Про особливості Про особливості підготовки учнів підготовки учнів

до державної до державної підсумкової атестації та підсумкової атестації та

ЗНО ЗНО з математики з математики

у 2008-2009 н.р.у 2008-2009 н.р.

Розподіл завдань тесту Розподіл завдань тесту відповідно до програмових вимогвідповідно до програмових вимог

((ЗНО 2008ЗНО 2008))

Навчальний Навчальний предметпредмет

ЗмістЗміст Кількість завданьКількість завдань

Частина Частина 11

Частина 2Частина 2 Частина Частина 33

%%

Алгебра і Алгебра і початки початки аналізуаналізу

Числа і виразиЧисла і вирази 88 11

22

2525

Рівняння і нерівностіРівняння і нерівності 55 33 2244

ФункціїФункції 66 11 2244

Елементи Елементи комбінаторики, комбінаторики, початки теорії початки теорії ймовірності та ймовірності та елементи статистикиелементи статистики

22 11 -- 88

ГеометріяГеометрія

ПланіметріяПланіметрія 22 11 88

СтереометріяСтереометрія 22 11 11 1111

Розподіл результатів ЗНО з математики 2007 року

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64

Кількість балів

Кіл

ькі

сть

уч

нів

Зовнішнє незалежне оцінювання 2008 Дані про розподіл тестових балів з математики

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54

Завдання № 12Завдання № 12 2007 2007 рокуроку(розв’язали завдання 16% випускників)(розв’язали завдання 16% випускників)

Розв’яжіть нерівністьРозв’яжіть нерівність

Завдання № 14Завдання № 14 200 20088 рокуроку(розв’язали завдання 17% випускників)(розв’язали завдання 17% випускників)

Розв’яжіть нерівністьРозв’яжіть нерівність

x1,01,0 log10log .

0,5 0,5log 5 log x

Це не вгадування, Це не вгадування, а спроба розва спроба розв’’язувати!язувати!

РозвРозв’’язування рівнянь язування рівнянь і нерівностейі нерівностей

Завдання 1 і 2 частин ЗНО

(чи ДПА)

Завдання 3 частини ЗНО

(чи 3 і 4 частин ДПА)

Тільки точні методиТочні і наближені методи

(зокрема, графічний)

Відкриті завданняВідкриті завдання

Задача 3Задача 355

Розв’яжіть систему нерівностейРозв’яжіть систему нерівностей

Схема оцінюванняСхема оцінювання

Якщо учень правильно розвЯкщо учень правильно розв’’язав першу нерівність, язав першу нерівність, то він одержує то він одержує 1 бал.1 бал.

Якщо учень правильно розвЯкщо учень правильно розв’’язав другу нерівність, язав другу нерівність, то він одержує ще то він одержує ще 2 бали. 2 бали. ( якщо учень правильно ( якщо учень правильно перейшов від показникової до ірраціональної перейшов від показникової до ірраціональної нерівності то він одержує нерівності то він одержує 1 бал,1 бал, якщо учень якщо учень правильно розвправильно розв`̀язав ірраціональну нерівність, то язав ірраціональну нерівність, то він одержує ще він одержує ще 1 бал.1 бал.

Якщо учень правильно записав розв’язок системи, Якщо учень правильно записав розв’язок системи, то він одержує ще то він одержує ще 1 бал.1 бал.

Тобто, якщо учень правильно розвТобто, якщо учень правильно розв’’язав систему язав систему нерівностей, то він одержує нерівностей, то він одержує 4 бали.4 бали.

Задача 3Задача 366Задано функцію Задано функцію . .

1)1) Знайдіть проміжки зростання та Знайдіть проміжки зростання та

спадання функції, екстремуми спадання функції, екстремуми функції.функції.

22)) Побудуйте ескіз графіка Побудуйте ескіз графіка функції.функції.

33)) Знайдіть кількість коренів Знайдіть кількість коренів рівняння рівняння f (x) = af (x) = a, залежно від , залежно від значення параметра значення параметра aa..

Схема оцінюванняСхема оцінювання Якщо учень правильно знайшов похідну і критичні Якщо учень правильно знайшов похідну і критичні

точки, він одержує точки, він одержує 1 бал1 бал.. Якщо учень правильно записав проміжки Якщо учень правильно записав проміжки

зростання і спадання функції, він одержує ще зростання і спадання функції, він одержує ще 1 1 балбал..

Якщо учень правильно знайшов екстремуми Якщо учень правильно знайшов екстремуми функції, то він одержує ще функції, то він одержує ще 1 бал.1 бал.

Якщо учень правильно побудував ескіз графіка Якщо учень правильно побудував ескіз графіка функції, то він одержує ще функції, то він одержує ще 1 бал.1 бал.

