直的正交坐标轴分解 p 及 p＇。由于两劈块在竖直

分析：用隔离法，分别以 、 为研究对象。 受重力 、地m m m G1 2 1 1

面支持力 、水平推动 、 对 的压力 以及地面摩擦力 ； 受N F m m p f m1 2 1 2

重力、地面支持力、对的压力以及地面摩擦力，分别如 GNmmpf 22122

方向均无运动，故 。当推力 逐渐增大时， 和 的共同加F m my 0 1 2F

速度 也随之增大；当 达到 时， 在与 一起向右加速运动的同a a a m mm 1 2

时将有沿 的光滑劈面向上滑动的趋势，此时 “与地面之间成 若m m2 1

”即若离 状态，此时 ， 。N1 0 01f

图所示。

解：由 的受力分析图可得m2

p p p p

N m g p

f N m g p

x y

· θ ， · θ

· θ

μ · μ · · θ

sin cos

cos

cos

2 2

2 2 2 2 2

F p f m a

p m g m a

x x

2 2 2

2 2 2 2sin cosθ μ θ μ ①

由 的受力分析图可得m1

p p p px y· θ ， · θsin cos

m y N p G a al y m在 方向所受合力应为零，即 。当 为 时， ，1 1 N = 01

因而 ，即p y = G1

p m g

pm g

p

· θ

θ②

cos

cos

1

1

②式代入①式得

m gm g m a

am

mg

m1

2 2 2 2

1

22 2

cossin cos

tanmax

θθ μ θ μ

θ μ μ ③

代入上式即得及将 maxap

F m gm

m

1

1

221 · θ μ ④tan

F- p/ x =m1 amax

F-p/sinθ=m1amax

答：上列②、③、④三式即为本题答案。

“已知条件”，如果不能将这个隐含条件找出来，问题就无法顺利解决。能否迅速找出问题中的隐含条件常常是解题的关键，也是分析能力高低的一个重要标志。

说明：1 N = 01．当系统加速度 时， 是本题所隐含的一个a a max

2．在 时， 虽然不再直接压在地面上，但由于 驮在a a m m m max 1 1 2

的背上，通过 使 对地面的压力 。p m g m m m gy 1 2 1 2N = G + p2 2 y

但是，此时系统所受地面摩擦力却不等于 μ μ μ而是1 1 2 2 2m g m g( )m m g1 2 。

例 7．一个倾角为 θ 、质量为 M 的斜劈静止在水平地面上，一个质量为 m 的滑块正沿斜劈的斜面以加速度 a 向下滑动，如图（ 1 ）所示。

和方向。

试求斜劈 所受地面支持力 的大小以及 所受地面静摩擦力 的大小M N M fM

M 之间的相互作用弹力。与为力，接触面之间的滑动摩擦与为）中，）。图（图（ mNmf mm M45

mafmgF

NmgF

mmx

mmy

θ·

θ

sin

0cos

解：隔离 m 、 M ，对两个物体分别画受力图，可得图（ 4 ）和

分析：本题是由 M 、 m组成的连结体，可以用隔离法对 M和 m 分别进行研究。

对 m 的重力正交分解后得

由上两式可得

②θ

①θ·

mamgf

mgN

m

m

sin

cos

正交分解，可得和的正交坐标轴，对在图中，取水平、竖直 mm fN

θ·θ，·

θ·θ，·

sincos

cossin

mmymmx

mmymmx

ffff

NNNN

0mxmxMx NffF

③θ·

θ·θ·θ·θ·

θ·θ·

cos

cossinsincos

cossin

ma

mamgmg

fNfNf mmmxmxM

即

由牛顿定律可得

答：斜劈 M 所受地面支持力的大小为（ M+m ） g- masinθ；所受地面静摩擦力方向向左，其大小为 macosθ 。

0 MgfNNF mymyy

Mgmamgmg

MgfN

MgfNN

mm

mymy

θ·θθ·θ

θ·θ·

