第二章土体应力计算

第二章土体应力计算

上海大学土木工程系

2-1 概述

支承建筑物荷载的土层称为地基。

与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层。

将持力层下面的土层称为下卧层。

土体的应力按引起的原因分为自重应力和附加应力；

自重应力——由土体自身重量所产生的应力。附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力。

按土体中土骨架和土中孔隙（水、气）的应力承担作用原理或应力传递方式可分为有效应力和孔隙应力。

有效应力——由土骨架传递（或承担）的应力。

孔隙应力——由土中孔隙流体（水和气体）传递的应力。

2-1 概述

土中任意一点的应力状态用六个独立分量表示：

x zy xy yz zx

2-1 概述土力学中应力符号的规定

xxz

zx

x

z

xz

zx

材料力学

+-

+-

土力学

正应力剪应力

拉为正压为负

顺时针为正逆时针为负

压为正拉为负

逆时针为正顺时针为负

z

2-1 概述

③均匀一致各向同性体（土层性质变化不大时）

②线弹性体（应力较小时）

①连续介质（宏观平均）碎散体

非线性弹塑性

成层土各向异性

Δσ

εεp εe

线弹性体

加载

卸载

土中应力的研究方法（研究假定）

实际假定

土的非线性弹塑性应力应变曲线

2-2 地基中的自重应力

地下水位以下，用有效容重；不同土层的重量可以叠加

332211 hhhcz

3hp ww

zcz 竖向应力竖向应力

K0—— 静止侧压力系数，它是土体在侧限条件下有效小主应力 σ’3 与有效大主应力 σ’1 之比， K0 与土层的应力历史及土的类型有关。

正常固结粘土： K0 ＝ 1 － sin 对一般地基 K0

＝ 0.5 左右

无侧向变形（侧限）条件下：


侧向应力侧向应力

10K

分布规律分布规律自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布；自重应力在成层地基中呈折线分布；在土层分界面处和地下水位处发生转折。

均质地基

1

2

2

)( 21

成层地基


The stratum’s conditions and the related physical characteristics parameters of a foundation are shown in Fig below. Calculate the stress due to self-weight at a,b,c. Draw the stress distribution.

w=15.6% e=0.57

γs=26.6kN/m3

w=22% wL=32% wp=23%

γs=27.3kN/m3

2-2 地基中的自重应力例题例题

（ watertight ）

3'1 /9.9

67.01

106.26

1mkN

ews

)(02332

2322Semisolid

ww

wwI

pL

pL

32 /8.20

6.01

106.03.27

1

6.022.010/3.27

1

mkNe

e

wGee

wGS

wssat

s

sr


a σz=0

b σz(upper)=γ’1h1=9.9×2=19.8kPa

σz(Down)=γ’1h1+ γw(h1+hw)=9.9×2+10×(2+1.2)=51.8kPa

c σz=γ’1h1+ γw(h1+hw)+ γsat2h2

= 9.9×2+10×(2+1.2)+20.8×3=114.2kPa


The stratum’s conditions and the related physical characteristics parameters of a foundation are shown in Fig below. Calculate the stress due to self-weight at 10m depth. Draw the stress distribution.

Note: For saturated clay, both cases (watertight and non-watertight) need to consider.

w=8% e=0.7

γs=26.5kN/m3

e=1.5

γs=27.2kN/m3


2-3 基底压力与基底附加压力

基底（接触）压力指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处施加于地基上的单位面积压力。地基反向施加于基础底面上的压力称为基底反力。