Якщо учень правильно дослідив кількість коренів Якщо учень правильно дослідив кількість коренів рівняннярівняння ff (x) = a(x) = a, залежно від значень параметра , залежно від значень параметра аа, то він одержує ще , то він одержує ще 2 бали2 бали. .

Якщо учень указав не всі значення параметра Якщо учень указав не всі значення параметра аа, , то він одержує лише то він одержує лише 1 бал1 бал..

Тобто якщо учень правильно розвТобто якщо учень правильно розв’’язав завдання, язав завдання, він одержує він одержує 6 балів.6 балів.

Якщо виконується Якщо виконується розв’язування рівняннярозв’язування рівняння,, то до ключових моментів можнато до ключових моментів можна віднести основні етапивіднести основні етапи

відповідного розв’язування. Зокрема,відповідного розв’язування. Зокрема, якщо для розв’язування використовуються якщо для розв’язування використовуються

рівняння-наслідкирівняння-наслідки, то до запису розв’язання повинна входити, то до запису розв’язання повинна входитиперевірка одержаних коренівперевірка одержаних коренів,, якщо ж використовуються якщо ж використовуються рівносильні перетвореннярівносильні перетворення

рівняння, то до запису розв’язання повинно входити рівняння, то до запису розв’язання повинно входити врахування ОДЗврахування ОДЗ заданого рівняння. заданого рівняння.

Слід мати на увазі, що врахувати ОДЗ заданого рівняння Слід мати на увазі, що врахувати ОДЗ заданого рівняння можна одним із трьох способів: 1) записати ОДЗ і розв’язати можна одним із трьох способів: 1) записати ОДЗ і розв’язати всі одержані обмеження; 2) записати ОДЗ, не розв’язувати всі одержані обмеження; 2) записати ОДЗ, не розв’язувати одержані обмеження, але в кінці підставити одержані корені одержані обмеження, але в кінці підставити одержані корені в обмеження ОДЗ і з’ясувати, задовольняє чи не в обмеження ОДЗ і з’ясувати, задовольняє чи не задовольняє розглядуваний корінь усім обмеженням ОДЗ; задовольняє розглядуваний корінь усім обмеженням ОДЗ; 3) зовсім не записувати обмеження ОДЗ до розв’язання, 3) зовсім не записувати обмеження ОДЗ до розв’язання, але записати пояснення, що ОДЗ заданого рівняння було але записати пояснення, що ОДЗ заданого рівняння було враховано автоматично в наведеному розв’язуванні.враховано автоматично в наведеному розв’язуванні.

Також слід враховувати, що іноді Також слід враховувати, що іноді рівносильні перетворення доводиться рівносильні перетворення доводиться виконувати виконувати не на всій ОДЗ заданого не на всій ОДЗ заданого рівняння, а на тій її частині, у якій рівняння, а на тій її частині, у якій знаходяться коренізнаходяться корені заданого рівняння заданого рівняння в цьому випадку про це також в цьому випадку про це також повинно бути записано в розв’язанні.повинно бути записано в розв’язанні.

Якщо Якщо для розв’язування рівняння для розв’язування рівняння використовуються властивості функційвикористовуються властивості функцій, то до , то до запису розв’язання слід включити запису розв’язання слід включити обґрунтування відповідних властивостей обґрунтування відповідних властивостей функційфункцій; при цьому, для обґрунтування ; при цьому, для обґрунтування зростання або спадання функції чи для зростання або спадання функції чи для оцінки області значень функції може оцінки області значень функції може використовуватися похідна.використовуватися похідна.

Аналогічно, при записі Аналогічно, при записі розв’язування розв’язування нерівностінерівності ключові моменти розв’язування ключові моменти розв’язування пов’язані з вибраним методом розв’язування пов’язані з вибраним методом розв’язування

(рівносильні перетворення чи загальний (рівносильні перетворення чи загальний метод інтервалів). метод інтервалів).

ДПА в. 94 (4.2)ДПА в. 94 (4.2)

РозвРозв’’яжіть рівнянняяжіть рівняння

3 4 1x x

XX=0, =0, XX=2 =2 - корені- корені

3 4 1 0x x

Завдання 38 Завдання 38 6 6 балівбалів

РозвРозв’’яжіть рівнянняяжіть рівняння

2(2(tgtg2 2 x x + ctg+ ctg2 2 xx+2+2) + ) + aa2 2 = 3= 3aa((tgtg x x + ctg + ctg xx),),

, де n Z n

якщо x

2

Схема оцінюванняСхема оцінювання 1. Якщо учень 1. Якщо учень ввів заміну (*) (чи якусь іншу), звів задане рівняння до ввів заміну (*) (чи якусь іншу), звів задане рівняння до

