單元五 互質與同餘 電影終極警探第三集裡，有一段這樣的劇情：歹徒設置了定時炸彈，不讓它引爆的方法是以 4 公升的水壓著，但主角警察與他的臨時搭檔手邊只有兩個沒有刻度的容器，一個裝滿水是 5 公升，另一個是 3

公升，請問他們可以不讓炸彈引爆嗎？

噴泉那兒應該有兩個桶子，你看見它們了嗎？

一個 5 加侖，一個 3 加侖

將其中一個桶子精確注入 4 加侖的水

然後把它放在天平上，計時器就會停止

幾個類似問題• 以 5 兩重及 7 兩重的砝碼，能否在天平上秤得 6 兩重的物品？

• 有一個的杯子，裝滿是 8 C.C. ，現倒滿了酒，利用另兩個較小的空杯，容量分別是 5 C.C.及 3 C.C. ，可以將 8 C.C. 的酒平分嗎？

• 利用一個 7 分鐘和一個 4 分鐘的沙漏能否測得 6 分鐘？ 9 分鐘呢？

關鍵在於 3 和 5 、 5 和 7 及 4 和 7 ，這三組數字共同的規則

質數與合數• 一個數字如果只能寫成 1 和本身相乘，若要將它排成長方形，則只能排成一列，例如： 2 、 3 、5 、 7 或 11 。這樣的數字，在數學上稱為質數。

• 若一個數字可以排成 2 列以上的長方形，這樣的數字稱為合數，例如： 4 、 6 、 8 或 15 。

• 一個合數至少可以排成兩個的長方形（含一個一列的），這些長方形中，分別代表長與寬的數字，稱為這個合數的因數，因數若同時是質數，就稱為質因數，例如 15 的質因數為 3 和 5 。

難以想像的事• 在電腦發明之前一百年，一位八十二歲的數學家得到下列結果：

• 1903 年，一位美國數學家，在一場演講中不發一語，只寫下以下的結果，就獲得所有聽眾起立鼓掌喝采。

07216728042131274177

37095516171844674407 1264

877618382572193707721

967641292747573952581267

現代的網路家族 GIMPS

• 一個利用電腦科技發掘形如 的質數的網路家族

• GIMPS 的 M ，是 Mersenne( 梅森 ) 的縮寫，一位十七世紀時的法國神父，形如 的數被稱為梅森數

• 2006 年的九月，該組織公布了最新的質數

12 n

12 n

12 657,582,32

互質• 兩個數除了 1 以外，若沒有其他相同的因數，這樣的關係稱為互質

• 兩個質數一定是互質的 • 互質的兩數一定可以找到另外兩數，分別與其相乘後再相減（大的減小的），而結果是 1 ，例如：

3 與 5 互質， 3×7 － 5×4 ＝ 1 ， 5×2 －3×3 ＝ 1

• 所以終極警探可以量得 4 公升的水

餘數

• 韓信點兵 劉邦想捉拿韓信，但不知他的兵力究竟如何？便問韓信有多少兵卒？韓信答：「啟奏陛下，兵不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二」。

陳平絞盡腦汁無法算出，連張良也說「兵數無法算，不可數」。

• 鬼谷神算 今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？

• 最早出現於《孫子算經》中，後來被西方數學家稱為「中國剩餘定理 」

• 「三三數之賸二」，用現代的話來說，就是被 3 除餘 2 ，也就是此數的因數沒有 3 ，或說此數不是 3 的倍數。

• 一個數若被不是它的因數來除，一定會產生所謂的餘數

同餘

日 一 二 三 四 五 六1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

2010 年 9 月

• 甲數和乙數分別除以丙數所得之餘數相同，稱甲數和乙數對丙數為同餘，丙數稱為模

• 同餘的兩數之差必為模的倍數• 月曆中，位於同星期序日 ( 例如星期二 ) 的日期對 7 為同餘，因為一週有 7 天。想要知道 100 天後是星期幾，就是以 7 為模來看。

• 想要知道 15 年後的生肖年，便以 12 為模來看

• 而天干地支便是以 60 為模來看

密碼• 國際書碼（ ISBN ），共有 10 個數字 (2007 年起為了與歐洲的書品條碼 13 個數字一致，遂於原 1

0 個數前加 "978" 三個代表圖書業的前置碼 ) ，前 9 個數字有其特定涵義，最後一個為檢查碼。此檢查碼是將前 9 個碼依序乘以 1 、 2 、 3 、…、9 ，再把所得的新的 9 個數字相加，再以 11 為模計算餘數而得。例如：網路小說家痞子蔡的「孔雀森林」這本書的 ISBN 為 9867440536

• 一個數被 11 除，餘數有可能是 10 ，此時的檢查碼便以英文字母 X來代替，以維持 10 個數碼

• 為何不以 10 為模呢？這樣不是可以把餘數都保持為 0 到 9 嗎？就可以避免當檢查碼是 10 時，需以X來代替的麻煩了。

答案：不行 關鍵在 11 為質數，而 10 的因數有 2 和 5 。 所以第 2 或 5 個碼數若抄錯，便無法判斷正確的國際書碼了，例如將上述的 ISBN 的第 5 個數字 4改為 6 ，此時的正確與錯誤的檢查碼皆為 2 ，因為 182 和 192對 10 同餘，但對 11 不同餘 (6和 5) 。

• 類似這樣的想法，在西方被運用來將所要傳遞的訊息加密，推廣成所謂的密碼學。

• 古老的密碼 羅馬帝國的凱撒密碼： 每個字母被其之後的第三個字母所替代

例如：「Ｉ LOVE YOU」變為「 L ORYH BRX」 也就是：以 0 至 25 代表英文字母 A 至 Z ，加密的方式是將之加 3 後以 26 為模

中國周朝兵書《六韜‧龍韜》

• 現代有名的 RSA 加密法 1977 年三位美國人，設計了一套稱為 RSA（取他們的姓的第一個字母而得）的編碼方式

第一步：產生兩個很大的質數 p,q

第二步：計算m ＝ p×q ， n ＝ m － (p＋ q)＋ 1

第三步：選一個小於 n且與互質的數 a

第四步：找一個數 k ，使得 k×a 被 n 除餘 1

同年的 8 月，有個研究小組用一個 129 位數的 m 和一個 4 位數的 a ，將一個代表某訊息的 128 位數編碼得 X ，並在美國的一份科學類的雜誌上刊登，懸賞獎金給第一位破解密碼的人。

17 年後， 1994 年的 4 月， X 被解出來了，但不是由一個人獨力完成，是由一批分散在 20多個國家，六百多位對找因數有興趣的人，透過網際網路合作破解的。

不過，這套編碼系統仍是現今最安全的，因為基本上給一個很大的合數，要找出其因數還是很困難的，只要提高m 的位數，RSA 法編出的密碼要被破解可能得花一輩子的時間。

頭腦體操

在日常生活中，一群朋友相聚時，有時我們會好奇對方的月薪，但開口問人每月的收入是不禮貌的。退而求其次吧。想想看有沒有辦法知道一群人的平均月薪，而不洩露每個人的月薪？

作業 請寫出下列問題的解答過程。1. 有一個的杯子，裝滿是 8 C.C. ，現倒滿了酒，利用另兩個較小的空杯，容量分別是 5

C.C. 及 3 C.C. ，可以將 8 C.C. 的酒平分嗎？2. 利用一個 7 分鐘和一個 4 分鐘的沙漏能否測得 6 分鐘？ 9 分鐘呢？