sinsincoscos

sincos

mg ma Mg

M m g ma

cos sin sin

sin

2 2θ θ · θ

· θ ④

即

是如何通过所受的静摩擦力出，用隔离法可以清楚地看 MfM:说明

所受地面支持的；也可说明产生水平分加速度使滑块以及 Ma)( xmNf mxmx

的。产生竖直分加速度）使（以及、是怎样通过力 ymymy afNmgN m

例 8．如图所示，质量 M=0.2kg 的长木板静止在水平面上，长木板

后静止下来的过程中，滑块滑行的距离是多少（以地球为参考系

与水平面间的动摩擦因 μ数 。现有一质量也为 的滑块以2 = 0.1 0.2kg v0

= 1.2 m s的速度滑上长木板的左端，小滑块与长木板间的动摩擦因数μ 。滑块最终没有滑离长木板，求滑块在开始滑上长木板到最1 = 0.4

g = 10m / s2）？

分析：开始滑块做减速运动，木板做加速运动，滑块受到的摩擦力是滑动摩擦力；当滑块与木板速度达到相同之后，滑块与木板一起做减速运动，木板对滑块的摩擦力是静摩擦力。在解答此问题时，不但要做隔离受力分析，还要对物理过程分阶段进行研究。

解答：滑块和长木板的受力情况如图所示。f Mg N

a f M m s

1 1

1 12

0 4 0 2 10 0 8

4

μ . . .

/ /即滑块先以 的加速度作匀减速运动。对长木板而言，假设a = 4m / s1

2

f2是滑动摩擦力，则

f N Mg N

f N f

af f

Mm s

2 2 2 2

1 2

21 2 2

2 0 4

0 8

2

μ μ

＇ ＞ ，故长木板作加速运动，

＇

.

.

/

滑块作减速运动，长木板作加速运动，当两者速度相等时，两者无相对

tv

a as

v v a t m s

10

1 2

1 2 2 1

12

4 20 2

0 4

..

. /故 。

运动，相互间的滑动摩擦力消失，此时有 ， ，且v v a t v a t1 0 1 1 2 2 1 v v v a t a t1 2 0 1 1 2 1 ，即 。

减速运动，滑块也将受到长木板对它的向左的静摩擦力而一起作匀减速运动，以它们整体为研究对象，有

当两者速度相等后，由于长木板受到地面的摩擦力 作用而作匀f2

f Ma a g m s2 222 1 , /μ

的匀减速运动，而后以，未速为作初速为中，滑块先以加速度 101 vva

加速度 作初速为 的匀减速运动直至静止，所以滑块滑行的总距离a v1 s

ma

vt

vvs 24.0

12

4.02.0

2

4.02.1

2

0

2

221

110

为

滑块和长木块以 a 加速度作匀减速运动直到静止。在整个运动过程

说明：本题看似熟悉，实际上暗中设置了障碍，滑块在长木板上的运动分成二个阶段，这二过程的受力情况是要改变的，必须边分析，边求解，尤其要注意滑动摩擦力的产生条件：互相挤压的物体之间要有相对运动。

例例 99．一平板车，质量．一平板车，质量 MM ＝＝ 100kg100kg，停在水平路面上，，停在水平路面上，车身的平板离地面高车身的平板离地面高 hh ＝＝ 1.25m1.25m ，一质量，一质量 mm＝＝ 50kg50kg 的的小物块置于车的平板上，它到尾端的距离小物块置于车的平板上，它到尾端的距离 bb ＝＝ 1.00m1.00m ，，与车板间的动摩擦因数与车板间的动摩擦因数 μμ＝＝ 0.200.20，如图所示．今对平板，如图所示．今对平板车施加一个水平方向的恒力，使车向前行驶．结果物块车施加一个水平方向的恒力，使车向前行驶．结果物块从车板上滑落，物块刚离开车板的时刻，车向前行驶了从车板上滑落，物块刚离开车板的时刻，车向前行驶了距离距离 ss00=2.0m=2.0m ，求物块落地时落地点到车尾的距离，求物块落地时落地点到车尾的距离 ss ．．

分析： F 作用在车上，因物块从车板上滑落，则车与物块间有相对滑动．从车开始运动到车与物块脱离的过程中，车与物块分别做匀加速运动．物块脱离车后作平抛运动，而车仍作加速度改变了的匀加速运动．

