例 . 非均匀分布立体的质量

　　设有空间立体 , 当的质量是均匀分布时 , 则的质量 M= 的体密度 × 的体积 .

　　若的质量不是均匀分布的 , 则不能上述方式算质量 M .

　　设空间立体 . 其质量非均匀分布 , 体密度 (x , y , z) 连续 , 求的质量 M.

第二节　三重积分一、三重积分的概念及性质

(i) 将分成 n 个小立体 1, 2,…, n ,

记 Vi 表示的 i 的体积 , i = 1, 2, …, n.

　　由于 (x , y , z) 连续 , 从而当 i 很小

时 , 　　在 i 上 (x , y , z) 的变化不大 .

可近似　　看作不变 .

(ii) 即 , ( i , i , i) Di , 以 ( i , i , i ) 作为

i 　　的体密度 . 从而 , i 的质量

mi ( i , i , i) V i

(iii) 因此 , 的质量

n

iiiii VM

1

),,(

(iv) },{max 1

的直径若记 ini

.),,(lim 10

n

iiiii VM

则

　　设 R3 为有界闭区域 , f (x, y, z) 是定义在上的有界函数 . 　　　　　将任意分成 n 个无公共内点的小区

域 i, (i =1, 2, …, n), 用 Vi 表示 i 的体积 . 并记}.{max

1的直径i

ni

,),,(,),,(

1i

n

iiiiiiii Vzyxfzyx

作和

如果对任意的分法和任意的取法 , 当 0 时 , 和式

.),,(1

IVzyxf i

n

iiii 的极限都存在且为

则称 f (x, y, z)在

上可积 , 记为 f (x, y, z)R(),

定义 1

并称此极限值 I 为 f (x, y, z) 在上的三重积分 , 记作

n

iiiii Vzyxfdvzyxf

10

),,(lim),,(

n

iiiii Vzyxfdvzyxf

10

),,(lim),,(

其中 “ ” 称为三重积分号 , 称为积分区域 ,

f (x, y, z) 称为被积函数 , dv 称为体积元素 , 三重积

分也记为

.),,( dxdydzzyxf

,),,(

dvzyxf 即

　　三重积分的性质与二重积分性质完全类似 ,

比如若 f (x, y, z) 在上连续 , 则 f (x, y, z) 在

上可积 ; 　　　　　　　　　常数因子可从积

分号中提出来 ; 和的积分等于积分之和 ; 积分

的可加性 ; 积分的保号性 ; 积分中值定理等 .

;的体积

dv

1.1. 直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下三重积分的计算 ..

　　类似于二重积分 , 三重积分可化为三个定积分计算 ( 三次积分 ).

设是 R3 中一母线平行于 z 轴 , 上 , 下底分别为 z = z2(x, y), z

= z1(x, y) 的柱体 .

在 xy 面上的投影区域记为 Dxy .

如图

0y

z

x

z2 = z2(x,y)

Dxy

b

a

z1 = z1 (x,y)

二、三重积分的计算

xyD

yxz

yxzdxdydzzyxfdVzyxf .),,(),,(

),(

),(

2

1则

)),(),(( 21 yxzyxz 其中

,),()(:( 21 bxaxyyxyDxy 若 为 x— 型区域 )

.),,(),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

yxz

yxz

xy

xy

b

adzzyxfdydx

0y

z

x

z2 = z2(x,y)

Dxy

b

a

z1 = z1(x,y)

y=y1(x)

y=y2(x)

,),()(: 21 dycyxxyxDxy 若 即为 y— 型区域 .

dVzyxf ),,(则

.),,(),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

yxz

yxz

yx

yx

d

cdzzyxfdxdy

应用时先画出的草图 , 看 z 是从哪一曲面变到哪一曲面 . 确定最里层积分上 , 下限 . 然后到 Dxy 上作二重

口诀 : 从里到外 , 面—面 , 线—线 , 点—点 .

积分 .

注： 1. 当是一柱体 , 但侧面的母线平行于 y

轴 , 　　　它在 xz 面上的投影区域为 Dxz, 　　　　　　　　　　　　则可选择先

对 y 积分 , 然后到 Dxz 上作二重积分 .

2. 当是一柱体 , 但侧面的母线平行于 x

轴 , 　它在 yz 面上的投影区域为 Dyz, 则可

选择先　对 x 积分 , 然后到 Dyz 上作二重积

分 .

3. 当的母线退缩成一点时 , 此时不是柱体 .