基底附加应力是指基底压力扣除因基础埋深所开挖的自重应力之后在基底处施加于地基上的单位面积压力。

dppn


影响基底压力分布和大小的因素

基础条件•刚度•形状•大小•埋深

•大小•方向•分布

•土类•密度•土层结构等

荷载条件

地基条件

柔性基础与刚性基础柔性基础：刚度较小，基底压力与其上的荷载大小及分布相同；


刚性基础：刚度较大，基底压力分布随上部荷载的大小、基础的埋深及土的性质而异。

当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为直线分布。


刚性基础下基底压力分布

（一）中心荷载下的基底压力

中心荷载作用下的矩形基础，上部结构荷载 P 与

基础自重 G 的合力 Fv 通过基底形心，基底压力为

均匀分布。平均基底压力为：


B

Lx

y

Fv

AFp v

（二）偏心荷载下的基底压力2-3 基底压力与基底附加压力

e<B/6: 梯形 e=B/6: 三角形 e>B/6: 出现拉应力区

B

e

A

Fp

61v

minmax

x

y

B

Le

e

x

y

B

Le

x

y

B

LK

3K

Fv

Fv Fv

maxp0pmin

0pmin

0pmin

maxp

maxp LeB

F

KL

Fp

)2(3

2

3

2 vvmax

土不能承受拉应力

基底压力合力与总荷载相等

压力调整

K=B/2-e

矩形面积单向偏心荷载


ex

ey

x

y

B

L

Fv

xy

yx

eFM

eFM

v

v ;

矩形面积双向偏心荷载

y

y

x

x

W

M

W

M

A

Fyxp v),(

B

e61

A

Pp

ee,0e

minmax

xy当

B

e61

A

Ppmax

B

e61

A

Ppmin

W 为矩形底面的抗弯截面系数

6

2blW

（特例）

三、基底附加压力——基底净压力

基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是基础底面下真正施加于地基的压力，称为基底附加压力或基底净压力。

对于基底压力 p 为均布情况

d

p

rd

d

p

rd

2-3 基底压力与基底附加应力

2-4 地基中的附加应力计算

计算假定：半空间无限体假定；连续、均质各向同性的线弹性体假定。

应力计算可分为空间问题和平面问题。

一、附加应力基本解答

（一）竖向集中力作用下地基附加应力

由布辛内斯克 Boussinesq·J(1885) 解答

得的表达式 z

2z

Papz y

z

xo

P

M

xy

z

r

R βM’

α

式中：

称为竖向集中力作用竖向附加应力系数


0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r/z

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

ap

y

z

xo

P

M

xy

z

r

R βM’

α

σz 等值线－应力泡

P

0.1P

0.05P0.02P

0.01P

2z

Papz

查表2-3

x

z

pa

沿水平面沿水平面沿 z

轴

沿 z

轴

a

点以

下

a

点以

下

竖向集中力作用下地基附加应力分布特征2-4 地基中的附加应力计算

3.P 作用线上， r=0, K=3/(2π） ,z=0, σz→∞ ， z→∞ ， σz=04.在某一水平面上 z=const ， r=0, K最大， r↑ ， K 减小， σz 减小5.在某一圆柱面上 r=const ， z=0, σz=0 ， z↑ ， σz 先增加后减小

1.σz 与 α无关，应力呈轴对称分布2.σz:τzy:τzx= z:y:x, 竖直面上合力过原点，与 R 同向

zz

（二）等代荷载法——基本解答的初步应用

由于集中力作用下地基中的附加应力 σz 仅是荷载的一次函数，因此当若干个竖向集中力 Fi （ i=1 ， 2 ， · n‥ ）作用于地表时，应用叠加原理，地基中 z 深度任一点 M 的附加应力 σz

