第十三章材力的基本内容

东北东北财经大学 DONGBEI UNIVERSITY OF FINANCE ＆ ECONOMICS

2005年 8 月

建筑力学ARCHITECTURE MECHANICS

东财

Dongbei U

niversity of Finance

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材力的基本内容

第十三章材力的基本内容学习与应该掌握的内容– 材料力学的基本知识– 基本变形的主要特点– 内力计算及内力图– 应力计算– 二向应力状态及强度理论– 强度、刚度设计

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材料力学的基本知识材料力学的研究模型– 材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构

件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、壳和块。

– 杆 --- 长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面相同的直杆，称为等直杆；

– 材料力学的主要研究对象就是等直杆。

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材料力学的基本知识变形

– 构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象；变形固体的变形通常可分为两种：

• 弹性变形 --- 载荷解除后变形随之消失的变形• 塑性变形 --- 载荷解除后变形不能消失的变形

– 材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形

变形固体的基本假设– 连续性假设

• 假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质– 均匀性假设

• 假设材料的力学性能在各处都是相同的。– 各向同性假设

• 假设变形固体各个方向的力学性能都相同

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材料力学的基本知识材料的力学性能– ----- 指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。

构件的承载能力：– 强度 --- 构件抵抗破坏的能力– 刚度 --- 构件抵抗变形的能力– 稳定性 --- 构件保持原有平衡状态的能力

内力的概念– 构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点之间

的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。

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横截面上内力分析

其中： Mx 、 My 、 Mz 为主矩在 x 、 y 、 z 轴方向上的分量。FNx 、 FQy 、 FQz 为主矢在x 、 y 、 z 轴方向上的分量。

•FNx 使杆件延 x 方向产生轴向拉压变形，称为轴力•FQy,FQz 使杆件延 y,z方向产生剪切变形，称为剪力•Mx 使杆件绕 x 轴发生扭转变形，称为扭矩•My、 Mz使得杆件分别绕 y z轴产生弯曲变形，称为弯矩

利用力系简化原理，截面 m-m 向形心 C 点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图

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横截面上内力计算 -- 截面法截面法求内力步骤– 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；– 取其中任一部分并在截面上画出相应内力；– 由平衡条件确定内力大小。

例：左图左半部分：∑Fx=0 FP=FN

右半部分：∑Fx=0 FP

,=FN

,

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例 13-1

已知小型压力机机架受力 F 的作用，如图，试求立柱截面 m-n 上的内力

解：1 、假想从 m-n 面将机架截开（如图）；2 、取上部，建立如图坐标系，画出内力 FN，MZ

（方向如图示）。（水平部分 / 竖直部分的变形？）

3 、由平衡方程得：∑Fy=0 FP-FN=0 FN=FP

∑Mo=0 Fp · a - Mz=0 Mz =Fp ·

a

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基本变形— ( 轴向 ) 拉伸、压缩

载荷特点：受轴向力作用

变形特点：各横截面沿轴向做平动

内力特点：内力方向沿轴向，简称轴力 FN

轴力正负规定：轴力与截面法向相同为正

FN=P

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基本变形 --- 剪切载荷特点：作用力与截面

平行（垂直于轴线）

变形特点：各横截面发生相互错动

内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称剪力FQ

剪力正负规定：左下（右上）为正左下：指左截面（左半边物体）剪力向下

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基本变形 --- 扭转载荷特点：受绕轴线方向力

偶作用（力偶作用面平行于横截面）

变形特点：横截面绕轴线转动

内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩T

正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系

T=M

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基本变形 --- 弯曲（平面）载荷特点：在梁的两端

作用有一对力偶，力偶作用面在梁的对称纵截面内。

变形特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。中性轴（面）

内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩 M

弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗）

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正应力、切应力应力的概念– 单位面积上内力的大小，

称为应力– 平均应力 Pm ，如图所示

△ F△APm=

正应力 σ 单位面积上轴力的大小，称为正应

力；切应力 τ

单位面积上剪力的大小，称为切应力应力单位为： 1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡 )

常用单位： MPa （兆帕）， 1MPa=106

Pa=1N/mm2

A— 截面面积

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单元体及简单应力状态

对于一个单元，在其相互垂直的两个面上，沿垂直于两面交线的切应力必成对出现，且大小相等，方向均指向或背离两面的交线，此关系称为切应力互等定律或切应力双生定律。

在研究变形体内某一点的应力时，通常围绕该点作一个无限小的正六面体，简称单元（体）；此单元的各截面分别代表该点在不同方向截面的应力。单元受力最基本也是最简单的形式有两种：单向拉压和纯剪切 ----- 简称单向应力状态（如图）

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位移构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变来度量。如图：– AA’ 连线称为 A 点的线位移– θ角度称为截面 m-m 的角位移，简称转角– 注意，单元 K 的形状也有所改变

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应变分析单元 K– 单元原棱长为△ x △， u 为绝对伸长量，其相对

伸长△ u/ x△ 的极限称为沿 x 方向的正应变 ε。

△ u △x

即： εx=lim△ x→∞

a点的横向移动 aa’ ，使得 oa 直线产生

转角 γ ，定义转角 γ为切应变 γ

γ=aa’

oa=

aa’

△ x

)

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胡克定律实验证明：– 当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线

性关系，即： σ=Εε称为胡克定律， E 为弹性模量，常用单位： Gpa （吉

帕）– 同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系

即： τ=Εγ此为剪切胡克定律， G 为切变模量，常用单位： GPa

钢与合金钢 E=200-220GPa G=75-80GPa铝与合金铝 E=70-80GPa G=26-30GPa木材 E=0.5-1GPa 橡胶E=0.008GPa

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总第十二讲第十四章杆件的内力– §14-1 轴向拉伸或压缩杆件的内力– §14-2 扭转圆轴的内力

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§14-1 轴向拉压杆件的内力定义– 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称

为轴向拉伸或压缩内力的计算– 截面法

• 如左图

内力的表示– 轴力图 ---- 形象表示轴力沿轴线变化的情况

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轴力图例 14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。

解： 1) 截面法求 AC段轴力，沿截面 1-1处截开，取左段如图 14-1-2所示∑Fx=0 FN1-F1=0得： FN1=F1=2.5kN

2)求 BC段轴力，从 2-2截面处截开，取右段，如图 14-1-3所示∑Fx=0 –FN2-F3=0得： FN2= - F3=-1.5kN（负号表示所画 FN2 方向与实际相反）

3) 图 14-1-4位 AB 杆的轴力图

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轴力图为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图。

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§14-2 扭转圆轴的内力扭转变形的定义– 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转– 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴– 本课程主要研究圆截面轴功率、转速和扭矩的关系

– M=9549

扭矩图– 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，

就是扭矩图。

nP

其中：M 为外力矩 (N.m)P 为功率 (kW)n 转速 (r/min)

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例 14-2 扭矩图如图，主动轮 A 的输入功率 PA=36kW ，从动轮 B、 C、 D输出功率分别为

PB=PC=11kW， PD=14kW ，轴的转速 n=300r/min. 试画出传动轴的扭矩图

解： 1) 由扭矩、功率、转速关系式求得MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.mMB=MC=350N.m；MD=446N.m2) 分别求 1-1、 2-2、 3-3截面上的扭矩，即为 BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图a)、 b)、 c); 均有∑Mx=0 得：T1+MB=0 T1=-MB= -350N.mMB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.mMD-T3=0 T3=MD=446N.m3) 画出扭矩图如 d)