比如 .

但作三重积分时 , 仍可将其当作前面情形

的特殊情形来处理 ,

: x2 + y2 + z2 1. 则 Dxy : x2 + y2 1.

xyD

yx

yxdxdydzzyxfdvzyxf .),,(),,(

22

22

1

1

例 1. ,0,)(

xdxdydzzyx 是由平面其中

y = 0, z = 0 和 x+y+z =1 所围成的四面体 .

解 : .

xdxdydz考虑

在 xy 面上的投影区域为Dxy : 0 y 1x, 0 x 1.

沿 z 轴方向 , 下方曲面 : z

=0, 上方曲面 : z = 1

x y. y0

z

x

1

1

1

Dxy

x+ y=1

x+ y+z=1

yxxxdzdydxxdxdydz

1

0

1

0

1

0

x

dyyxxdx1

0

1

0)1( dxyxx

x

1

0

21

0)1(

2

1

dxxx 21

0)1(

2

1 .

24

1

类似 ,24

1

zdxdydzydxdydz

8

1原式

例 2.

.

1,

22

222

所围成的区域与锥面

是由平面其中计算

zxy

zyxydxdydz

解 :若先对 z 积分 ,

由于沿 z 轴方向的下方曲面和上方曲面均由两片曲面组成 ,

且在 xy 面上投影区域相对复杂 . 积分较繁 . 改为先对 y 积分 .

y0

z

x

1

22 zxy

1222 zyx

沿 y 轴方向 , :,: 22 右边曲面左方曲面 zxy

.1 22 zxy 求在 xz 面上的投影区域 Dxz .

,1

:222

22

zyx

zxy交线 消去 y ,

2

122

zx

xz

为

面上的投影曲线在得

故 Dxz : ,2

22

22

zx

y0

z

x

1

22 zxy

221 zxy

22

22

1 zx

zxD

ydydxdzydxdydzxz

xzD

dxdzzx )(2

1 22 )sin,cos( rzrx 令

2

2

0

22

0 2

1rdrrd

.42

12 2

2

0

2

rdrr

注意 , 由于先对 x , 再对 y, 再对 z 的积分

,),,(),,(),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

2

1

zyx

zyx

zy

zy

C

Cdxzyxfdydzvdzyxf ,),,(),,(

),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

2

1

zyx

zyx

zy

zy

C

Cdxzyxfdydzvdzyxf

里面的两个定积分 ( 二次积分 ) 本质上就是一个二重积分 , 　　　　　因此 , 在很多情形下可先做一个二重积分 , 再做一个定积分 , 称为“先二后一”的积分 ,

相应地称前面的方法为“先一后二”的积分 .

　　设空间有界闭区域 满足 C1 z C2, 并且

以平行于 xy 面的平面 z = 常数 (z) 截 所得平面区域为 Dz ,

则 Vdzyxf

),,(

.),,(2

1

zD

C

Cdxdyzyxfdz

( 特别 , 若 f (x, y, z) = g (z))

2

1

)(C

CD

dzdxdyzgz

0 y

z

x

C1

C2

zDz

例 3.

.0,,,

1,2

2

2

2

2

22

大于所围成的空间区域

是由椭球面其中计算

cba

c

z

b

y

a

xdxdydzz

解 : : c z c , (x, y)Dz ,

.1:2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xDz

zD

c

cdxdyzdzdvz 22

zD

c

cdxdydzz2

y

z

x

0

c

cDz

椭圆面积为 ab. ,1:2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xDz

,1,1,2

2

2

2

c

zb

c

za 半短轴分别为半长轴

,12

2

c

zab面积为

dzc

zabz

c

c

2

22 1原式 .

15

4 3abc

关于利用对称性积分关于利用对称性积分 ..　　　　　　　　　　　　设有界闭区域的

形状关于 xy 面对称 ,且 f (x, y, z) = f (x, y, z),

.0),,(

dvzyxf则 若 f (x, y, z) = f (x, y, z),

,),,(2),,(1

dvzyxfdvzyxf则

其中 1 是中处于 xy 面上方部分 .

　　类似可得关于 xz 面对称 , 而 f (x, y, z) 关

于 y 是奇 , 偶函数的结论 , 　　　　　　　　　以及 关于 yz 面对称 ,

而 f (x, y, z) 关于 x 是奇 , 偶函数的结论 .

(1) 若 关于平面 y=x 对称 , 则 f (x, y, z) 满足什么　条件时 , 有上述两个结论 ?