应为各集中力单独作用时在该点所引起的附加应力总和。

式中： Ki—— 第 i 个竖向附加应力系数。


等代荷载法


叠加原理

P P1 2

σz1

+


σz2

σz1 σz2

叠加原理

二、空间问题条件下地基附加应力

（一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下的附加应力

微面积 dxdy 上的微集中力 dP=pdxdy ，基底角点 O 下 z 深度处所引起的附加应力为

5

3

2

3

R

dxdypzd n

z


z

x

y

B

L

dPp

z

M

R

沿整个矩形面积积分得到基底净压力 pn 作用下矩形基底

角点 O 下 z 深度处所引起的附加应力为：

二、空间问题条件下地基附加应力2-4 地基中的附加应力计算

矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数

m=L/B, n=z/B

ca

查表2-9

2-4 地基中的附加应力计算表 2-9

对于在实际基底面积范围以内或以外任意点下的竖向附加应力 σz ，可以先逐个计算每个矩形面积角点下的 σz 值，再按叠加原理求得该计算点附加应力 σz

的最后结果，称为“角点法”。

zIVzIIIzIIzIz

ofbgzoeagzofchzoedhzz ,,,,

2-4 地基中的附加应力计算任意点的垂直附加应力—角点法

b

hc

g

ofe

a

d

a

I II II

III III IV IV b

cd

a) 矩形面积内

b) 矩形面积外

【例题 2 － 2】如图所示，矩形基底长为 4m 、宽为2m ，基础埋深为 0.5m ，基础两侧土的重度为 18kN/

m3 ，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为 1

40kPa 。试求基础中心 O 点下及 A 点下、 H 点下 z ＝ 1m

深度处的竖向附加应力。

【解】

（ 1 ）先求基底净压力（基底附加应力） pn ，由已知条件

pn=p － γ·od ＝ 140 － 18×0.5 ＝ 131kPa

2-4 地基中的附加应力计算例题例题

（ 2 ）求 O 点下 1m 深处地基附加应力σzo 。 O 点是矩形面积OGbE ， OGaF ， OAdF ， OAcE 的共同角点。这四块面积相等，长度 l宽度 b 均相同，故其附加应力系数 Ks 相同。根据 l ， b ， z 的值可得

l ／ b=2 ／ 1=2

z ／ b=1 ／ 1=1

查表 2 － 2 得 ac =0.1999 ，所以

σzo=4 ac pn=4×0.1999 ×131 ＝

104.75 （ kPa ）（ 3 ）求 A 点下 1m 深处竖向附加应力 σzA 。


HAOG

F

E Q

b

a d

c

A 点是 ACbG ， AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度 l宽度 b 均相同，故其附加应力系数 ac 相同。根据 l ， b ， z 的值可得 l ／ b=2 ／ 2=1

z ／ b=1 ／ 2=0.5

查表应用线性插值方法可得 ac=0.2315 ，所以

σzA=2 ac pn=2×0.2315 ×131=60.65 （ kPa ）

（ 4 ）求 H 点下 1m 深度处竖向应力 σzH 。 H 点是HGbQ ， HSaG ， HAcQ ， HAdS 的公共角点。 σzH 是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于 HGbQ ， HSaG两块面积，长度 l

宽度 b 均相同，由例图 l ／ b=2.5 ／ 2=1.25

z ／ b=1/2=0.5

查表 2 － 9 ，利用双向线性插值得 ac =0.2350


对于 HAcQ ， HAdS两块面积，长度 l宽度 b 均相同，由例图

l ／ b=2 ／ 0.5=4

z ／ b=1 ／ 0.5=2

查表 2 － 9 ，得 ac =0.1350 ，则 σzH 可按叠加原理求得：

σzH= （ 2×0.2350 － 2×0.1350 ） ×131=26.2 （ kPa ）


（二）矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加应力


z

x

y

b

L

dP

ttcz pa

矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数

查表3-3

pt

M

z

2-4 地基中的附加应力计算表 2-10

（三）矩形面积基底受水平荷载作用时角点下的竖向附加应力

当矩形面积基底受水平荷载 ph （基底的水平方向均布切向力）作用时，角点 1 ， 2 下的地基竖向附加应力为


b

Lhhcz pa

矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力分布系数

z

ph

zz

查表 2-11

1 2

（四）圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力

设圆形面积基底的半径为 ro ，其上作用均布荷载 pn ，圆中心 O 点下任意深度 z 处 M 点的竖向附加应力 σz 为

式中


parz

查表 2-12

圆形面积作用竖直均布荷载时的应力分布系数

为应力计算点到 z 轴的水平距离l


表 2-12

（一）竖直线荷载作用下的地基附加应力线荷载是作用于半无限空间表面宽度趋近于零沿无限长直线均布的荷载。在 xoz 的地基剖面内，任一点M （ x ， o ， z ）的附加应力可根据布辛内斯克基本解运用积分方法求得