对车：

解：设物块在车上滑动时车的加速度为 ，到物块滑落a1

时时间为 ，则有：t1

F mg Ma

s

1

0

μ－ ＝ ， ①

＝ ． ②1

2 1 12a t

μ对物块；因 ＝ ，′mg ma1

④．－

③，＝μ＝

′

′

2110

21

2

1s

2m/sg

tab

a

代入①得

2/1

0

01

1

1

0

0 /4 smabs

sa

a

a

bs

s

，得②④由 有

′

F mg Ma 500N1μ＝ ＋ ＝ ．

以 ②代入 得a1

t = 1s1＝ ．2 0

1

s

a

物块脱离车时，物块速度 ＝ ＝ ，车速为 ＝

＝ ．

′v 2m / s v a t

4m / s0 1 1 1a t1 1

到车尾距离为

物块滑落后做平抛运动，设落地时间为 ，则t 2

t 0.5s2＝ ＝ ． ⑤2h

g

车在物块脱离后的加速度 ＝ ＝ ．物块落地点a 5m /2 S2

F

M

s v t a t v t 1.625m1 2 2 22

0 2＝ ＋ － ＝ ．1

2

例例 1010．一列总质量为．一列总质量为 MM的火车，其最后一节车的火车，其最后一节车厢质量为厢质量为 mm ，若，若 mm 从匀速前进的机车中脱离出来，从匀速前进的机车中脱离出来，运动了长度为运动了长度为 SS的一段路程停下来，如果机车的牵的一段路程停下来，如果机车的牵引力不变，且每一节车厢所受的摩擦力正比于其重量引力不变，且每一节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关，问脱开车厢停止时，它距前进的列车而与速度无关，问脱开车厢停止时，它距前进的列车后端多远？这时机车的速度为多大？后端多远？这时机车的速度为多大？

分析：机车和车厢脱钩后的运动示意图如图所示，假设车厢和机车在 A 点脱钩，在 B 点停下，这时机车运动至 C 点，脱钩后受阻力作用车厢做匀减速运动，机车牵引力不变，做匀加速运动，我们用牛顿运动定律和运动学公式很容易求出车厢停止时两者的距离．

F ＝ kMg ．

解：设火车初速为 ，脱钩后，车厢停止运动，机车速v0

度为 ．未脱钩时，火车匀速运动，牵引力与火车阻力相同v1

, kga1 ＝＝动，加速度脱钩后车厢做匀减速运m

kmg

2kgss2a120 ＝＝v

车厢从脱钩至停止 ＝ ＝ ＝ ＝

钩后机车的加速度 ＝

S v a t t

a

0 1

2

v

a

v

kg

v

kg

F k M m

M m

kmg

M m

02

1

02

0

2 2

( )

从脱钩至车厢停止，机车通过的距离

,2

1

)(2

1

2

1 20

20

2

200

02

20 kg

v

mM

m

kg

v

kg

v

mM

kmg

kg

vvtatvL

机车和车厢的距离

△ ＝ － ＝ ＝

＝ ＝

S L Sv

kg

m

M m

v

kg

v

kg

v

kg

m

M m

v

kg

v

kg

m

M m

M

M mS

02

02

02

02

02

02

1

2 2 2

1

2

21

( )

车厢停止时，机车速度，

v v a t v1 0 2 0＝ ＋ ＝ ＋ · ＝

＝ ＝

kmg

M m

v

kgv

m

M mv

vm

M m

M

M mkgS

00 0

0 1 2

读者注意：本题利用变换参照物的方法解题更为简单，以车

厢为参照物，机车加速度为 ＝ ＋ ·′a kg2

kmg

M mkg

M

M m

SmM

M

kg

v

mM

M

kg

v

mM

Mkgt

＝＝

·＝·＝机车离开车厢的距离为 ′

20

2

202

2

2

1

)(2

1a

2

1S

说明：解决力学问题，常用两把钥匙，一把钥匙是牛顿运动定律，一把钥匙是能量和动量守恒．本题中，在火车运动过程中，虽然受到阻力作用，而且发生了脱钩，但就整个系统而言，牵引力始终不变为 F＝ kMg ，脱钩后机车的阻力 kMg,fkmgfm)gk(Mf ＝，系统的阻力＝，车厢的阻力－＝ 总