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总第十三讲– §14-3 弯曲梁的内力– §14-4 弯曲梁的内力图 --- 剪力图和弯矩图

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§14-3 弯曲梁的内力弯曲梁的概念及其简化– 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直

于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。

常见梁的力学模型简支梁

一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座

外伸梁一端或两端伸出支座支外的简支梁

悬臂梁一端为固定端，另一端为自由端的梁。

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梁内力的正负规定梁的内力– 剪力 FQ

– 弯矩 MC

梁内力的正负规定内力方向

梁的变形

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§14-3 弯曲梁的内力—例例 14-3 简支梁如左图，已知a、 q、 M=qa2 ；求梁的内力

FAy

FBy

1 2 3

aqF 65

AY aqF 61

BY

2） 1-1截面内力： (0≤x1 ≤ a)

3） 2-2截面内力： (a≤x2<2a)

解： 1）求得 A、 B处反力FAY,FBY；

165

1AY1 xaqxFM

aqFF 65

AyQ1

22AYQ2 xqaq6

11a)(xqFF

222

222AY2 a)(xq

2

1-xaq

6

5a)(xq

2

1-xFM

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续例 14-34） 3-3截面内力： (0 ≤ x3 ≤ a ，此处 x3 的起

点为 B 点，方向如图 )

aq6

1FF BYQ3

32

3BY3 xaq6

1aqxFMM

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§14-4 内力图 ---- 剪力图1.当： 0≤x1≤a 时AC段 FQ1=5q.a/6

2.当： a≤x2≤2a 时 ,即 CD段FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线x2 =a； FQ2 = 5q.a/6 （ =

FQ1 ）x2 =2a； FQ2 = -q.a/6 （ =

FQ3 ）3.当： 0≤x3≤a ( 起点在 B 点）FQ3=-q.a/6

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§14-4 内力图 ---- 弯矩图当： 0≤x1≤a 时，

M1=5q.a.x1/6 为直线 265

1C1

1A1

aqMax点：C

0；M0x点：A

267

2D2

265

2C2

q.a M,a2 xD

q.a M,a xC

点：

点：

MaqM,0xB

MaqM,axD2

B33

D22

67

D33

点：

点：

当： a≤x2≤2a 时，为二次曲线；

M2=5qax2-q(x2-a)2/2

当： 0≤x3≤a 时（原点在 B点，方向向左）， M3 为直线

M3=qa2+q.a.x3/6;

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典型例题 -1已知： G,a,b,l, 画梁 AB 内力图

解： 1 〉求 A,B支座反力( a+b=l )

lGb

AyF l

GaByF

2 〉求 x 截面内力a) 0<x<a

lGb

AyQ FF 1 xxFM lGb

Ay 1

b) a<x<l

lGa

lGb

AyQ GGFF 2

)xl()ax(GxFM lGa

Ay 2

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典型例题 -1(续 )– 根据以上条件，画出剪

力图、弯矩图• 最大剪力 Qmax在 AC(b>a)

（或 CB,a>b ）段Qmax=Gb/l

• 最大弯矩在 C 截面处Mmax=Gab/l

本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程；即：

FQ=FQ(x) Mc=M(x)

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典型例题 -2简支梁受力偶作用

1. 求支座反力 FAY,FBY 得：FAY=- FBY =M/l

2. AC段 X 截面处剪力FQ=Fay,

3. 同理可求得 BC段剪力与AC段相同，剪力图如左

4. AC段弯矩方程 M1

M1=FAY·x=M ·x /L

5. BC段弯矩方程 M2

M2=FAY · x-M=M(x - L)/L

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典型例题 -3悬臂梁作用均布载荷 q ，画出梁的剪力图和弯矩图写出 A 点 x 处截面的剪

力方程和弯矩方程

剪力图、弯矩图如右，最大剪力、弯矩均发生在 B点，且

xqFQ xqM 21

qlM

qlF

max

maxQ

21

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M、 FQ与 q 的关系– 设梁上作用任意载荷，坐标

原点选在 A 点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。

取 x 处一小段 dx 长度梁，如图，由平衡方程得：

∑ Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0…………(a)∑MC=0;M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0……(b)在上式中略去高阶微量后，得

q(x)dx

(x)dFQ (x)FQdxdM

q(x)dxdFQ

dxMd2

2

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使用关系式画 FQ、M 图q(x)=0 的区间 q(x)=C 的区间集中力 F 作用

处力偶M作用处

FQ 图水平线

q(x)>0,斜直线，斜率 >0q(x)<0,斜直线，斜率 <0

有突变突变量=F

无影响

M 图

FQ >0,斜直线，斜率>0FQ <0,斜直线，斜率<0FQ =0, 水平线，斜率=0

q(x)>0,抛物线，上凹q(x)<0,抛物线，下凹FQ =0,抛物线有极值

斜率由突变图形成折线

有突变突变量=M

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例题 -7– M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m

解：求 A、 B 处支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN

剪力图：如图，将梁分为三段AC： q=0,FQC= FAY

CB： q<0,FQB=-8.5kN

BD： q<0,FQB=6kN弯矩图：AC： q=0,FQC>0, 直

线 ,MC=7KN.M

CB： q<0,抛物线 ,FQ=0,MB=6.04

BD： q<0, 开口向下， MB=-6kN.m

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作业 ( 解答 )

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作业 2004.3.2514-5 (c)14-8 (c)

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14-5（ c ）解答AC:FQAC=-qx; |FQACmax|=qa/2MQAC=-qx2/2; |MQACmax|=qa2/8

BC:(B 点为圆点， x 向左）FB=qa/2-qa/8=3qa/8FQBC=qx-FB=q(8x-3a)/8FQBC=0,x=3a/8MBC=q(3ax-4x2)/8;MBC|x=3a/8=9qa2/128>0;MBC|x=3a/4=0

2128

9 aq

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14-8（ c ）解答A、 B 支反力：

FA=qa/2;FB=5qa/2AB段： q<0 ；斜直线（左上右

下）A 点： FQA=FA=qa/2；B 点： FQB=FA-2qa=-3qa/2D 点： FQAB=0； x=a/2

BC段： q=0 ；直线（水平）C 点： FQC=F=qa=FQB

弯矩图： AB段： q<0 ；抛物线，上凸A 点： MC=0，D 点： MD= FA a/2 –q.a2/8=qa2/8B 点： MB=FA.2a-2qa2=-qa2；

BC段 :q=0 直线（左下右上）MC=0,MB=-F.a=-qa2

D

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第 15 章杆件的应力与变形总第十四讲总第十四讲

第一讲– §15-1 轴向拉压杆件的应力与变形

第二讲– §15-2 扭转圆轴的应力与应变

第三讲– §15-3 弯曲梁的正应力

第四讲– §15-4 弯曲梁的切应力– §15-5 弯曲梁的变形

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第一讲轴向拉压§15-1 轴向拉压杆件的应力与变形– 杆件轴向拉压时横截面上的应力– 杆件轴向拉压时的轴向变形与变形公式– 横向变形与泊松比

