Практикум по решению задач Практикум по решению задач ГЕОМЕТРИЯ ГЕОМЕТРИЯ

ОСНОВНАЯ ШКОЛАОСНОВНАЯ ШКОЛА

МПЛМПЛМурманскМурманск

20092009

Составители:Составители:преподаватели математики МПЛ

Таргонская Наталия Васильевна;Сверчкова Елена Борисовна;Неделько Наталья Григорьевна;Дихтяр Людмила Борисовна.

ПЛОЩАДИПЛОЩАДИ

ТРЕУГОЛЬНИКИТРЕУГОЛЬНИКИ1. Каждая медиана делит треугольник на два

равновеликих треугольника2. Произвольный треугольник:

A

CBaS

R

abcS

rpS

cpbpappS

CabS

ahS a

sin2

sinsin

4

))()((

sin2

12

1

2

3. Прямоугольный треугольник:

2

abS

4. Правильный треугольник

4

32aS

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ

sin2

121 ddS

1. Вписанный в окружность

))()()(( dpcpbpappS

2. Описанный около окружности

rpS

Параллелограмм

sin2

121 ddS

aahS2

1

sinabS

Ромб

aahS

sin2aS 221 dd

S

Прямоугольник

abS sin2

1 2dS

Квадрат

2aS 2

2dS

Трапеция

hba

S

2

sin2

121 ddS

Равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями

2hS

1. Точки M и N лежат на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC.

Найти площадь треугольника CMN, если известно, что

AM=BN=3; AN=7; CM=6

Решение задачРешение задач

Пусть К – середина стороны AB.MN=AN-AM=4AB=AN+BN=10Тогда CK=AK=5MK=AK-AM=2.

По формуле Герона

392

3

2

1

2

3

2

9

2

1322 CMKCMN SS

2. Площадь трапеции ABCD равна S. Основание AB в 3 раза больше основания CD. На боковой стороне выбрана точка К такая, что треугольники ABK и BCK равновелики.

Найти CDKS

K

Проведём отрезок CE ll AD.Пусть h – высота трапеции,

AD

AKtCDx ;

K

)23()1(2)1(;3 txKNtxBEtMNxAB

tSxhtStSSxh ABDABK 4

33

2

12

St

hKNS CKB 4

23

2

1

K

5

3

4

23

4

3

t

tt

1010

1

5

1

5

2 SSxhSS ADCCDK

K

3. Ромб со стороной a и острым углом разделён на три равновеликие части двумя лучами, проведёнными из вершины одного и того же острого угла.

Определить длину отрезков этих лучей, лежащих внутри ромба.

Пусть ABCD ромб, CF и CK делят его S на три равновеликие части.

Поскольку диагональ АС делит площадь ромба пополам, то

ACDCKD SS

S3

2

3

Таким образом, отрезок СК делит площадь треугольника ACD в отношении 1:2 AK:KD = 1:2

(т.е. высоты тр-ков ACK и KCD совпадают). Значит,

ACDACK SS

S2

1

32

1

3

aAK

Пусть O – точкапересечения диагоналей AC и BD

ромба; прямоугольный, а поэтому

По теореме косинусов :

AOD2

cos22

aAOAC

)( ACK

2cos

32cos22

92cos4

cos22

22

222

aa

aa

CAKAKACAKACCK

)cos1213(9

2

a

13cos123

aCK

4. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если меньшее основание равно b, а угол при большем основании равен 60o.

Дополнительное построение:продлим боковые стороныAB и DC до пересечения вточке Е

равносторонний.

Обозначим его сторону через a.Круг, вписанный в трапецию, будет

вписан и в

AED

AED

Поэтому , а потому

EN:EM = 3:1

AEDhr 3

1

Из подобия и

Следует, что , т.е.

AD = 3b. Но тогда

AED BEC

bMCND2

33

2

3

23

33 bbr

22

2

4

3

4

3b

brS

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ ОТРЕЗКИ

В ПРЯМОУГОЛЬНОМ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕТРЕУГОЛЬНИКЕ

II. устно. устно1. Найти 1. Найти CHCH

2. Найти MC

3. Найти AB и BC

4.4.

Найти:а) BH, AB, BC

б)

CBH

ABH

S

S

I I УРОВЕНЬУРОВЕНЬ1. В параллелограмме ,

= 6 см, = 3 см. Найти

ABCD ABBD ADBE

BE AE ABCDS

2.2. ABCD прямоугольник.AB=4, BC=6, Через точку Е проведена прямая,

параллельная AD, до пересечения в точке F со стороной CD.

Найти EF.

ACBE

II II УРОВЕНЬУРОВЕНЬ3. Высота, проведённая из вершины

прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см.

Найдите стороны треугольника.