(2) 不积分 , .sin,,3

ydvxdvdvz求

其中为单位球 x2+ y2 + z2 1.

2.2. 三重积分换元法三重积分换元法 ..

　　设变换 T: x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v,

w) 将 * 变到 , 且函数 x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v,

w)C1(*), 雅可比行列式

,0),,(

),,(

wvu

zyx

dvzyxf ),,(则

.),,(

),,()),,(),,,(),,,((

*

dudvdwwvu

zyxwvuzwvuywvuxf

定理 1

问：是否有

dvydvxdvz 222?

我们知道 , 在定积分中 , .)()()( dzzfdyyfdxxfb

a

b

a

b

a

但在二 , 三重积分中 , 这一结论一般不对 ,

不过 , 当满足某些条件时 , 结论成立。

例 4. 设： x2+y2+z21. z 0, 1 是中在第

一

1

.4 22 dvxdvz卦限中的部分 , 证明

证：由对称性知

1

.4 22 dvzdvz

则

.1

001

100

010

),,(

),,(

xzy

zyx

1* ： y2+z2+x21, y 0, z 0, x 0,即 1* ＝ 1

故 .11

*1

222

dvxdxdydzxdvz

1 ： x2+y2+z2≦1, x≧0, y≧0,z≧0. .1

2dvz

作变量代换 , 令 x=y , y=z, z=x.

故 .41

22

dvxdvz

　　一般 , 若在的表达式中 , 以 y 代 x, 以 z

代 y, 以 x 代 z 后 , 的表达式不变 ( 即具有

“轮换性” ),则 .),,(),,(

dvxzyfdvzyxf

( 教材 P89, 第三行结论可由此证明 )

3.3. 利用柱面坐标求三重积分利用柱面坐标求三重积分 ..

　　设点 M = (x, y,

z) R3, 它在 xy 面上的投影点为 P=(x, y,

o)

　　显然 , 任给一点 M, 可唯一确定点 P 和竖坐标 z , 反之 , 在 xy 面上任给点 P 和数 z, 可唯一确定 M. 因点 P 可用其极坐标确定 , 故 M 可由 P的极坐标 r , 以及 z 唯一确定 , 称为柱面坐标 .

z

x

yo

P=(x, y, o)

M ＝ (x, y, z)

r

　　　　　　　　　　　　　　所以在柱面坐标中 r = 常数 , 则在直角坐标系中的图形为圆柱面 ,

　　点 M 的直角坐标 (x, y, z) 和它的柱面坐标 (r,

, z) 的关系为： x=r cos , y=r sin , z=z, 其中 0 r

<+, 0 2 ( 或 ) <z<+ .

易见 , 在柱面坐标中 , x2+y2=a2 化为 r=a (a>0)

y = kx 化为 tg = k 即 , = 常数 .

而 = 常数 , 则在直角坐标系中的图形为过 z 轴的平面 , z= 常数为平行于 xy 面的平面 .

　　设变换 T ： x= rcos, y= r sin , z=z 将柱

面坐标系中的区域 * 变成直角坐标系中的区

域 ,易算得 ,),,(

),,(r

zr

zyx

从而

.),sin,cos(),,(*

dzrdrdzrrfdvzyxf

　　一般 , 若是一母线平行于 z 轴的柱面 , z1

(x, y) z z2(x, y), (x, y) Dxy, 在 xy 面上的

投影区域 Dxy 适合用极坐标处理 ( 如圆 , 曲边

扇形等 ), 则可考虑用柱面坐标求三重积分 .　　　　　　　　　　　　　　　并可将其化

为先对 z, 再对 r, 再对的三次积分 ( 即先对 z

积分 , 然后在 Dxy 上用极坐标做二重积分 ).

例 5. 计算

,zdxdydz 其中： x2+y2+z2 1, 且 z0.

解： 是上半球体 , 它在 xy 面上的投影区域是单位　　　圆 x2+y2 ≦ 1. 　

令 x=rcos, y=rsin , z=z,则平面 z = 0 和球面

即 0 z .1 2r 且 0 r 1, 0 2,

1

0

1

0

2

0

2rrdzzdrdzdxdydz

.4

)1(2

12

1

0

2 drrr

,101 222 rzzyxz 和的柱面坐标方程分别为

　　　　　　　　　　　其中由 x2+y2=2z

及 z=2 所围成 .