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横截面上的应力平面假设

– 杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于杆的轴线。1. 横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形，故横截

面上只有正应力。2. 两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，故横截面上各点的

正应变都相等；根据胡克定律，其正应力也相等，即横截面上的正应力均匀分布。

– 杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公式

A

Fσ N FN— 轴力

A--- 横截面面积

σ的正负号与 FN 相同；即拉伸为正压缩为负

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例 15-1– 一中段开槽的直杆如图，受轴向力 F 作用；已知：

F=20kN， h=25mm， h0=10mm， b=20mm ；试求杆内的最大正应力

解：求轴力 FN;FN=-F=-20kN=-20x103N

求横截面面积：A1=bh=20x25=500mm2

A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2

求应力由于 1-1 ， 2-2 截面轴力相同，所以最大应力应该在面积小的 2-2 截面上

σ=FN

A =-20X103

300 =-66.7MPa （负号表示为压应力）

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轴向变形设等截面直杆原长 l0 ，截面面积 A0 ，在轴力 F 作用下，其长度变为l1 ，截面面积变为 A1 ；其轴向绝对变形△ l 和轴向（相对变形）线应变 ε 分别为：

△ l=l1-l00

01

0

εl

ll

l

l

△

直杆横截面上的正应力：

A

F

A

FN σ

当应力不超过某一值时，正应力与线应变满足胡克定律： σ=Eε

由以上可以得到：EA

lFl N△ 式中 EA称为杆件的抗拉压刚度

此式称为拉压变形公式

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横向变形与泊松比如果等直杆在变形前后的横向尺寸为： b0、 b1；那么其横向绝对变形和横向线应变分别为△ b和 ε’;

△b=b1-b0 ε’= b /b△ 0

实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小， ε’ 为负；杆件轴向压缩时，横向尺寸增大， ε’ 为正；可见，轴向线应变 ε和横向线应变 ε’恒为异号

实验还表明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时，杆件的横向线应变 ε’ 与轴向线应变 ε 之比为一负常数：

即： , 或

,

比例系数 ν称为泊松比，是量刚为一的量

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例 15-2 p241

一板状试样如图，已知： b=4mm， h=30mm ，当施加 F=3kN的拉力时，测的试样的轴向线应变 ε=120x10-6, 横向线应变ε’=-38x10-6 ；试求试样材料的弹性模量 E 和泊松比 ν

解：求试件的轴力 FN=F=3kN;横截面面积 A=bh=120mm2,横截面上的应力 σ=F/A

)(25120103 3

MPaxA

FN 根据胡克定律 σ=Eε 得：

泊松比：

3167012038

101201038

6

6

.xx,

(GPa)3320812102500

1012025 3

6 .E xx

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例 15-3 p241

钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力 F1=50kN， F2=20kN ，杆各段长度l1=120mm， l2=l3=100mm ，杆 AD、 DB段的面积 A1、 A2 分别是 500 和 250mm2 ，钢的弹性模量 E=200GPa ，试求阶梯杆的轴向总变形和各段线应变。

解：画出杆件的轴力图求出个段轴向变形量

AC段：

CD段：

DB段：

mmEA

LFl N 3

3

311

1 103650010200

1201030

△

mmEA

LFl N 3

3

333

3 104025010200

1001020

△

总变形：△ l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm

由 ε= L/L△ 得：ε1= -300x10-6

ε2= 200x10-6

ε3= 400x10-6

mmEA

LFl N 3

3

322

2 102050010200

1001020

△

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作业

P269– 15-5

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第二讲扭转圆轴的应力和变形一、圆轴扭转时横截面上的应力–切应变、切应力–切应力分布–圆轴的扭转变形计算公式–截面的几何性质二、圆轴扭转时的变形–应力计算例 15-4

总第总第 1515讲讲

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一、圆轴扭转时横截面上的应力平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线

横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。

横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。

各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直

推断结论：

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切应变、切应力横截面上任意一点的切应变 γρ 与该点到圆心的距离 ρ 成正比

由剪切胡克定律可知：当切应力不超过某一极限值时，切应力与切应变成正比。即：

dxdGG

dxd

dxdR

横截面上任意一点的切应力 τρ的大小与该点到圆心的距离 ρ 成正比，切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线

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切应力分布根据以上结论：– 扭转变形横截面上的切应力

分布如图 a) 所示

扭矩和切应力的关系：

TdA

如图 b) 所示：微面积 dA 上内力对 o 点的矩

为 dM=ρτρdA

整个截面上的微内力矩的合力矩应该等于扭矩

即：

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圆轴的扭转变形计算公式由推导的结论式

TIGdAGdA pdxd

dxd

2

dxdGG

TdA可以得到：

或：pGI

Tdxd

变形计算公式

于是有：

PIT

扭转变形横截面任意点切应力计算公式

外边缘

最大切应力计算公式

pp W

Tr

I

Tmax

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截面的几何性质极惯性矩Ｉ p

扭转截面系数Ｗ p

dAdAIAp 22

r

IW p

p

416

432

2.0

1.04

4

dW

dI

dp

dp

434

16

44432

12.01

11.013

4

DW

DI

Dp

Dp

Dd

其中 d 为圆截面直径（ d 、 D 为圆环内外径）

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二、圆轴扭转时的变形dx

GI

Td

p

由扭转变形计算公式可以计算出，两个相距 dx 的横截面绕轴线的相对角位移，即相对扭转角 d

rad

对于相距 L的两个横截面间的相对扭转角可以通过积分求得：

dxdl

l

GIT

p 0

rad

对于等截面圆轴，若在长度为 l的某两个截面之间的扭矩均为 T ，那么该两截面的相对扭转角为

pIG

lT

rad

单位长度相对扭转角 θpIG

T

l

rad/m

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应力计算例 15-5在图示传动机构中，功率从 B 轮输入，再通过锥齿轮将一半传递给铅垂轴 C ，另一半传递给水平轴H。若已知输入功率 P1=14kW，水平轴 E 和 H 的转速 n1=n2=120r/min，锥齿轮 A 和 D 的齿数分别为 z1=36， z2=12，图中 d1=70, d2=50, d3=35.求各轴横截面上的最大切应力 .

分析：此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。由题意可知， E 、 H 、 C 轴所传递的功率分别为： P1=14kW ， P2=P3=P1/2=7kW.E 、 H 轴转速为 120r/min, 由传动比可计算出 C 轴的转速为： n3=(z1/z2)n1

=3n1=360r/min

再通过公式：n

WM 9549

可以求得各轴所受到的外力矩

M1

M2

M3

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例 15-5 (续 )解： 1 、求各轴横截面上的扭矩：

)(1114120

1495499549

1

111 mN

n

PMT E 轴：

)(557120

795499549

2

222 mN

n

PMT H 轴：

)(7.185360

795499549

3

333 mN

n

PMT C 轴：

2 、求各轴横截面上的最大切应力：)(24.16

702.0

1011143

3

1

1max MPa

W

T

PE

E 轴：

)(28.22502.0

105573

3

2

2max MPa

W

T

PH

H 轴：

)(66.21352.0

107.1853

3

3

3max MPa

W

T

PC

E 轴：

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应力计算习题 15-10 、 11 如图所示 ,已知： M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;

AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa

1 、求此轴的最大切应力

2 、 C 截面相对于 A 截面的扭转角 CA ；

3 、相对扭转角 AB 、 BC ；

解：

1、求最大切应力扭矩图如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根据切应力计算公式

MPaW

T

AB

ABAB 83.48

802.0

1053

6

max

MPaW

T

BC

BCBC 72

502.0

108.13

6

max

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15-11续2、求 C 截面相对 A 截面的扭转角扭转角计算公式：

)(1005.310801.01080

10200105 3439

33

radGI

LT

pAB

ABABBA

)(10510501.01080

10250108.1 3439

33

radGI

LT

PBC

BCBCCB

)(1005.810)505.3( 33 radCBBACA

C 截面相对 A 截面的扭转角为：

3、相对扭转角为：

)/(100.210250

105

)/(10525.110200

1005.3

23

3

23

3

mradL

mradL

BC

BCCB

AB

BAAB

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本节要点扭转圆轴的切应力计算公式：

pI

T 最大切应力公式

pW

Tmax

扭转圆轴的横截面上切应力分布规律

相对扭转角

dxGI

Td

p

单位长度相对扭转角

)( mrad

pGI

T

l

pGI

Tl )(

180180m

pGI

T

l

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作业P269– 15-9– 15-13

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总第 16讲第三讲弯曲梁正应力– 弯曲正应力公式– 弯曲梁截面的最大正应力– 惯性矩的平行轴定理– 平行轴定理应用举例 1– 平行轴定理应用举例 2– 弯曲正应力计算习题 15-14p271– 作业

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第三讲弯曲梁正应力

平面弯曲横力弯曲

纯弯曲

剪力 FQ≠0弯矩 M ≠ 0

剪力 FQ=0

弯矩 M ≠ 0

纯弯曲：平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度

总第总第 1616讲讲

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弯曲正应力公式

纯弯曲正应力公式推导：

如上图 1 、 2 得纵向变形： y

d

ddy

dx

dxbb

)(''

根据胡克定律，可知： y

EE

由图 3 得：

几何关系

物理关系

MdAy 即 zEI

dAyE

dAyM 2

对照以上各式，得： yI

M

z

其中： Iz 为截面对 z 轴的惯性矩

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弯曲梁截面的最大正应力由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正应力应该在其上下边缘：即 |y| 的最大值处 . maxmax y

I

M

z

引入弯曲截面系数 Wz=Iz/ymax ，最大正应力公式为：

zW

Mmax

惯性矩计算：A 定义式： dAyI z 2 B 积分式： Az dAyI 2

矩形截面 Iz 的计算：如图

12)(

322 2

2

bhbdyydAyI

Az

h

h

6

2

2max

bhI

y

IW

h

zzz

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惯性矩的平行轴定理由惯性矩的定义式可知：组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和

即： Iz=Iz1+Iz2+…+Izn=∑Izi

设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b), 如图，则其对坐标轴的惯性矩为：

AbII zcz 2

对于 z 轴的惯性矩：

AaII ycy 2

对于 y 轴的惯性矩：

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平行轴定理应用举例 1工字形截面梁尺寸如图，求截面对 z 轴的惯性矩。解：

可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：

Iz=Iz1+Iz2+Iz3

（ - ）（ + ）（ + ）

)(102433

109

12

9040

1244

4333

1 mmbh

I z

)(1067.1703

108

12

8040

1244

4333

2 mmbh

I z

)(1053.86

108

12

802

1244

3333

3 mmbh

I z

1 23

Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4)

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平行轴定理应用举例 2求图示截面对 z 轴的惯性矩

解：截面可分解成如图组合，A1=300x30=9000mm2

A2=50x270=13500mm2

yc1=-75-15=-90mm

yc2=135-75=60mmA1、 A2 两截面对其型心轴的惯性矩为：I1cz=300x303/12=0.675x106mm4

I2cz=50x2703/12=82.0125x106mm4 由平行轴定理得：I1z= I1cz+yc1

2A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4

I2z= I2cz+yc22A2= 82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4

Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,

A1

A2

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弯曲正应力计算习题 15-14p271

已知： σA=40MPa( 拉 ),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm求： 1) σB, σD ； 2) σmax( 拉）

解：σA=40MPa( 拉 ),y1=10mm; 由公式：

Az

A yI

M

A

A

z yI

M

由于 A 点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：

max

max

yyyyI

M

D

D

B

B

A

A

z

32MPa4010

8σ

y

yσ A

A

BB

MPa120-4010

30σ

y

yσ A

A

DD

最大拉应力在上半部边缘MPa6040

10

15σ

y

yσ A

A

maxmax

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作业P269– 15-15

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总第 17讲

§15-4 弯曲梁的切应力§15-5 弯曲梁的变形

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§15-4 弯曲梁的切应力总第总第 1717讲讲

横力弯曲时，梁的横截面上切应力分布。

横力弯曲时，梁的横截面上切应力计算公式

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例 15-11如图所示，已知 6120柴油机活塞销的外径 D=45mm ，内径d=28mm ，活塞销上的载荷作用尺寸 a=34mm， b=39mm ，连杆作用力 F=88.4kN 。求活塞销的最大正应力和最大切应力。解：

活塞销所受的载荷简化为均布载荷，其均布集度为

mkN

b

Fq 3

31 1027.21039

4.88

mkN

a

Fq 3

32 1030.110342

4.88

剪力图如例 15-11 b）FQmax=44.2kN

弯矩图如例 15-11 c)Mmax=1.18kN.m

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(continue)

36344528343 1075.76.7746)(1451.0)(11.0 mmmDW D

dz

已知活塞销截面为薄壁圆环，那么：

22222 68.9744/)2845(4/)( mmdDA

活塞销的最大正应力为弯矩最大处，即销子中心点：

MPaW

M

z

32.1526.7746

1018.1 6max

max

由切应力近似计算公式可以得出，活塞销的最大切应力为：

MPaA

F7.90

68.974

102.4422

3max

max

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§15-5 弯曲梁的变形梁弯曲变形的概念挠度 ---- 梁的横截面形心在垂直

于梁轴线方向的位移称为挠度，用 w 表示。

正负规定：图示坐标中上正下负转角 ---- 梁的横截面相对于变形

前后初始位置转过的角度，用 θ 表示。

正负规定：逆时针为正，反之为负

挠曲线 ---- 梁在弹性范围弯曲变形后，其轴线变成一条光滑连续曲线，称为挠曲线，其表示式为

转角 θ 与挠度 w 的关系如图所示：θ≈tan θ=dw(x)/dx=w’

即：横截面的转角近似等于挠曲线在该截面处的斜率

w=w(x)

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积分法求梁的变形积分法求梁的变形挠曲线公式简单推导

zEI

xM

x

)(

)(

1

由前可知：而在数学中有： 232)'(1

''

)(

1

w

w

x

略去高阶无穷小，得到：

zEI

xMw

)('' 挠曲线近似微分方程

积分后：

CdxEI

xM

dx

xdw

z

)()(

DxCdxEI

xMw

z

))(

(

式中的积分常数 C 、 D由梁的边界条件和连续条件确定

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积分法求梁的变形举例习题 15-20， q=8kN/m， l=2m， E=210GPa ，求 θmax， wmax；