三、平面问题条件下的地基附加应力（ l/

B>=10 ）


x

p

M

z

z

y

x

-- 符拉蒙解答

（二）条形基底均布荷载作用下地基附加应力

由符拉蒙解答可得地基中任意 M 点的附加应力为


z

x

yB

p

z

Mx

查表 2-13

pasz

条形面积竖直均布荷载作用时的应力分布系数

pa xzsxz

pa xsx

竖向附加应力

cos0dR

dx

dp

R

dRp

R

dxpd z

203

0

00

3

0

0 cos2

coscos

2

cos2

条形基底均布荷载作用下地基附加应力 (极坐标解答 )

这部分是否要讲？


22110

20

2sin2

12sin

2

1

cos2 1

2

1

2

p

dp

d zz

2211

0 2sin2

12sin

2

1

px

120 2cos2cos

2

pxz

(1) Isoline( 等值线 )

(2) Direction of principal stress （主应力方向）

(3) The value of maximum shear stress （最大剪应力）


)()(

sin0

3

1

内部外部 2121 ββψorββψ

p

2),(2 21

21

thentgtg

22

3

1

22 xzZXZX

- 主应力（ Principal stress ）

Sinp0

31max 2

1



（三）条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力

条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度为 pt ），微宽度 d 上的线荷载 ptdb

应用符拉蒙基本解答沿宽度 b 积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意 M 点的附加应力：

σz ＝ astpt σx ＝ as

xtpt

τxz=asxytpt

式中： ast ， as

xt ， asxyt 为条形基底三角形

分布荷载作用的地基附加应力系数，它们均是 m=x/b ， n=z/b 的函数。

注意：（ 1 ）原点在尖点

（ 2 ） X轴正向与荷载增大方向一致


查表 2-14

【例题 2 － 3】如图所示的挡土墙，基础底面宽度为 6m ，埋置于地面下1.5m 处。每米墙自重及其上部其他竖向荷载 Fv= 2400kN/m ，作用位置离墙基础前缘 A 点 3.2m ；因土压力等作用墙背受到水平力 Fh=400kN/m

，其作用点距离基底面 2.4m 。设地基土重度为 19kN/m3 ，若不计墙后填土附加应力的影响，试求因 Fv ， Fh

作用基础中心点及前缘 A 点下深度z=7.2m 处 M 点， N 点的附加应力。


【解】（ 1 ）求作用于基底面上的力及偏心距。将 Fh 移至基底面，根据静力等效，需加力矩。设合力作用点离基底前缘 A

点的水平距离为 x ，利用合力矩定理，即

Fhx = Fv ×3.2 － Fh ×2.4

则 x= （ 3.2 Fv － 2.4 Fh ）／ Fv =3.2 － 2.4 ×400 ／

2400

＝ 2.8 （ m ）

于是合力偏心距 e=b/2 － 2.8 ＝ 0.2 （ m ）；合力作用点位于基底面中点的左侧 0.2m 。

（ 2 ）求基底压力。这属于平面问题应用式（ 2 － 5 ），得竖向基底压力


应用式（ 2 － 7 ），得 Ph = Fh /b=400/6=66.7kPa

（ 3 ）求基底净压力（基底附加应力）。对于梯形分布的竖向基底压力应用图 2 － 23 所示方法可得竖向基底净压力如下

Pn= Pmin － γo d=320 － 19×1.5 ＝ 291.5kPa

Pt = Pmax － Pnmin =480 － 320 ＝ 160kPa

（ 4 ）计算各种压力形式 Pn ， Pt ， Ph 引起的地基 M 点和 N 点的附加应力，为了清晰起见，可采用列表的方法进行。


2-5 地基中附加应力的讨论（一）附加应力影响范围（教材 P77 ）

（二）成层地基的影响

(1)上层软弱，下层坚硬的成层地基非均匀性—成层地基

中轴线附近 σz 比均质时明显增大的现象 — 应力集中；应力集中程度与土层刚度和厚度有关；随 H/B 增大，应力集中现象逐渐减弱。(2)上层坚硬，下层软弱的成层地基

中轴线附近 σz 比均质时明显减小的现象 — 应力扩散；应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关；随 H/B 的增大，应力扩散现象逐渐减弱。

B

H均匀成层

E1

E2>E1

B

H

均匀成层

E1

E2<E1

End of Chapter 2

结束

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第二章 土体应力计算

第二章土体应力计算