例 6. 求

.)( 22 dxdydzyx

解：一般 , 若的表达式中　　含有 x2+y2, 则可考虑用　　柱面坐标积分 .

令 x=rcos, y=rsin, z=z,

,2

1 2rz

且 2

2

1r z 2, 0 r 2, 0 2.

,2

)(2

1,2 22

z

yxzz

的柱面坐标方程分别为

则x

z

y

x2+y2=2z

x2+y2=4 或 r=2

o

2 2

2

1rz 或

2

0

2

0

2

2

1222

2)(

rrdzrdrddxdydzyx

drrr )2

12(2 22

0

3

3

16)

12

1

2

12

2

0

64

drrr

　　注：常用的二次曲面有 , 球面 , 椭球面 ,

柱面 . a(x2+y2)=z(旋转抛物面 ), ax2+by2=z( 椭圆抛物面 ), a2(x2+y2)=z2( 圆锥面 ).

为确定 OM 的方向 , 记 为 OM 在 xy 面上的投影与x 轴正向的夹角 ( 与柱面坐标中 相同 ),

4. 4. 利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分 ..

　　　　　　　　　　　　　　　为 OM 与 z

轴正向夹角 ,

而 OM又是由其长度和其方向唯一确定 .

记 ||OM||= ,

　　 R3 中的点 M =(x, y, z) 与向量 OM 一一对应 .

　　　　则当 OM 的方向确定时 , , 唯一确定 ,

反之亦然 .故 M 与数组 ( ,,) 一一对应 .

z

x

yo

P=(x, y, o)

M ＝ (x, y, z)

r

称 (, , ) 为点 M 的球面坐标 ,规定 0 < + , 0 , 0 2 ( 或 )由图知 , 直角坐标与球面坐标的关系为 x=rcos= sin cos, y= rsin = sin sin, z= cos.

用球面坐标 , 可将 x2+y2+z2=a2 化为 =a(a>0)，将圆锥面 a(x2+y2)= z2 化为 = 常数 ,

将 y=kx 化为 = 常数 .

即 = 常数 ,= 常数 = 常数分别表球面 , 圆锥面 , 过 z 轴的半平面 .

z

x

yo

P=(x, y, o)

M ＝ (x, y, z)

r

　　若变换 T: x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos 将

* 变到 ,易算得 .sin

,,

,, 2

rr

zyx

从而

dvzyxf ),,(

右端一般化为先对 r, 再对 , 再对 的三次积分 .

　　注：本教材用字母 r 表示 . 即 x=rsincos, y=r

　 sinsin, z= rcso.( 此处 r 与柱面坐标中的 r 意义不同 ).

.sin)cos,sinsin,cossin(*

2 ddrdrrrrf

　　确定 r, , 的变化范围的方法 ( 与用极坐标算二重积分类似 )

(1) 若由两曲面围成 ,　　　　　　　　其球面坐标方程为 r=r1(,

), r=r2( , ).　　　　　以原点为起点作向量穿过 , 先遇到的曲面为 r=r1(, ), 后遇到的曲面为 r=r2(

, ), 则 r1( , ) rr2( , ).　　　　　　　　　　　 , 的变化范围要由其几何意义视具体情况确定 .

(2) 若原点在的边界上 , 以原点为起点所作的穿　过的向量只遇到一片曲面 , 其球面坐标方程　　为 r = r ( , ),

(3) 若包含原点 , 围成的曲面方程为 r = r (,

), 　则 0 rr( , ), 0 , 02.

　　　　　　　　　　　　　 , 的变化范围可根据它们的几何意义 ,视具体情况确定 .

则 0 r r( , ),

例 7. 求由半径 R 的球面 x2+y2+z22Rz=0 和半顶角　　为的圆锥面 ctg2(x2+y2)=z2 围成的立体的　　体积 V, 其中位于圆锥面上方 , 球面下方 .解 : 　　　　的体积 V, 用球面坐标求这个三重积分 .

dv

令 x=rsincos, y=rsinsin

, z= rcos. 则

.sin

,,

,, 2

rr

zyx

0 y

z

x

x2+y2+z22Rz=0 的球面坐标方程为 r22Rrcos =0,

即 : r=2Rcos ,

ctg2(x2+y2)=z2 的球面方程为 ctg2

(r2sin2cos2+ r2sin2sin2) =r2c

os2,

即 : =.

由前面的 (2) 及的形状知 , 0r2Rcos, 0,

因在 xy 面投影区域为圆 , 故 02..