解：

求 A,B 支座反力

FA=FB=ql/2=8kN

写出梁的弯矩方程（如图b) ： M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2

EIzw’’=M(x)=q(l-x)x/2-------------------(1)

CqxqlxwEI z 6/4/' 32

积分后得到 :

DCxqxqlxwEI z 24/12/ 43

CONTINUE

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习题 15-20 （续）

)(1065.71016601021024

2108

244

89

333

max radEI

ql

z

)(1078.416621384

640

10166010210384

21085

384

5 489

434

max mEI

qlw

z

FINE

边界条件： x=0, w=0 ； D=0 ； x=l , w=0 ； C=-ql3/24

由（ 1 ）可知： θmax 为 M(x)=0 的点；即 x=0 和 x=l 处（ A,B 端

点）θmax=θAmax= － θBmax=C/(EIzz)= － (ql3)/(24EIzz)

w= － qx(l3+x3 － 2lx2)/(24EIz) ；w’=0 ； x=l/2 ； w x=l= － 5ql4/(384EIz)

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叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形叠加法

当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个独立载荷作用时变形的叠加。

理论基础（略）参见教材 P261

常见简单载荷作用下梁的变形教材 P261 。

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叠加法求梁的变形举例习题 15-22

用叠加法求图示梁 B 截面的转角和 C 截面的挠度

zb

zBb

EI

Mlw

EI

Ml

l

16

;3

2

2

zc

zBc

EI

Flw

EI

Fl

l

48

;16

3

2

2

叠加结果为

)316(48

FlMEI

l

z

BcBbB

)3(48

2

FlMEI

l

www

z

CcCbC

查表

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作业P272– 习题 15-21

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总第 18讲16-1 材料拉压时的力学性能16-2 轴向拉压时斜截面上的应力

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§16-1 材料拉压时的力学性能低碳钢拉伸时的力学性能

试件仪器

压力实验机游标卡尺

应力应变曲线比例极限 σp

弹性极限 σe

屈服极限 σs

抗拉强度 σb

滑移线

颈缩

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伸长率和断面收缩率伸长率断面收缩率

塑性材料： δ ≥5% 脆性材料： δ＜ 5%

%1000

01

L

LL

铸铁拉伸铸铁等脆性材料在拉伸时，

变形很小，应力应变曲线图没有明显的直线部分，通常近似认为符合胡克定律。其抗拉强度 σb 是衡量自身强度的唯一指标。

%1000

01

A

AA

Ψ 时衡量材料塑性的一个重要指标

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低碳钢和铸铁压缩时的力学性能低碳钢压缩铸铁压缩

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名义屈服极限对于没有明显屈服阶段的塑性材料，在工程上常以卸载后产生 0.2% 的残余应变的应力作为屈服应力，称为名义屈服极限，用 σP0.2来表示

冷作硬化对于这种对材料预加塑性变形，而使其比例极限或弹性极限提高，塑性变形减小的现象称之为冷作硬化。

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§16-2 轴向拉压时斜截面上的应力轴向拉压横截面正应力计算公式– σ=F/A

对于和横截面有夹角的斜截面，其面积之间有关系式

A=Aαcosα

如图 2： pα=F/ Aα=σcosα 将 pα 向斜截面法向和切

向分解，可得到：σα=pαcosα

τα=pαsinα

如图 3 所示

图 1

图 2

图 3

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斜截面上应力公式即斜截面上应力公式为：

)2cos1(2

cos2 正应力公式为：

2sin2

sincos 切应力公式为：由以上公式可以看出：

在横截面上，即 α=00 时σα=σmax=σ； τ=0

•对于如铸铁这种脆性材料，其抗拉能力比抗剪能力差，故而先被拉断

•对于低碳钢这种塑性材料，其抗拉能力比抗剪能力强，故而先被剪断；而铸铁压缩时，也是剪断破坏。

当 α=450 时：σα=σ/2； τα=τmax=σ/2

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应力状态概念单元体– 围绕某研究点所截取的一个微小六面体，其三个对应

面上的应力情况，就是该点在空间的应力情况。– 主平面

• 切应力等于零的平面– 主应力

• 主平面上对应力的正应力； σ1 ＞ σ2 ＞ σ3; 应力状态

单向应力状态三个主平面上只有一对

主应力不等于零。二向应力状态三向应力状态

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广义胡克定律胡克定律– 当正应力不超过某一极限值时： σ=Eε; ε’= -νε；

广义胡克定律– 设三向应力状态下主应力 σ1 方向的伸长应变 ε1’ ；主应力 σ2 、 σ3 引起

σ1 方向的应变为 ε1’’ 、 ε1’’’ ，结合上式并利用叠加原理则有： ε1=[σ1- ν(σ2 +σ3)]/E ；即：

)]([1

)];([1

)]([1

2133

1322

3211

E

E

E；

这就是广义胡克定律

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二向应力状态斜截面上的应力如图为二向应力状态：

考虑平衡可得到：

2cos2sin2

2sin2cos22

xyx

xyxyx

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强度理论－第一强度理论强度理论– 就是关于材料在不同的应力状态下失效的假设

第一强度理论（最大拉应力理论）★★★★ 只要有一个主应力的值达到单向拉伸时 σ b ，材料就发生屈服；即： σ1＝ σ b ；引入安全系数后，其强度设计准则（强度条件）为：

σr1＝ σ1≤[σ] ，式中： σr1 称为第一强度理论的相当应力； [σ] 为单向拉伸

时的许用应力实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或三向受压等没有拉应力的情况则不适合。

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第二强度理论第二强度理论（最大伸长线应变理论）

– 这一理论认为，最大伸长线应变 ε1达到单向拉伸的极限值 ε1jx ，材料就发生脆性断裂；即： ε1=ε1jx ；或： σ1-ν （ σ2 + σ3 ） /E = σb/E；

– 引入安全系数：其强度设计准则为： σr2= σ1-ν （ σ2 + σ3 ） ≤ [σ]式中： σr2 为第二强度理论的相当应力。

– 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝土等脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂的现象。但是，其实验结果只和很少材料吻合，因此已经很少使用。

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第三强度理论－最大切应力理论第三强度理论（最大切应力理论）★★★★– 材料无论处在什么应力状态下，只要最大切应力 τmax达

到了单向拉伸时切应力屈服极限 τs (= σs /2) ；材料就出现屈服破坏，即：

τmax ＝ (σ1－ σ3)/2;τs=σs/2

其强度设计准则为： σr3 =σ1－ σ3≤[σ]

式中： σr3 称为按第三强度理论计算的相当应力

– 实验证明，这一理论可以较好的解释塑性材料出现塑性变形的现象。但是，由于没有考虑 σ2 的影响，故按这一理论设计构件偏于安全。

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第四强度理论第四强度理论（形状改变比能理论）– 这一理论认为，形状改变比能 Ux 是引起材料发生屈服

破坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态下，只要形状改变比能 Ux达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能 Uxs ，材料就发生屈服破坏。即：(p291)

Ux=Uxs其强度条件为：

式中： σr4 是按第四强度理论计算的相当应力。– 实验证明，第四强度理论比第三强度理论更符合实验结果，因此在工程中得到广泛的应用。

213

232

2214 )()()(

2

1r

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强度理论的适用范围在三向拉伸应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，都会发生断裂，应采用最大拉应力理论，即第一强度理论。在三向压缩应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，都会屈服破坏裂，适于采用形状改变比能理论或最大切应力理论，即第四或第三强度理论。一般而言，对脆性材料宜采用第一、第二强度理论。一般而言，对塑性材料宜采用第三、第四强度理论。

