МАТЕМАТИКА Средняя линия трапеции (несколько способов доказательства)

МАТЕМАТИКАМАТЕМАТИКА

Средняя линия трапеции (несколько способов доказательства)

Выполнила: Гаврилова Алиса Константиновна, обучающая 8-А кл.

БОУ г. Омска «СОШ № 148»

Руководитель работы: Яцюк Клавдия Васильевна, учитель математики БОУ г. Омска «СОШ № 148»

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ Г. ОМСКА

бюджетное общеобразовательное учреждение города Омска«Средняя общеобразовательная школа № 148»

Омск, 2012

Объект исследования: трапеция, средняя линия трапеции.

Цель: показать, что доказательство теоремы о средней линии трапеции с помощью векторов, приведённое в учебнике Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9 классы» не является единственным, что существуют и другие способы доказательства.

Задачи: 1.Изучение научной и учебной литературы по заданной теме. 2.Привести другие способы доказательства теоремы о средней линии трапеции. 3.При доказательстве этой теоремы показать значение других теорем: признаков равенства треугольников, теоремы о параллельности прямых, теоремы о средней линии треугольника, а также следствие из аксиомы параллельных прямых, и определение средней линии треугольника и средней линии трапеции, признаки и определение параллелограмма.

Методы исследования: применение аналитического и синтетического методов доказательства теорем.

2

А можно ли доказать?

Теорема – математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства [3].

Классическая теорема состоит из двух частей: из условия и заключения. Условие обыкновенно начинается со слова «если», а заключение со слова «то».

Исходная теорема называется прямой теоремой

Обратная теорема - если в исходной теореме условие сделать заключением, а заключение – условием.

Если верна прямая теорема, то обратная теорема может быть неверной

Взаимно обратные теоремы - если верны прямая и обратная теоремы

3

Доказательством называется конечная последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из некоторых предыдущих формул этой последовательности по одному из правил вывода [3].

Теоретическая часть

4

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющей середины двух его сторон.Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого. вертикальные.

Прямые a и b параллельны, с –секущая. Пары углов: называются накрест лежащими.

Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны

43;21 ии

43;21 ии

5

Следствие 2° из аксиомы параллельных. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Признак параллелограмма 1°. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.

6

Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 1.

Доказательство.1. Для доказательства из вершины B через точку N проведём прямую BN до пересечения этой прямой с продолжением основания AD в точке .2. Рассмотрим ∆BCN и (как вертикальные) (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и АB секущей CD); CN=ND ( по построению)3. ∆BCN = ( По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). => BC = и BN = .4. По построению MB = AM. Значит, средняя линия трапеции MN является средней линией . По теореме о средней линии треугольника MN II => MN II AD, а AD II BC (по определению трапеции), то MN II BC ( следствие 2 из аксиомы параллельных прямых)(Если две прямые параллельны третье прямой, то они параллельны) и отрезок Теорема доказана.

Дано: ABCD - трапеция, MN - средняя линия трапеции.

Доказать: МN II AD; MN II BC; MN = ( AD + BС) 2

1

21 43 1B

NB1DB1

)(2

1

2

11 BCADABMN

NDB1

NDB1

1ABB 1AB

7

Доказательство.1. Для доказательства возьмём на основании AD точку Е. Из точки Е через точки М и N проведём прямые EM и EN до пересечения этих прямых с продолжением основания BC в точках О и Р соответственно.2. Рассмотрим ∆BOM и ∆MAE. AM = MB (по построению); (как вертикальные); (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых OP и AD секущей АВ) => ∆BOM = ∆MAE (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам) => OB=AE и OM=ME. Аналогично доказывается равенство треугольников PNC и DEN => PC = DE; PN = NE.3. Значит MN также является средней линией треугольника POE. По теореме о средней линии треугольника: MN || OP, а BC || AD (по определению трапеции). => MN || AD ( по следствию 2 из аксиомы параллельных прямых ( если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны). И отрезок MN = OP = (AD+BC). Теорема доказана.