0 y

z

x

的体积

cos2

0

2

0

2

0sin

RdrrdddvV

drR

0

cos2

0

3

3

1sin2

dR0

33 cossin3

16

0

33 coscos3

16dR

)cos1(3

4 43 R

　　一般 , 若的表达式中含 x2+y2+z2, 则可考虑

用球面坐标 .

例 8. 计算

由两个半球面,)( 22 dxdydzyxI

.0

)0(, 222222

围成平面

及

z

bayxazyxbz

解 : 的表达式中含 x2+y2+z2,

　　可用球面坐标求积分 .令 x = r sin cos, y=r

sinsin, z=rcos. 则 .sin

,,

,, 2

rr

zyx

且两球面方程分别为 r=b 和 r=a,(a<b).

0 a

r=a

z

y

x

b

r=b

0 a

r=a

z

y

x

b

r=b

由上面的 (1) 及的形状知 ,arb,0 , 02.

dvyxI )( 22

2

0

2

0

222 sinsinb

adrrrdd

b

adrrd 42

0

3sin2

cos)cos1()(5

22

0

255 dab

)(15

4 55 ab

2

例 9. 求椭圆球体 : 的体积 V, a, b, c, 大于 0.

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

解 :

.dvV

令 .sinsin,cossin rb

yr

a

x

,cosrz (广义球面坐标 )

可得 .sin),,(

),,( 2

abcr

zyx

椭圆球面方程为 r=1

且 0 r1, 0 , 02..

y

x

z

0

1

0

2

0

2

0sin drabcrddV

体积

1

0

2

0sin2 drrdabc

abc3

4

一般 ,(1) 若的表达式中含 x2+y2, 可考虑用柱面坐标积分 .

比如 , 球面与圆柱面 , 球面与旋转抛物面 , 但不绝对 .

(2) 若的表达式中含 x2+y2+z2, 可考虑用球面坐标 .

比如 , 球面与圆锥面 , 但不绝对 .

例 10. 设 f (u) 可导 , 且 f (0) = 0, 求

.0,:

,)(1

lim

2222

22240

ttzyx

dxdydzzyxftt

其中

解 : 这是一个极限问题 , 分母趋于 0. 另外 , 当 　　　 ( 球 ) 的半径 t 0 时 , 分子也是趋于 0

的 .

　　　　　　　　　　　　　　　　　因此

它是一个型的极限问题 , 可用罗必塔法则求 .”“0

0

注意到分子是一个三重积分 , 在一定的条件下可化为三个是积分之积 , 故先化三重积分 .

.:,)( 2222222 tzyxdxdydzzyxf

,cos,sinsin,cossin rzryrx 令

,sin),,(

),,( 2

rr

zyx

则 ,20,0,0 tr且

tdrrrfdddxdydzzyxf

0

2

0

2

0

222 sin)()(

t

drrrfd0

2

0)(sin2

t

drrrf0

2)(4

故　原式 =

t

tdrrrf

t 0

240

)(41

lim

(罗彼塔法则 )

3

2

0

)(lim

t

tftt

t

tft

)(lim

0 ( 注意 f (0) = 0)

t

ftft

)0()(lim

0

)0(f

例 11. 设 f (u) 连续 , 证明

1

1

2 .)()1()( dukufudxdydzczbyaxf

.0,,,,1: 222222 大于其中 cbacbakzyx

证 : ).(1

czbyaxk

u 令 ),,,(1

cbak

n 记

.,),,( XnuzyxX T 则

即以平面 ax+by+cz = 0 的单位法向量　作 u

轴 , 以平面 ax+by+cz = 0 上两个互相垂直的单位向量分别作 v 轴和 w 轴 , 对 xyz 坐标系作正交变换 .

n

),,,(1

,,, 21 cbak

nXnwXnvXnu 其中令

),,,(),,,( 22221111 cbancban

.1||||||||||||.,, 212121 nnnnnnnnn且

1:*

1:222

222

wvu

zyx 在上述正交变换下变为则

).(1),,(

),,(

),,(

),,( 对值正交矩阵的行列式的绝

1

zyx

wvu

wvu

zyx

),1:*(

.)()(

222

*

“ ”用 先二后一 法积分其中

wvu

dudvdwkufdxdydzczbyaxf

)1):()(2

2221

1uwvDdvdwdukuf u

Du

其中

1

1

2 )1)(( duukuf

1

1

2 )1()( duufkuf