′

Mv (M m)v m 00 1＝ － ＋ × ，

故系统的合外力为零，符合动量守恒的条件，设火车在 A点时为第一状态，在 B 点和 C 点时为第二状态，则对系统

所以 ＝ ①v1

M

M mv

0

从车厢脱钩到停止，对车厢，根据动能定理 ＝

所以 ＝ ②

② ①将 代入 ＝ ③

kmgS mv

v

v

02

0

1

1

2

2

2

kgS

M

M mkgS

对机车，由动能定理 ＝ － ＝

④

kmgL (M m)v121

2

1

21

2

02

12

02

( )

( )( )

M m v

M m v v

③ ④将 代入 LM m

M mS

2

所以两者距离 △ S L SM m

M mS S

M

M mS

2

四四 .. 反馈反馈练习练习

牛顿运动定律牛顿运动定律

1．质量为 m 的物体与水平支持面间的摩擦因数为 μ ，外力F可以使物体沿水平面向右作匀速直线运动，如图所示。则物体受的摩擦力（ ）。

（ A ） μmg （ B ） μ （ mg+Fsinθ ）

（ C ） μ （ mg-Fsinθ ）（ D ） Fcosθ

答案： CD

2．如图所示， A ， B 两物体叠放在水平面 C 上，水平力 F作用在物体 B 上且 A 和 B 以相同的速度作匀速直线运动，由此可知， A ， B

（ ）

答案： BD

μ间的动摩擦因数 和 ， μ间的动摩擦因数 有可能是：1 2B C

（ μ） μ，

（ μ） μ，

（ μ） μ，

A

B

C

1 2

1 2

1 2

0 0

0 0

0 0

（ μ） μ，D 1 20 0

答案： C

速度为（ ）

3 1．某力作用于甲物体产生的加速度为 ，此力作用于乙物体产a

生的加速度为 ，若将甲、乙两物体粘在一起仍受此力作用，产生加a 2

（ ） （ ）

（ ）·

（ ）·

A B

C D

a a a a

a a

a a

a a

a a

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2

答案： D

4．如图所示，某长方形板状物体被锯成 A ， B ， C 三块，然后再

保持矩形整体沿力的方向平动，在运动过程中， C 对 A 作用的摩擦力大小为 （ ）

（ A ） 10N （ B ） 2.17N（ C ） 2.5N （ D ） 1.25N

拼在一起，放在光滑的水平面上，各块质量分别为 ，M = M = 1kgA B

M = 2kg 10N F C A B CC ，现以 的水平推力 沿对称轴方向推 ，使 ， ， 三块

答案： C

5．如图所示，一箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在上面套着一个环，箱和杆的质量为 M ，圆环的质量为 m ，当环与杆之间的摩擦力的大小为 f 时，环沿杆加速下滑，则此时箱子对地面的压力大小是（ ）

（ A ） Mg （ B ）（ M+m ） g（ C ） Mg+f（ D ）（ M+m ） g-f

答案： B

6．如图所示，一物块从高度为 H 相等，倾角分别为 30° ，45° ， 60° 的不同光滑斜面上，由静止开始下滑，物体滑到底端时所获得的速度大小和所占用时间相比较，下列关系中正确的是（ ）。

（ ） ＞ ， ＞

（ ） ， ＞ ＞

（ ） ＞ ＞ ， ＜ ＜

A

B

C

v v v t t t

v v v t t t

v v v t t t

a b c a b c

a b c a b c

a b c a b c

.

（ ） ＜ ＜ ， ＞ ＞D v v v t t ta b c a b c

平盘，盘中有一物体质量为 m 。当盘静止时，弹簧伸长了L ，今向下拉盘使弹簧再伸长 ΔL 后停止，然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度内，则刚松手时盘对物体的支持力等于（ ） 

（ ） （ ）

（ ） （ ）

A B

C D

1 10

0

L

Lm m g

L

Lmg

L

Lmg

L

Lm m g

7 m0．如图所示，一根轻质量弹簧上端固定，下端挂上质量为 的

答案： B

8．某同学坐在前进中的列车车厢内，观察水杯中水面变化，得出下列结论，正确的是（ ）

（ A ）水面向右倾斜，可推知列车在加速前进

（ B ）水面向前倾斜，可推知列车在减速前进

（ C ）水面向左倾斜，可推知列车向右转弯

（ D ）水面保持水平状态，可知列车在匀速直线运动

答案： ABCD

滑水平面上，系统内一切摩擦不计，绳重力不计，要求三个物体无相对运动，则水平推力 F （ ）

9 m m m1 2 3．如图所示，三个物体的质量分别为 ， ， ，系统置于光

 