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总第 19讲§17-1 杆件的强度设计准则– 强度失效判断

• 当构件承受的载荷达到一定的大小时，其材料就会在应力状态最危险的一点处发生强度失效。其表现形式如：铸铁拉伸和扭转时的突然断裂、低碳钢拉伸、压缩、扭转时产生的较大的塑性变形等。

• 建立材料的失效判据，是通过对材料的有限试验完成的。如低碳钢材料在拉伸和压缩时，以出现显著塑性变形的屈服极限 σs 或以出现断裂的抗拉强度 σ b 作为材料的失效判据；而铸铁材料在拉伸和压缩时，以出现破坏的抗拉强度 σ b 作为材料的失效判据。

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许用应力和安全系数– 许用应力

• 在工程实际中，为了保证受力构件的安全，用大于 1 的系数除以失效极限应力，做为构件工作应力的极限值，成为许用应力，记做 [σ]：

b

b

s

s

nn

；或

b

b

n

σσ

对于塑性材料：

对于脆性材料：

b

b

s

s

nn

；或

对于扭转时强度失效判断则有：

其中 ns 、 nb 称为塑性材料和脆性材料的安全系数

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强度设计计算– 杆件的强度设计

• 危险截面：可能最先出现强度失效的截面称为危险截面。

• 危险点：可能最先出现强度失效的点称为危险点。

• 强度设计的计算内容：–校核强度–选择截面尺寸– 确定许可载荷

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§17-2 轴向拉压杆件的强度设计拉压杆的强度设计准则为– 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的，而且

各点均为单向应力状态，根据材料的失效判据，拉压杆的强度设计准则为：

][)( maxmax A

FN

式中 σmax 为拉压杆横截面上的最大工作应力 [σ] 为材料的许用应力

1. 对于塑性材料 [σ]= σs/ns

2. 对于脆性材料 [σ] 拉 = σb 拉 /nb;

[σ] 压 = σb 压 /nb；

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总第 20讲拉压杆强度设计对于等截面杆，其强度准则可以写成

][maxmax

A

FN

1 、强度校核 ][max

2 、选择截面尺寸 ][max

NF

A

3 、确定许可载荷 ][max AFN

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例 17-1－强度校核某铣床工作台的近给液压缸如图示，缸内工作压力p=2MPa，液压缸内径D=75mm，活塞杆直径d=18mm，已知活塞杆材料的许用应力 [σ]=50MPa，试校核活塞杆的强度。解：求活塞杆的轴力： NdDpApFN

322 1033.8)(4

横截面上的应力为： ][7.3218

1033.82

4

3

MPaA

FN

活塞杆强度足够

注：在工程中，允许工作应力大于许用应力但不可超出 5 ％。

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例 17-2－选择截面尺寸习题 17－ 3 ，

已知： h=2b， F=40kN， [σ]=100MPa；试设计拉杆截面尺寸 h、 b。

解：求出拉杆的轴力 FN;

FN=F=40kN

拉杆的工作应力 σ＝ FN/A

根据强度准则，有 σ≤[σ], 即 A≥FN/[σ] ；而 A=hb=2b2

所以： 2b2 ≥40×103/100=400mm2

求得： b ≥14.14mm； h=2b=28.28mm

考虑安全，可以取 b=15mm， h=30mm

结束

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例 17-2－选择截面尺寸习题 17－ 3 ，

已知： h=2b， F=40kN， [σ]=100MPa；试设计拉杆截面尺寸 h、 b。

解：求出拉杆的轴力 FN;

FN=F=40kN

拉杆的工作应力 σ＝ FN/A

根据强度准则，有 σ≤[σ], 即 A≥FN/[σ] ；而 A=hb=2b2

所以： 2b2 ≥40×103/100=400mm2

求得： b ≥14.14mm； h=2b=28.28mm

考虑安全，可以取 b=15mm， h=30mm

结束

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例题 17-3－确定许可载荷如左图，已知：木杆面积 A1=104mm2 ， [σ]1=7MPa钢杆面积 A2=600mm2， [σ]2=160MPa,确定许用载荷 [G]。

解： 1 、求各杆的轴力如图 b)列平衡方程，

得

∑Fx=0 － FN1－ FN2cos300=0

∑Fy=0 FN2sin300－ G=0

求解上式，得： FN1= － 1.73G, FN2=2G2 、用木杆确定

[G]由强度准则： σ1 =FN1/A1≤ [σ]1

得： G≤ [σ]1 A1 /1.73=40.4kN

3 、校核钢杆强度即： σ2 =FN2/A2= 2G/A2=80.8×103/600

=134.67MPa<[σ]2

强度足够，故许可载荷 [G]=40.4kN结束

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总第 21讲－弯曲梁的强度计算

梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应力，故有：][)( maxmax

zW

M和 ][max

对于等截面梁，可以写成： ][maxmax

zW

M

对于脆性梁，其抗拉、抗压性能不等时，应分别予以设计。

][

max

max zI

yM

][

max

max zI

yM

通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。弯曲正应力

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例 17－ 6 强度校核图示 T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力 [σ] ＝ 30MPa ，许用压应力[σ] ＝ 60MPa ，截面尺寸如图。截面对形心轴 z 的惯性矩 Iz ＝763mm4，且 y1=52cm 。试校核梁的强度。分析：1、画出梁的弯矩图（确定最大弯矩及其所在截面）

2、求出梁的最大拉应力和最大压应力值

3、校核强度解：1、求支座反力： FA=2.5kN；

FB=10.5kN ，画出弯矩图如 b) ，最大正弯矩在 C 点，最大负弯矩在 B点，即：C 点为上压下拉，而 B点为上拉下压

FA FB

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例 17－ 6 （续 1 ）2 、求出 B 截面最大应力最大拉应力（上边缘）：

最大压应力（下边缘）：

27.26MPa10763

521044

61

z

BB I

yM

MPa13.6410763

881044

62

z

BB I

yM

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例 17－ 6 （续 2 ）3 、求出 C 截面最大应力最大拉应力（下边缘）：

最大压应力（上边缘）：

MPa83.8210763

88105.24

62

z

CC I

yM

MPa04.1710763

52105.24

61

z

CC I

yM

由计算可见：最大拉应力在 C 点且 σCmax=28.83MPa<[σ] ＋ =30MPa

最大压应力在 B 点且 σBmax=46.13MPa<[σ] －＝ 60MPa

故梁强度足够

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例 17－ 7 梁的截面设计简支梁 AB 如图所示，已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa， a=0.2m， l=2m，F=200kN，试选择工字钢型号。

FA FB

解： 1、计算梁的约束力 FA 、 FB;

由于机构对称，所以 FA=FB=210kN

2 、画出梁的剪力图可以看出 FQmax=FA=FB=210kN

3 、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在梁的中点，计算得：Mmax=45kN.m4 、应用梁的弯曲正应力准则选择截面尺寸：

σmax ＝ (Mmax/Wz)≤[σ]