В каком отношении данная высота делит площадь треугольника?

III III УРОВЕНЬУРОВЕНЬВысота прямоугольного

треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого.

Найдите гипотенузу, если катеты относятся как 6:5

1. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки 4 см и 16 см.

2. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а его проекция на гипотенузу - 4 см. Найти гипотенузу и второй катет.

3. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 18 см и 32 см. Найти катеты треугольника, ,

4. Один катет прямоугольного треугольника равен 4 см, а проекция второго катета на гипотенузу - 6 см.

Найти второй катет и гипотенузу.

P S

5. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найти высоту треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

6. Найти высоту и боковую сторону и площадь равнобедренной трапеции, основания которой 5 см и 13 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

7. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне и равна , а проекция боковой стороны на большее основание равна 4 см.

Найти основания трапеции и её боковую сторону.

53

ОТВЕТЫОТВЕТЫ1. h=82. 16; 3. 30; 40; P=120, S=6004. ; 85. 7,26. 6; 7. 9; 1;

38

34

3252

СВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ СВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ ХОРД, СЕКУЩИХ И ХОРД, СЕКУЩИХ И

КАСАТЕЛЬНЫХКАСАТЕЛЬНЫХ

ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ I I ТИПАТИПА

1. Точка М внутри окружности делит хорду этой окружности на отрезки, равные a и b. Через точку М проведена хорда АВ, делящаяся точкой М пополам.

Найдите АВ.

Обозначим АМ=ВМ=х.По теореме об отрезках

пересекающихся хорд

abxABabxabx 222

2. В точке пересечения одна из хорд делится пополам, вторая – на отрезки 8 см и 2 см.

Найдите длину первой хорды.

8

;

8

;164,22

28

;2

;

2

x

CDx

x

xxx

xMDCMxCD

MDCMBMAM

3. Две хорды окружности пересекаются следующим образом: первая в точке пересечения делится пополам, а вторая делится на отрезки, равные 3 см и 48 см.

Найдите длину первой хорды.

4. Отрезки одной из двух пересекающихся хорд равны 9 и 4, другая равна 15.

Найдите отрезки второй хорды.

ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ II II ТИПАТИПА

1. Из точки М, расположенной вне окружности на расстоянии от центра, проведены касательная МА (А – точка касания) и секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности.

Найдите радиус окружности.

7

Пусть секущая пересекает окружность с центром О в точках В и С (В между С и М). Обозначим через х радиус окружности. Тогда ВС=х и ВМ=2х.

Если АМ – касательная к окружности, то по теореме о касательной и секущей

22 632 xxxCMBMAM

С другой стороны, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ОАМ находим, что

.1

76

722

2222

x

xx

xOAOMAM

2. Из точки А к окружности проведены касательная АВ и секущая, пересекающая окружность в точках С и D.АС > AD.

Найдите длину CD, если АВ=12, АС=18

.10

;18018

;18324144

);18(1814418

;2

CD

CD

CD

CDCDCDACAD

ADACAB

ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ III III ТИПАТИПА

1. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, причём АМ=АС.

Докажите, что продолжения высот АА1 и DD1 треугольников САМ и BDM пересекаются на окружности.

Треугольники САМ и BDM подобны по двум углам. По условию один из них равнобедренный, значит, второй также равнобедренный. Высоты равнобедренных треугольников, проведённые к основанию, являются биссектрисами углов при вершинах, т.е. лучи АА1 и DD1 – биссектрисы равных вписанных углов ВАС и BDC. Каждая из этих биссектрис делит дугу ВС пополам, следовательно, они проходят через одну точку на окружности – середину Р дуги ВС.

2. Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведена прямая, пересекающая окружность в точках В и С.

Найдите длину радиуса окружности, если АВ=3, ВС=5.

1) Для всех секущих,проведённых из внешней точки, произведение длинысекущей на её внешнюю часть –

величина постоянная для данной окружности, поэтому можем записать равенство

АЕ*АК = АВ*АС;

2) АЕ=АО-ОЕ=7-R;AK=7+R;поэтому полученноеравенство имеет вид:

(7-R)*(7+R)=24;

49-R=24; R=25; R=5

R=5

3. Из точки А проведены к окружности секущая, длиной 12 см, и касательная, составляющая

внутреннего отрезка секущей.

Найдите длину касательной.

3

2

1) , так как секущая и касательная проведены из одной внешней точки, то квадрат касательной равен произведению наибольшего отрезка секущей на её внешнюю часть.