（ ）等于

（ ）等于

（ ）等于

A m g

B m + m + mm

mg

C m + mm

mg

2

1 2 31

2

2 31

2

（ ）等于D m m mm

mg1 2 3

2

1

答案： D

答案： C

10．如图所示，重为 G 的小球用细绳吊起，搁在一个光滑的大球面上，绳的另一端通过定滑轮 A 由人用力拉住。设 A点在大球球心 O 点的正上方，当人以力 F缓慢地拉绳时，拉力 F 和大球对小球的支持力 N 的变化是：

 （ A ） F 变大， N 变大。（ B ） F 变大， N 变小。（ C ） F 变小， N 不变。（ D ） F 变大， N 不变。

反馈练习答案：

1 、 CD 2 、 BD 3 、 C 4 、 D 5 、 C

6 、 B 7 、 B 8 、 ABCD 9 、 D 10 、 C

五五 ..课后练课后练习习

牛顿运动定律牛顿运动定律

1．质量为 2千克的木箱静止在水平地面上，在水平恒力 F 的作用下运动， 4秒末它的速度达到 4米 /秒，此时将力 F撤去，又经过 6秒木箱停止运动。若地面与木箱之间的摩擦因数恒定，求力 F 的大小。

示），若保持斜面长度不变，将斜面倾角变为 60° 时，则该物体从斜面顶端由静止滑到底端所需的时间为多少？

2 30 5 3．某物体从倾角 ° 、长为 米的斜面顶端匀速滑下（如图所

3．如图所示，质量为 m 的物体放在水平桌面上，物体与桌面的滑动摩擦因数为 μ ，对物体施加一个与水平方向成θ 角的力 F 。（ 1 ）求物体在水平面上运动时力 F 的取值范围。（ 2 ）力 F 一定， θ 角取什么值时，物体在水平面上运动的加速度最大？（ 3 ）求物体在水平面上运动所获得的最大加速度的数值。

4．一物体在斜面上以一定速率沿斜面向上运动，斜面的倾角 θ可在 0°～ 90° 之间变化。设物体所能达到的最大位移 x与斜面倾角之间的关系如图所示，问 θ 为多大时， x 有最小值，这个最小值是多少？

5．如图所示，质量 M=1千克的球穿在斜杆上，斜杆与水平方

α向成 ° 角，球与杆之间的摩擦因数为 ，球受到竖直向上= 301

2 3

的拉力 牛，试计算球沿杆上滑的加速度（ 取 米 秒 ）。F = 20 g 10 / 2

6．如图所示，小车车厢的内壁挂着一个光滑的小球，球的质量为的加速度沿水平方向向左运动时，绳子对小球的拉力 T 与小球对厢壁的压力 N各等于多少？（ 2 ）要使小球对厢壁的压力为零，小车的加速度至少要多大？

20 30 g 10 1 42 2千克，悬线与厢壁成 ° 取 米 秒 。（ ）当小车以 米 秒

7．如图所示，物块 A 、 B 用仅能承受 10 牛拉力的轻细绳相连，置

物块 A 或 B, 使物块尽快运动起来，那么为了不致使细绳被拉断，最大的水平拉力是多大？是拉 A 还是拉 B？

于水平桌面上， 的质量 千克，与桌面的滑动摩 μ擦因数 ，A mA A= 2 = 0.4

B mB的质量 千克 与桌面的滑动摩擦因数μ 。今想用水平力拉4 , B = 0.1

8．如图所示，质量 M=400克的劈形木块 B 上叠放一木块 A ， A的质量 m=200克。 A 、 B 一起放在斜面上，斜面倾角 θ=37° 。 B的上表面呈水平， B 与斜面之间及 B 与 A 之间的摩擦因数均为 μ=0.2 。当 B 受到一个 F=5.76 牛的沿斜面向上的作用力 F 时， A 相对 B静止，并一起沿斜面向上运动。求：（ 1 ） B 的加速度大小；（ 2 ） A 受到的摩擦力及A B sin37 = 0.6 cos37 = 0.8 10 2对 的压力大小（ ° ， ° ，取 米 秒 ）。