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例 17－ 7续变形可以得出：

3366

25.2811028125.0160

1045

][cmmm

MWz

查附录 C 选取 22a 工字钢，其 Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm ；t=12.3mm 。校核梁的切应力强度：工字钢腹部切应力最大，对应面积 A1=(h-2t)d；则有：

100MPa][143.3MPa5.7)3.122220(

10210 3

1

maxmax

A

FQ

由于切应力大出其许用应力很多，故再选大一号，选 22b 并校核其切应力强度。相应尺寸： h=250,d=10,t=13,那么：

100MPa][93.75MPa10)132250(

10210 3

1

maxmax

A

FQ

切应力强度足够，故选 22b 号工字钢

fine

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总第 22讲

如图所示为一台钻床，分析其立柱上截面 m-m 的内力。

截面法：将立柱假想从 m-m处截开；分析可知，截面 m-m上有内力：

FN－轴力和 M－弯矩称此变形为拉（压）弯组合变形。拉弯组合变形强度计算对于如上所述的组合变形，通常其强度计算采用叠加原理。即横截面上任意一点的正应力为：

z

N

I

yM

A

F max

弯拉

注意：塑性材料脆性材料

拉弯组合强度计算拉弯组合强度计算

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例 17－ 8上钻床的钻削力 F=15kN ，偏心距 e=0.4m ，立柱为铸铁材料，其直径 d=125mm ，许用拉应力 [σ] ＋＝ 35MPa ，许用压应力 [σ] －＝120MPa ，试校核立柱强度

解：

2.最大拉应力：

3.最大压应力：

求立柱 m-m 截面的轴力 FN 和弯矩M：

FN=F=15kN；M=F.e=15×0.4＝ 6kN.m

则有：

30.72MPa1251.0

106

1.22MPa125

1015

3

6max

24

3

z

N

W

M

A

F

弯

拉

MPaMPa 35][94.3122.172.30max 拉弯

MPaMPa 120][5.2922.172.30max 拉弯

立柱强度足够

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例 17－ 10钢板如图所示，试校核强度（不考虑应力集中影响）

已知： F＝ 80kN,b=80,t=10,δ=10,[σ]=140MPa

解：如图 b)； FN＝ F=80kN,

e＝ b/2－ (b-t)/2=80/2－ (80-10)/2=5

M=FNe=400kN.mm

FN 引起的应力

114.3MPa)1080(10

1080

)(

3

tb

F

A

FNF

M 引起的应力

48.98MPa

6

)1080(10

51080

6

)( 2

3

2

tb

eF

W

M

zM

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例 17－ 10 （续）因此，最大拉应力为（上缺口最低点）：

MPaMPaMF

140][3.163

98.483.114max

下边缘应力为：

)(3.65

98.483.114max

拉应力MPaMF

讨论：显然，钢板的强度不够；引起应力增大的原因是偏心距造成的。因此，解决此类问题就是消除偏心距，如左：

正应力分布图如下：

MPaMPatb

F

A

FN 140][3.133)10280(10

1080

)2(

3

max

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总第 23讲

纯扭圆轴横截面切应力分布

圆轴扭转的强度设计准则

等截面圆轴扭转的强度设计准则

][max

max

PW

T

][maxmax

PW

T

[τ] 为许可切应力；通常，对于塑性材料

[τ] ＝（ 0.5~0.6) [σ] ；对于脆性材料：

[τ] ＝（ 0.8~1.0) [σ]

扭转圆轴强度设计扭转圆轴强度设计

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例 17－ 11

某传动轴所传递的功率 P=80kW，其转速 n=580prm，直径 d=55mm，材料的许可切应力 [τ]=50MPa，试校核轴的强度。

解：传动轴的外力偶矩为：

1317.1N.m580

8095499549

n

PM

工作切应力的最大值：

50MPa][39.58MPa552.0

101.1317

2.0 3

3

3max

d

M

Wp

T

强度足够！

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例 17－ 12汽车传动轴由 45 ＃无缝钢管制成。已知：[τ]=60MPa ，若钢管的外径 D＝ 90mm ，管壁厚t=2.5mm ，轴所传动的最大扭矩 M=1.5kN.m. 试： 1、校核传动轴的强度； 2、与同性能实心轴的重量比。

解： 1、校核强度

])(1[2.0

105.1

)1(2.0 423

6

43max

DtD

P DD

M

W

T

带入数据后得： τmax＝ 50.33MPa<[τ]＝ 60MPa; 强度足够

2、设计实心轴直径 D1 （两轴的最大工作切应力相等 )

mmT

D

D

T

W

T

P

03.533.502.0

105.1

2.0

2.0

3

6

3

max

3max

；即3、两轴重量比

21.38590

5322

2

22

21

2

1

dD

D

LA

LA

G

G

空心轴

实心轴

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弯扭组合变形传动机构传动轴

如图 17-13e 为轴 CE段横截面的应力分布；边缘上 a 点为截面的危险点， a 点的应力状态为二向应力状态，如图 f）

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弯扭组合强度计算准则强度公式推导：– 由应力公式（参考教材 P287 <16-10>）

22

min

max )2

(2 x

yxyx

得： 22

3

1 42

1

第三强度理论： σr3 =σ1-σ3≤[σ] 得： 22

3 4r

第四强度理论： .

213

232

2214 )()()(

2

1r

得： 224 3r

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用内力表示的强度准则通常考虑到： ;2;; WzWp

W

T

W

M

pZ

则：

][75.0

][

22

4

22

3

Wz

TM

Wz

TM

r

r

其中： 2222 75.0 TMTM 和称为应用第三和第四强度理论进行强度计算时所对应的相当弯矩

应用第三强度理论时：

应用第四强度理论时：

注意：传动轴为塑性材料传动轴为中心对称的圆轴

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例 17-13图示为圆轴 AB，在轴的右端联轴器上作用有一力偶 M。已知：D=0.5m， F1=2F2=8kN, d=90mm, a=500mm,[σ]＝50MPa，试按第四强度理论设计准则校核圆轴的强度。解：简化机构如图 b)，计算相应值：

M1=(F1-F2)D/2=1kN.m

由第四强度准则，

；强度足够！MPaMPaWz

TMr

50][83.42901.0

)101(75.0)103(75.03

262622

4

；强度足够！MPaMPaWz

TMr

50][43.4901.0

)101()103(3

262622

3

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例 17-14

已知：F1=5kN,F2=2kN,a=200,b=60,d0=100,D=160,α=200;[σ]=80MPa;按第三强度理论设计轴的直径。

解： 1、画出受力图如 b)2、空间力系投影法 xy 面：如 c), 画出弯矩图如 d)

求得： MCz=35N.m

MBz=420N.m

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17-14(续 )xz 面：如图 e), 画出弯矩图如 f)