квадратного і правильно розвквадратного і правильно розв’’язавязав його, то він його, то він одержує 1 балодержує 1 бал.. 2. Якщо учень 2. Якщо учень правильно записав тільки розвправильно записав тільки розв’’язки рівняння (1)язки рівняння (1) (без обмежень (без обмежень

для параметра), то він для параметра), то він одержує ще 1 балодержує ще 1 бал.. Якщо учень Якщо учень правильно записав і розвправильно записав і розв’’язки рівняння (2)язки рівняння (2) (без обмежень для (без обмежень для параметра), то він параметра), то він одержує ще 1 балодержує ще 1 бал.. Якщо учень Якщо учень правильно записав і обмеження на параметр правильно записав і обмеження на параметр для рівнянь (1) і (2)для рівнянь (1) і (2), то він , то він одержує ще 1 балодержує ще 1 бал..

3. Якщо учень 3. Якщо учень правильно записав усі розвправильно записав усі розв’’язки заданого рівняння язки заданого рівняння (див. (див. відповідь в розв відповідь в розв ’’язанні), то він язанні), то він одержує ще 2 балиодержує ще 2 бали.. Якщо учень у відповіді записав усі розв Якщо учень у відповіді записав усі розв’’язки заданого рівнянняязки заданого рівняння, але не , але не виділив, при яких значеннях параметра рівняння має різну кількість коренів виділив, при яких значеннях параметра рівняння має різну кількість коренів (див. відповідь в розв (див. відповідь в розв ’’язанні), то він язанні), то він одержує тільки 1 бал за відповідьодержує тільки 1 бал за відповідь.. Якщо учень не вказує, що на проміжку (-2;2) коренів немає, алена всіх Якщо учень не вказує, що на проміжку (-2;2) коренів немає, алена всіх інших проміжках відповідь вказана правильно, то загальна кількість балів за інших проміжках відповідь вказана правильно, то загальна кількість балів за завдання не зменшується.завдання не зменшується.

Тобто за правильно розвТобто за правильно розв’’язане завдання учень одержує 6 балів.язане завдання учень одержує 6 балів. Якщо учень при розвЯкщо учень при розв’’язуванні квадратного рівняння допустив помилку, яка язуванні квадратного рівняння допустив помилку, яка

призвела до відповідної помилки при записуванні відповіді, то загальний бал призвела до відповідної помилки при записуванні відповіді, то загальний бал зменшується на 1 бал (при умові правильного ходу розв зменшується на 1 бал (при умові правильного ходу розв ’’язування цього язування цього завдання). завдання).

Схема оцінювання.Схема оцінювання. Якщо учень виконав заміну 3Якщо учень виконав заміну 3хх = = tt,, вказав вказав

обмеження обмеження t t > 0 і одержав нерівність (1), то він > 0 і одержав нерівність (1), то він одержує одержує 1 бал1 бал..

Якщо учень дослідив випадок Якщо учень дослідив випадок аа = 0, то він одержує = 0, то він одержує ще ще 1 бал1 бал..

Якщо учень відзначив, що при Якщо учень відзначив, що при а а 0 умова задачі не 0 умова задачі не може виконуватися (або обґрунтував, що умова може виконуватися (або обґрунтував, що умова може виконуватися тільки при може виконуватися тільки при a a > 0), то він одержує > 0), то він одержує ще ще 1 бал1 бал..

За кожен з правильно досліджених випадків при За кожен з правильно досліджених випадків при a a > 0 (> 0 (D D 00, , D D == 0 0, , D D 0 0) учень одержує по ) учень одержує по 1 балу 1 балу (тобто ще 3 бали).(тобто ще 3 бали).

За правильне розв’язання завдання учень одержує За правильне розв’язання завдання учень одержує 6 балів.6 балів.

Геометрія. Геометрія. СТЕРЕОМЕТРІЯСТЕРЕОМЕТРІЯОбгрунтовується тільки те, Обгрунтовується тільки те,

що буде використано в що буде використано в розврозв’’язанніязанні

Задачі, повЗадачі, пов’’язані з многогранникамиязані з многогранниками 1. Обґрунтувати положення висоти многогранника.1. Обґрунтувати положення висоти многогранника. 2. Обґрунтувати, що просторові кути і просторові 2. Обґрунтувати, що просторові кути і просторові

відстані позначені правильно.відстані позначені правильно. 3. Якщо розглядається переріз многогранника, то 3. Якщо розглядається переріз многогранника, то

обґрунтувати його форму (якщо ця форма обґрунтувати його форму (якщо ця форма використовується для розввикористовується для розв‘‘язування)язування)

4. Якщо розглядається комбінація многогранника та 4. Якщо розглядається комбінація многогранника та тіла обертання, то описати взаємне розміщення їх тіла обертання, то описати взаємне розміщення їх елементів.елементів.