1

2

1

21 43

2

1


8

Доказательство.1. На основании BC возьмём произвольную точку Е. Из точки Е через точки М и N проведём прямые EM и EN до пересечения этих прямых с продолжением основания AD в точках O и Р соответственно.2. Рассмотрим ∆МВЕ и ∆АОМ. (как вертикальные); (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и ОР секущей АВ); АМ=МВ (по построению). => ∆МВЕ =∆АОМ (по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) => ВЕ=ОА и ЕМ = ОМ. Аналогично доказывается равенство треугольников СЕN и PND => EN=NP и EC=PD.3. Значит MN также является средней линией треугольника POE. По теореме о средней линии треугольника MN || OP => MN || AD, а AD || BC (по определению трапеции) => MN || BC (по следствию 2 из аксиомы параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и отрезок Теорема доказана.



1

BCADOPDPADOAMN 2

1

2

1

2

1

21 43


9

Доказательство.1. Для доказательства на продолжении основания АD откладываем отрезок DE=BC. Точку В соединяем с точкой Е. Прямая ВЕ проходит через точку N. В противном случае получается две середины: точки N и N1, а этого быть не может.2. Рассмотрим ∆BCN и ∆DNE. BC=DE (по построению); , (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и АЕ секущими СD и ВЕ соответственно) => ∆BCN = ∆DNE по 2-му признаку равенства треугольников => CN=ND и BN=NE.3. Рассмотрим ∆АВЕ. Т.к. BN=NE и АМ=МВ, то MN также является средней линией треугольника АВЕ. По теореме о средней линии треугольника (средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине) MN || AE, => MN || AD, а AD || BC (по определению трапеции) => MN || BC (следствие 2 из аксиомы параллельных прямых) (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и Теорема доказана.



1

21 43

BCADDEADAEMN 2

1

2

1

2

1


10

Доказательство.1. Для доказательства на продолжении основания ВС отложим A1C=AD, а на AD отложим B1D=BC.Соединим точку А1 с точкой В1. А также продолжим MN до пересечения этой прямой с прямой A1В1 в точке М1.2. Докажем, что точка M1 является серединой A1В1.Соединим вершину В с В1 и докажем, что BВ1 проходит через точку N. Допустим, что BВ1 проходит через точку N. Рассмотрим ∆ВСN и ∆B1ND. ; (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BA1 и АВ1 секущими CD и ВВ1 соответственно). ВС= B1D (по построению ). => ∆BCN=∆B1ND (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам). => BN=B1N, CN=ND=> проходит через точку N. Рассмотрим ∆MBN и ∆M1 B1N. (как вертикальные); ( как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А1В1 секущей ВВ1); BN= В1N( по доказанному) => ∆MBN=∆M1В1N (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам). =>M1 В1 =MB. Так как AM=MB, то M1В1=AM.=> M1 - середина стороны A1В1.



1

21 43

65 87


11

Доказательство продолжение.3. Рассмотрим четырёхугольник ABA1В1. BA1= AВ1 (по построению); BA1 || AВ1 (так как BC || AD по определению трапеции). => AB A1 В1 – параллелограмм. (по признаку параллелограмма 1° (если в четырёх угольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм). Рассмотрим трапецию ABCD и A1В1DC. Они равны по

построению. Значит MN=M1N =>4. По построению AB || A1В1 => AM || B1M1 и MB || A1M1. Т.к. трапеции ABCD и A1В1DC равны, то => MB=M1B1 и AM=A1M1,а так как АМ=МВ и А1М1= M1B1 (по построению), то АМ=МВ= A1M1=M1B1. Значит четырёхугольники МВA1M1 и АМM1B1 – параллелограммы (по признаку параллелограмма 1° (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм).=> BА1||MM1 и BА1=MM1; MM1=AВ1 и MM1 || AВ1 ( как противоположные стороны параллелограмма). =>MN || BC; BC||AD => MN || AD( по следствию два из аксиомы параллельных прямых (если две прямые параллельны третье прямой, то они параллельны).5. Т.к. BA1=MM1, то т.е. А т.к. BA1=ВС+СA1, а CA1 =AD (по построению), то BA1=ВС+AD. Значит Теорема доказана.