求得： MCy=480N.m

3、扭矩图如图 h)T=240N.m

4、危险点为 C 点：

mNTT

mNMMM

C

CZCYC

.240

.3.48135480 2222

5、设计轴径：由第三理论得：

)(1023.67801.0

)10240()103.481(

][1.033

2323223 mm

TMd CC

所以：42mmd

;7.401023.673 3

取：mmd

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材力的基本内容总第 24讲

轴向拉伸杆件： ][ lEA

lFl N △△

式中： [△l] 为轴向拉伸的许可伸长量或缩短量。

平面弯曲梁：

][

][

max

max

式中： [ω] 为许用挠度； [θ] 为许用转角。

扭转变形圆轴：

)]([180

)]([

max

max

max

max

m

P

mrad

P

GI

T

GI

T

。

；或

式中： [θmax] 为许用扭转角。

杆件的刚度准则与刚度设计杆件的刚度准则与刚度设计

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例 17-15 P317

飞机系统中的钢拉索，其长度为 l=3m ，承受拉力F=24kN ，弹性模量 E=200GPa ，需用应力 [σ]=120MPa ，要求钢拉索在弹性范围内的许用伸长量 [△l]=2mm ，试求其横截面面积至少应该为多少？

解：钢拉索发生轴向拉伸变形，其轴力为 FN=F=24kN

23

200120

1024

][mm

FA N

1 、由等截面轴向拉伸杆件的强度设计准则，得：

23

33

180210200

1031024

][mm

lE

lFA N

△

2 、由轴向拉压杆件的刚度设计准则，得：

综合上列强度和刚度设计结果，钢拉索的横截面面积至少应该为： 200mm2

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例 17-16如图所示阶梯轴，已知： d1=40mm， d2=55mm， MC=1432.5N.m， MA=620.8N.m 。轴的许用单位长度扭转角 [θ]=20/m ，许用切应力 [τ]=60MPa ，切变模量G=80GPa ，试校核轴的强度和刚度。

解：由阶梯轴的计算简图 b)画出轴的扭矩图 c)，得出 AB 、 BC段的扭矩 mNMTmNMT CBCAAB .5.1432.8.620 ；

显然，在 AB段上 AD段各个截面是危险截面，其最大切应力为：

MPaW

T

pAD

ABAD 5.48

402.0

108.6203

3

max

BC段的最大切应力为：MPa

W

T

pBC

BCBC 05.43

552.0

105.14323

3

max

整个轴的最大切应力

所以轴的强度足够

MPaMPaAD 60][5.48maxmax

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例 17-16(续 )刚度校核 AD段的单位长度扭转角

m

pAD

ABAD GI

T737.1

14.304.01.01080

1808.62018049

BC段的单位长度扭转角

m

PBC

BCBC GI

T121.1

14.3055.01.01080

1805.143218049

因此，轴的最大单位长度扭转角

mmAD 2][737.1max

所以，轴的刚度足够

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例 17-17图示为一等截面空心机床主轴的平面简图，已知其外径 D=80mm, 内径 d=40mm， AB跨度 l=400mm,BC段外伸 a=100mm, 材料的弹性模量E=210GPa; 切削力在该平面上的分力 F1=2kN ，齿轮啮合力在该平面上的分力 F2=1kN ，若主轴 C端的许用挠度 [ω]=0.01mm ，轴承 B 出的许用转角 [θ]=0.001rad ，试校核机床的刚度。

解：机床主轴发生弯曲变形，其惯性矩为：

46

4124

44

1088.1

80

401

64

1080

)1(64

m

DI z

图 b) 为主轴的计算简图，利用叠加原理，计算出 F1 、 F2 单独作用在主轴时 C 端的挠度。

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例 17-17 （续 1 ）F1 单独作用时 C端的挠度

如图 c), 由表 15-3查得 (p261)

m108.44388.1213

10

1088.1102103

10)100400(10100102

3

)()(

6-3

69

3623

21

1

zFC EI

alaF

F2 单独作用时 C端的挠度如图 d), 由表 15-3查得(p261)B点的转角，由几何关系得：

m102.53388.12116

1016

1088.11021016

1010010400101

16)(

6-4

69

3623

22

2

aEI

lFa

zBFC

C端的挠度0.01mm][6mm00.0102.533)443.8()()( -6

21 mFCFCC

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F1 单独作用时 B 点的转角

如图 c),由表 15-3查得p261

m106.75488.1213

1080

1088.1102103

10400100102

3)(

5-4

69

63

11

zFB EI

alF

F2 单独作用时 B 点的转角

如图 d),查表得

m102.53388.12116

1016

1088.11021016

10400101

16)(

5-3

69

623

22

2

zFB EI

lF

B 点的转角0.001rad][104.22110)533.2754.6()()( -5-5

21 radFBFBB

如上计算可知，主轴满足刚度要求。

例 17-17 （续 2 ）

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材力的基本内容总第 25讲

工程上常用于联结构件的螺栓、铆钉、销钉和键等称为联结件常见联结件的失效形式：– 剪切和挤压

连接件的假定计算：– 假定应力是均匀

分布在剪切面和积压面上

联接件的假定计算联接件的假定计算

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剪切的假定计算假定：切应力均匀分布在剪切面上

切应力计算公式：A

FQ FQ — 为剪切面上的剪力；A — 为剪切面面积

剪切强度设计准则： ][ A

FQ

[τ]— 为材料的许用切应力，可由试验得到；通常在剪切假定计算时，可以参考拉伸许用应力 [σ] ，如钢材 [τ]=(0.75)~(0.8)[σ]

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挤压的假定计算有效积压面面积– 挤压接触面为平面– 挤压接触面为曲面

挤压应力

bc

bcc A

F

挤压强度设计准则

][ cbc

bcc A

F

Fbc－为挤压力Abc－为有效积压面面积[σ]－为需用积压应力

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焊接缝的假定计算切应力作用面面积 :

– Amin=δlcos450

45cosl

F

A

F QQ

强度准则 :

][45cos2

l

F

A

FQ

[τ] 为焊缝材料的许用切应力

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胶粘接缝的假定计算假定：

– 假定垂直于胶粘接缝方向和沿接缝方向的应力都同时满足

σ ≤[σ] ；其中： [σ] ＝ σb/nb；

τ ≤[τ] ；其中： [τ] ＝ τb/nb；

σb 、 τb 分别为胶粘接缝破坏时的抗拉强度和抗剪强度；通常由垂直于接缝方向的拉伸试验和平行于接缝方向的剪切试验确定。

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总第 26讲提高弯曲梁承载能

力的措施– 提高弯曲梁强度的措施

• 合理安排载荷和支座

• 选择合理的截面形状

提高杆件承载能力的措施提高杆件承载能力的措施

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总第 26讲－ 1 注意：– 对拉压强

度不同的脆性材料，宜采用上下不对称于中性轴的截面，中性轴位置偏向受拉一侧

等强度梁－－变截面梁

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圆轴扭转提高圆轴扭转承载能力的措施– 合理安排轮系– 选用空心轴

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思考题1. 矩形截面梁的横截面高度增加到原来的两倍，

截面的抗弯能力将增大到原来的几倍？矩形截面梁的横截面宽度增加到原来的两倍，截面的抗弯能力将增大到原来的几倍？

2. 钢梁和铝梁的尺寸、约束、截面、受力均相同，其内力、最大弯矩、最大正应力及梁的最大挠度是否相同？

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Thanks!

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圆、环的 Ip 的计算

o

d ρ

dA

322

2

4

0

3

0

22

2

2

πddρρπ

πρdρ)(ρdAρI

d

d

Ap

对于圆环，上积分式变为：

44

44

32

13232

2 2

2

D

dD

ddAID

dAp

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弯扭组合横截面应力分布图

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第十三章 材力的基本内容

第十三章材力的基本内容