如图所示。当用某一水平力拉 B 时， A 、 B 两物恰好一起以加速度 a 作匀加速运动，那么若加一水平力拉物 A ，问拉力至少多大时物 A才会从物 B 上滑下来？

9 A BA B．质量分别为 和 的两物体 、 置放在水平光滑桌面上，m m

10．质量为 m 的物体在倾角为 θ 的斜劈上恰能匀速滑下，斜劈与地面之间因有摩擦而无相对滑动，如图所示，今用一沿斜面向上的力拉物体，使它匀速上滑，求地面对斜劈的静摩擦力的大小和方向。

11．一辆卡车后面用细绳挂一个物体，其质量为 m ，物体与地面间

运动时，绳的拉力为 5mg/6 ，则物体对地面的压力多大？（ 2 ）当卡车

的摩擦不计，如图所示。问：（ ）当卡车带物体以加速度 加速1 a =g

21

以加速度 加速运动时，绳的拉力多少？a = g ]2

12．如图所示，容器置于倾角为 θ 的光滑的斜面上时恰好处于水平位置，容器顶部有竖直侧壁，有一小球与竖直侧壁恰好接触，并从静止一起下滑，容器质量为 M ，小球质量为 m ，所有摩擦均可不计。求：（ 1 ）容器对斜面的压力；（ 2 ）小球对容器侧壁压力的大小。

13．质量为 M 、倾角为 α 的三角形木块置于水平粗糙的地面上，斜面上有一质量为 m 的小木块以加速度 a （ a ＜gsinα ＞沿斜面下滑，如图所示，若要三角形木块保持静止，则三角形木块与地面间摩擦因数至少要多大？

不动，问在斜面体上应作用一个多大的水平力？方向如何？

14 A B A B．如图所示装置，物体 、 质量为 、 α，倾角 已知，且m m

m sin m AA Bα ＞ ，不计一切摩擦，要求在物体 沿斜面下滑过程中斜面体

15．升降机以加速度 a竖直向上作匀加速运动，机内有一倾角为 θ 、长为 L 的斜面。有一物体在斜面顶端，相对斜面是静止的，问释放后该物体经多少时间滑到斜面的底端？物体与斜面间的摩擦因数为 μ 。

16．内装有某种液体的粗细均匀的 U形管放在水平地面上，如图所作匀加速向左运动时，问 A管和 B管中液柱的高度分别为多大？ g取 10

示， 厘米， 厘米，当此 形管在水平地面上以 米 秒L = 10 h = 8 U a = 4 2

米 秒 。2

17．如图所示，质量为 M=2.6千克的斜面块倾角为 37° ，放在水

下滑，在滑动过程中要使斜面块与桌面间不发生滑动，则斜面块与桌面间的最

平桌面上，一滑块质量 千克，从斜面顶以 米 秒 的加速度m = 2 a = 5 2

小静摩擦因数应为多大？ 取 米 秒 。g 10 2

课后练习答案：课后练习答案：1． 牛。

10

32． 秒。3

3 1

2

3

．（ ）μ

θ μ θ；

（ θ） μ ；

（ ）μ

μ 。

mgMg

arctg

am

F g

cos sin

max

1 2

4． 米。5 3 5 2.5 2． 米 秒 。

6 1 230.94 35.47 2 5.77．（ ） 牛， 牛；（ ） 米 秒 。2

7 F = 21 Amax． 牛，水平外力作用在 上。

8 1 2 2 0.32 2.24．（ ） 米 秒 ；（ ） 牛， 牛。2

。． aB

A

m

m=F9

10． f=mgsin2θ ，方向向左。

11 1 mg 2 mg．（ ） ；（ ） 。1

32

12 1 M + m gcos 2 mgsin2．（ ） θ ；（ ） θ 。1

2

13 μ ≥．αα

a

g a

cos

sin2

14 F =

m m sin - mA A B．α α

，方向向左。g

m mA B

cos

15 t =2L

g + a．

θ μ θ。

sin cos

16 h = 6 = 10A B． 厘米， 厘米。h

17 = 0.2minμ． 。