1

21BA

MN

21MM

MN


12

1BAMN

BCADBAMN 2

1

2

11

12

Доказательство.1. Для доказательства на продолжении основания AD отложим отрезок DE=BC. А также на продолжении средней линии MN трапеции ABCD отложим отрезок NK=MN. Трапеции MBCN и KNDE будут равны (по построению).2. Т.к. MBCN = KNDE , то КЕ=МВ, МВ=АМ => АМ=КЕ. КЕ||MB => KE||AM. Значит по признаку параллелограмма 1° (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм) четырёхугольник АМКЕ – параллелограмм. => MK=AE и MK||AE (как противоположные стороны параллелограмма) => MN || AD, а AD||BC (по определению трапеции) => MN||BC (по следствию два из аксиомы параллельных прямых)(если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны).3. Рассмотрим параллелограмм АМКЕ. MN=NK, а так как MK=MN+NK=2MN, то Т.к. MK= AE, то А т.к. AE=AD+DE и DE=BC (по построению), то AE=AD+BC

=> , т.е. Теорема доказана.



1

2

AEMN

2

MKMN

2

BCADMN


BCADMN 2

1

13

Доказательство.1. Для доказательства через точку N проведём прямую EK || AB до пересечения этой прямой с продолжением основания ВС в точке Е и с основанием AD в точке К.2. Рассмотрим ∆NEC и ∆NKD; CN=ND (по построению), (как вертикальные); (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BE и AD секущей CD). =>∆NEC=∆NKD (по второму признаку равенства треугольников( по стороне и двум прилежащим к ней углам). => CE=KD и EN=NK.3. Рассмотрим четырёхугольник ABEK. AB || EK (по построению), BC || AD , => BE||AD (по определению трапеции) => четырёхугольник АВЕК – параллелограмм (по определению параллелограмма).=> AB=EK и AB || EK (как противоположные стороны параллелограмма). И EN=NK (из равенства треугольников NEC и NKD (по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а AM=MB (по построению).



1


21 43

Доказательство продолжение.

4. Рассмотрим четырёхугольники MBEN и AMNK. MB = EN и MB|| EN. Значит по первому признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм) четырёхугольник MBEN – параллелограмм. AM=NK и AM||NK => по первому признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм) четырёхугольник AMNK – параллелограмм. => MN=BE и MN=AK; MN||BE и MN||AK (как противоположные стороны параллелограмма) => MN|| BC и MN|| AD.5. Т.к. MN= BE, MN=AK , то MN=BC+CE. Сложив эти равенства, получаем: AD=AK + KD ,

а т.к. KD=CE, то AD=AK+CE => 2MN= AD+BC. Теорема доказана.



1


BCADMN 2

1

14

Заключение

Поставленная цель достигнута. Теорема о средней линии трапеции доказана семью способами с помощью признаков равенства треугольников, теорем о параллельности прямых, теоремы о средней линии треугольника, признаков и определения параллелограмма, а также следствий из аксиомы параллельных прямых и определений средней линии треугольника, средней линии трапеции. Выше изложенные доказательства и моделирование ситуаций помогут мне при решении задач.

15

Литература1. Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов средней

школы». М.: Издательство «Просвещение» 2010 г.

2. Далингер В.А. «Методика работы над формулировкой и доказательством и закреплением теоремы». Омск. Издательство «ОмИПКРО» 1995 г.

3. Математическая энциклопедия под редакцией И.М. Виноградова. М.: Изд. Советская Энциклопедия, 1984 г, том 4 и том 5.

4. Погорелов А.В. «Геометрия 7-11. Учебник для 7-11 классов средней школы». М.: Издательство «Просвещение» 2010 г.

5. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика/ Глав. ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2000 г.

6. Якушева Г.М. «Математика. Справочник школьника». М.: Издательство «Слово» 1995 г.

7. Якушева Г.М. «Решение задач по математике. Справочник школьника». М.: Издательство «Слово». 1996 г.

16

17

Documents

МАТЕМАТИКА Средняя линия трапеции (несколько способов доказательства)