ABACAE 2

63

2

99

;032427

;121449

4)4

)12(129

4

3

2)3

);12(12

12)2

2

2

2

2

BCAE

BCa

aa

aaaBC

BCBCBCAE

BCAE

BCBCACAB

ПОДОБИЕПОДОБИЕ

Признаки подобия Признаки подобия треугольниковтреугольников

Два треугольника подобны, если:Два треугольника подобны, если:1. Два угла одного из них соответственно 1. Два угла одного из них соответственно

равны углам другого;равны углам другого;2. Две стороны одного из них 2. Две стороны одного из них

соответственно пропорциональны двум соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонам другого, а углы между этими сторонами равны.сторонами равны.

3. Три стороны одного из них 3. Три стороны одного из них соответственно пропорциональны трём соответственно пропорциональны трём сторонам другого.сторонам другого.

ТеоремаТеорема

Отношение площадей двух Отношение площадей двух подобных треугольников равно подобных треугольников равно

квадрату коэффициента подобияквадрату коэффициента подобия

Обобщённая теорема Обобщённая теорема ФалесаФалеса

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла,

отсекают на них пропорциональные отрезки

Устные задачиУстные задачи

MNKL – прямоугольник

Доказать: ABCNBK ~

ABCD – трапеция

Доказать: DOABOC ~

ABDFCD ~Доказать:

Назвать пропорциональные отрезки

MN ll AC

Найти: AB; AM

Найти: AD

AC = 4 смНайти: AD; DC

Найти: BO:OD ?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧРЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1. Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается на три части.

Докажите, что отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.

MN ll BC

, причём коэффициенты подобия одинаковы, т.к. AM:AB=DN:DC

ABCAMK ~

DCBDNL ~

LNDC

DNBC

AB

AMBCMK

2. Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями a и b проведена прямая, параллельная основаниям.

Найдите отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами трапеции.

Пусть M – точка пересечения диагоналей AC и BD.

AM:MC=AD:BC=a:b,поэтому AM:AC=a:(a+b)

DMABMC ~

Из подобия и находим, что

MX:BC=AM:AC=a:(a+b).

AMX ACB

Поэтому

Аналогично находим MY

ba

abBC

ba

aMX

ba

abXY

ba

abMY

2

3. AA1 и BB1 – высоты остроугольного треугольника ABC.

Докажите, что ,

а

CBBCAA 11 ~

CBAABC 11~

(по двум углам), поэтомуCA1:CB1 = CA:CB

(по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)

CBBCAA 11 ~

CBAABC 11~

4. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны S1 и S2.

Найдите площадь трапеции

K – точка пересечения диагоналей AC и BD

SBKC=S1

SAKD=S2

Из подобия треугольников и следует, что

. Поэтому

BKC DKA

2

1

S

S

AK

CK 1

1

2 SS

SS ABK

Аналогично,

Отсюда находим:

1

1

2 SS

SSDKC

221

1

2121 )(2 SS

S

SSSSS ABCD

5. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S1; S2; S3.

Найдите площадь данного треугольника

Каждый из образованныхтреугольников подобенданному с коэффициентом

,

где S – искомая площадь

S

S

S

S

S

S 321 ;;

ABC

Обозначим стороныэтих треугольников,соответствующихстороне BC ,через a;b;c.

ABC

Тогда a+b+c=BC

.;; 321

BC

c

S

S

BC

b

S

S

BC

a

S

S

Сложив почленно последниетри равенства, получим

1321

BC

cba

S

SSS

Отсюда,

2321

321

)( SSSS

SSSS

Задача (достроение до треугольника)Задача (достроение до треугольника)Точки Точки M M и и N N лежат на боковых сторонах лежат на боковых сторонах

трапеции трапеции ABCD ABCD и и MNMN || || ADAD..НайтиНайти MN, MN, еслиесли BC=a, DA=5a; AM:MB=1:3. BC=a, DA=5a; AM:MB=1:3.

Задача (другое решение)Задача (другое решение)Точки Точки M M и и N N лежат на боковых сторонах трапеции лежат на боковых сторонах трапеции

ABCD ABCD и и MNMN || || ADAD..

НайтиНайти MN, MN, еслиесли BC=a, DA=5a; AM:MB=1:3. BC=a, DA=5a; AM:MB=1:3.

Точка M лежит на боковой стороне AB, точка N - на боковой стороне CD равнобокой трапеции ABCD,

MN ll AD, MN=4, AM:MB=1:3, AN=BN=

Найти основания трапеции

22

РЕШЕНИЕРЕШЕНИЕ

Обозначим основания трапеции a и b

(AD=a; BC=b)1) Пусть BE ll CD и MF ll CD;

EN=BC=bME=4-b; FD=MN=4; AF=a-4

, т.е.

MBEAMF ~BM

AM

ME

AF

abb

a316

3

1

4

4

L

2) Сделаем (рис. б): через точку N проведём .

