Embed Size (px)
DESCRIPTION
Методы обработки наблюдений. А.С.Цветков СПбГУ. Измерение. Математическое ожидание. Закон распределения случайной величины. Нормальное распределение. Начальные и центральные моменты. – начальный момент k- го порядка. – центральный момент k- го порядка. Вычисление центральных моментов. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
Методы обработки наблюдений
А.С.Цветков
СПбГУ
2
Измерение
1 2, , , nx x x
1 2, , , nx x x
3
Математическое ожидание
1
1 n
ii
x xn
M x x
1 2 1 2M X X M X M X
M aX aM X
1 2 1 2M X X M X M X
4
Закон распределения случайной величины
5
Нормальное распределение
6
Начальные и центральные моменты
1
1 nk
k ii
xn
– начальный момент k-го порядка
11
1 nk
k ii
xn
– центральный момент k-го порядка
7
Вычисление центральных моментов
1 0 2
2 2 1 3
3 3 1 2 13 2
2 44 4 1 3 1 2 14 6 3
8
Смысл моментов
1 M x
22
31 3
42 4
3
Математическое ожидание
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
9
Дисперсия – центральный момент 2-го порядка
2
1
1 n
n ii
D x x xn
2
1
1
1
n
ii
Dx x xn
– выборочная или смещенная дисперсия
– несмещенная (исправленная) дисперсия
1 n
nDx D x
n
2
12
1
1
nn ii
ii
xx
nD
n
10
Среднеквадратическое отклонение (среднеквадратичное отклонение)
2
1
1 n
n n ii
D x x xn
22
1
1
1 1
n
n ii
nDx x x
n n
Стандартное отклонение
11
Правило 3-х сигм
42 4
3
x x
3 ; 3x x x
x x
– с вероятностью 99.73%
12
Асимметрия и эксцесс
33
As
44
3Ex
13
Коэффициент корреляции
,i iX Y Пусть задано две случайных последовательности
2 2
covXYXY
X Y
X X Y YR
X X Y Y
Коэффициент корреляции меняется в диапазоне от –1 до +1
14
Линейная алгебра
Справка
15
Векторы и матрицы
1
2
N
t
t
t
t
11 12 1
21 21 2
1 2
ˆ
N
N
N N NN
a a a
a a a
a a a
A
Вектор в N-мерном пространстве
Матрица N×N
16
Скалярное произведение векторов
1
2
N
x
x
x
x
1
2
N
y
y
y
y
1 1 2 21
N
N N i ii
x y x y x y x y
x y
17
Произведение матрицы на вектор
1
2
N
x
x
x
x
11 12 1
21 21 2
1 2
ˆ
N
N
N N NN
a a a
a a a
a a a
A
ˆ y A x
1
N
i ij jj
y a x
18
Произведение матрицы на матрицу
21 21
1 12
1 2
2
1 1N
N
N N NN
a a a
a a a
a a a
A
1
N
ij ik kjk
c a b
12
21
11 1
21 2
1 2
N
N
N NNN
b b
b b
b
b
bb b
B
C A B
19
Единичная и обратная матрицы
11 1
1
N
N NN
a a
a a
A
1
1 0
0 1
A A E
20
Метод Гаусса нахождения обратной матрицы
11 1
1
1 0
|
0 1
N
N NN
a a
a a
A E
1 111 1
1 11
1 0
|
0 1
N
N NN
a a
a a
-1E A
21
Метод наименьших квадратов
К.Ф. Гаусс (1795)
А.М. Лежандр (1805)
22
Метод наименьших квадратов
В процессе обработки экспериментальных данных исследователи сталкиваются с задачей решения избыточной системы линейных уравнений, т.е. такой системы, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.
Эта задача возникает в случае согласования параметров модели наблюдениям, что может быть показано графически: следует провести кривую известной формы так, чтобы сумма квадратов отклонений ее от наблюдательных точек была минимальна.
23
Постановка задачи
( )y f t i it y
1
N
j jj
x
t
Неизвестная функция
Модель в виде базисных функций
1, ,j N
M N
1, ,i M
M – число наблюдений
N – число неизвестных параметров модели
24
Матрица системы избыточных уравнений
1 1
MN
j j i ij i
x y
t 1 1
MN
j j i i ij i
x y
t
ij j ia t1 1
MN
ij j i ij i
a x y
A x y
25
Матрица нормальной системы
2
1
minM
ii
21 2
1
, , ,M
i Ni
f f x x x
x
1 2
1
, , ,0
N
N
k k
f x x x
x
1
N
i i ij jj
y a x
2
1 1
1
0
NM N
i ij ji j
k
k
y a x
x
1 1
1
0
NM N
i ij j iki j
k
y a x a
26
Матрица нормальной системы
1 1 1 1
NM N M
ij ik j ik ii j i k
a a x a y
Bx c
1
M
kj ij iki
b a a
1
M
j ij ii
c a y
1x B c
27
Ошибки найденных параметров2
2
1
M N
ij j ii j
a x y
2
M N
Сумма квадратов «невязок»
Ошибка «единицы веса»
1j jjb
Среднеквадратичные ошибки искомых параметров
j jx
28
Коэффициенты корреляции между параметрами
1
1 1
ijij
ii jj
br
b b
Диагональные элементы этой симметрично матрицы равны 1, а не диагональные показывают взаимную корреляцию i-го и j-го параметров
29
Примерная реализация МНК на языке FORTRAN
Subroutine LSQM(a,y,w, x,d, s, r)
! m - количество уравнений! n - количество неизвестных! a(m,n) - матрица плана! y(m) - столбец правых частей, w(m) - столбец весов;! x(n) - ответ, d(n) - среднеквадратичные ошибки x;! s - среднеквадратичная ошибка единицы веса;! r(n,n) - корреляционная матрица.
real(8), intent(in) :: a(:,:), y(:), w(:)real(8), intent(out) :: x(:), d(:), s, r(:,:)
integer i,j,k real(8) :: u real(8) :: c(size(x))
integer :: m,n
m=size(a, dim=1)n=size(a, dim=2)
30
do i=1,n
! Заполнение матрицы нормальной системыdo j=1,i
u=0.0 do k=1,m
u=u+a(k,i)*a(k,j)*w(k) end do
r(i,j)=u; r(j,i)=u end do
! Заполнение столбца нормальной системыu=0.0
do k=1,m u=u+a(k,i)*y(k)*w(k) end do c(i)=u
end do
31
! Решение системы call Invert(r)
call Multiply(r,c,x)
! Сумма квадратов невязок s=0.0 do k=1,m u=0.0
do i=1,n u=u+a(k,i)*x(i)
end do s=s+(u-y(k))**2 * w(k)
end do
! Ошибка единицы веса s=sqrt(s/(m-n))
! Ошибки параметровdo i=1,n
d(i)=s*sqrt(r(i,i))end do
32
! Вычисление корреляционной матрицыdo i=1,n
do j=1,i-1 r(i,j)=r(i,j)/sqrt(r(i,i)*r(j,j)) r(j,i)=r(i,j) end do
end do do i=1,n r(i,i)=1.0_8
end do