Обозначим KN=h, тогда по обобщённой теореме Фалеса

ADKL

hKNLNAM

MB

KN

LN33

Пусть

Тогда

Из подобияУстанавливаем , что CL=3KD, а т.к.

CL=SK и , то

ADCS

2

baSD

DNKCNL ~

2

baKDSK

24

baKD

8

baKD

Зная, что b=16-3a, находим

и

228

aba

aAK

aba

bBL2

310

83

3) Используем условие

Из прямоугольных треугольников ANK и BNL по теореме Пифагора

получим: и

22BNAN

22 2

222

a

h

22 )2

310()3(22 ah

Решая эту систему, находим, что

a=5; b=1

Ответ: 5 и 1.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

Квадрат любой стороны треугольника равен

сумме квадратов двух других сторон без

удвоенного произведения этих сторон на косинус

угла между ними.

cos2222 bccba

bc

acb

2cos

222

УТВЕРЖДЕНИЕЕсли ABCD параллелограмм, AB=a;

AD=b; AC=d1; BD=d2, то

2222

21 22 badd

Полезно знать:Полезно знать:

222 222

1acbma

222 222

1bcamb

222 222

1cbamc

222222

4

3cbammm cba

ТЕОРЕМА СИНУСОВТЕОРЕМА СИНУСОВ

Стороны треугольника пропорциональны

синусам противолежащих

углов

sinsinsin

cba

Полезно знать:Полезно знать:

R - радиус описанной около треугольника окружности

Ra

2sin

Rb

2sin

Rc

2sin

Задачи на готовых Задачи на готовых чертежахчертежах

Дано:

Найти: x; y

ABC

I вариант II вариант

150

Дано: ABCD - параллелограмм

Найти: x; y

Решение задачРешение задач

Дано:

Найти: a:c

ABC 30BA

Решение:

Ответ:

120sin

30sin

sinsin c

a

C

c

A

a

3:1: ca

Дано:

R = 4 – радиус описанной окружности

ABC

60A

Найти: BC

Решение:

60sin2260sin

RBCRBC

Ответ: 34BC

Дано: - прямоугольныйAB=9; BC=3AM:MB=1:2

Найти: CM

ABC

Решение:Решение:

Ответ: Ответ:

3

1cos

AB

BCB 3, BCBMC

62:1: BMBMAM

333

1632369cos2222 BBMBCBMBCCM

33CM

Дано: ABCD - трапецияAD=16; CD= . Окружность

проход. через ABCM

Найти: BM

38CDADM

60AMB

Решение: Решение: ABCM - ABCM - трапеция трапеция вписанная в окружность.вписанная в окружность.

Ответ: Ответ: AM=8AM=8

60cos16216)38(

cos2:

60

222

222

ACAC

AADACADACCDACD

BMAC

AMBCAMCMAB

Дано: Окружность проходит через BCNM

, радиус окружностиBC=3AM:MB=2:1; Найти: AM

ABC

3R

30BAC

Решение:Решение:

условиюпротиворечдиаметрMN

иABN

ANBBNCесли

BNCилиBNC

BNC

BNCRBC

.,

90

60120

60120

2

3

32

3sin

sin2

Таким образом,

MCAM

MCA

AMC

CMBтогда

BNC

30

120

60

60

Пусть

по теореме косинусов:

Ответ:

XтогдаMCXMB 2, MBC

32

12249 22 xxxxx

32MCAM

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИЗАДАЧИ

1. Выразить угол между медианой и биссектрисой треугольника, выходящими из одной вершины, через углы треугольника.

2. В треугольнике ABC, O - центр описанной окружности, H - точка пересечения высот (ортоцентр). Доказать, что )(9 22222 cbaROH

a,b,c - стороны BC, AB, AC треугольника ABC

R - радиус описанной около окружности.

3. Основание равнобедренного треугольника равно a, угол при вершине равен . Найти длину биссектрисы, проведённой к боковой стороне.

ABC

Литература:Литература:1. Безрукова Г.К., Мельникова Н.Б., Шевелева Н.Б. ГИА – 2009: Экзамен

в новой форме: Геометрия: 9-й кл.: Тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме – М.: АСТ: Астрель, 2009;

2. Блинков А.Д. Геометрия: Сборник заданий для проведения экзамена в 9 классе – М: Просвещение, 2006;

3. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Геометрия: Задачник к школьному курсу – М.: АСТ – Пресс: Магистр-S, 1998;

4. Рабинович Е.М. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7 – 9. Геометрия. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999;

5. Саврасова С.Н. Ястребинецкий Г.А. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах: Пособие для учителя – М.: Просвещение, 1987;

6. Шестаков С.А. Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс – М.: АСТ: Астрель, 2005.