5. На кожному кроці розв5. На кожному кроці розв’’язування вказуємо, з якого язування вказуємо, з якого трикутника визначаємо елементи і, якщо він трикутника визначаємо елементи і, якщо він прямокутний, пояснюємо чому прямокутний, пояснюємо чому

36. Основою піраміди 36. Основою піраміди SABCD SABCD є квадрат є квадрат ABCDABCD. . Грань Грань SADSAD -- правильний трикутник, площина правильний трикутник, площина якого перпендикулярна до площини основи. якого перпендикулярна до площини основи. Знайдіть кут нахилу грані Знайдіть кут нахилу грані SBCSBC до основи.до основи.

36. Основою піраміди 36. Основою піраміди SABCD SABCD є є квадрат квадрат ABCDABCD. . Грань Грань SADSAD -- правильний трикутник, площина правильний трикутник, площина якого перпендикулярна до якого перпендикулярна до площини основи. Знайдіть кут площини основи. Знайдіть кут нахилу грані нахилу грані SBCSBC до основи.до основи.

S

A B

CD

36. Основою піраміди 36. Основою піраміди SABCD SABCD є є квадрат квадрат ABCDABCD. . Грань Грань SADSAD -- правильний трикутник, площина правильний трикутник, площина якого перпендикулярна до якого перпендикулярна до площини основи. Знайдіть кут площини основи. Знайдіть кут нахилу грані нахилу грані SBCSBC до основи.до основи.11. Пл. . Пл. SADSAD пл. пл. ABCDABCD. .

Проведемо Проведемо SSО О ADAD,,

тоді тоді SSО О пл. пл. ABCDABCD, , тобто тобто SSО – О – висота висота піраміди.піраміди.

S

A B

CD

О

36. Основою піраміди 36. Основою піраміди SABCD SABCD є квадрат є квадрат ABCDABCD. . Грань Грань SADSAD -- правильний правильний трикутник, площина якого трикутник, площина якого перпендикулярна до площини основи. перпендикулярна до площини основи. Знайдіть кут нахилу грані Знайдіть кут нахилу грані SBCSBC до до основи.основи.

11. Пл. . Пл. SADSAD пл. пл. ABCDABCD. . Проведемо Проведемо SSО О ADAD,, тоді тоді SSО О пл. пл. ABCDABCD, , тобто тобто SSО – О – висота піраміди.висота піраміди. 2. Проведемо 2. Проведемо ОМ ОМ BCBC, тоді , тоді SS М М BCBC (за теоремою(за теоремою про три перпендикуляри), отже, про три перпендикуляри), отже, SS М О М О – лінійний– лінійний кут двогранного кута при ребрі кут двогранного кута при ребрі BCBC, тобто кут, тобто кут нахилу грані нахилу грані SBCSBC до основи.до основи. 3. Нехай 3. Нехай ADAD = х (х = х (х > 0)> 0). З правильного трикутника . З правильного трикутника SADSAD його висота його висота SSО О = = . Враховуючи, що . Враховуючи, що ABCDABCD - квадрат і - квадрат і ОМ ОМ BCBC, одержуємо, що , одержуємо, що ОМ ОМ = = х.х.4. З прямокутного трикутника 4. З прямокутного трикутника SSОМОМ ((SSО О пл. пл. ABCDABCD): тоді): тоді

Схема оцінюванняСхема оцінювання1. 1. Якщо учень правильно вказав висоту піраміди (з посиланням на перпендикулярність площин Якщо учень правильно вказав висоту піраміди (з посиланням на перпендикулярність площин SADSAD іі

ABCDABCD), то він одержує ), то він одержує 1 бал.1 бал. 2.2. Обґрунтування лінійного кута двогранного кута оцінюється Обґрунтування лінійного кута двогранного кута оцінюється 1 балом.1 балом.3.3. Правильне вираження обох відрізків Правильне вираження обох відрізків SSОО і і ОМ ОМ через сторону квадрата оцінюється через сторону квадрата оцінюється 1 балом.1 балом.4.4. Якщо учень правильно знайшов Якщо учень правильно знайшов SSМО МО (або якусь його тригонометричну функцію), (або якусь його тригонометричну функцію), то він одержує ще то він одержує ще 1 бал.1 бал.

За правильне розвЗа правильне розв’’язання завдання учень одержує 4 бали.язання завдання учень одержує 4 бали.

3

2

x

S

A B

CD

332

2tg

xSO

SMOOM x

3

2SMO arctg

О М

Основою прямокутного паралелепіпеда є Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат квадрат ABCD ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро зі стороною 3 см. Бічне ребро AAAA11 дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину через вершину AA перпендикулярно до прямої перпендикулярно до прямої BABA11

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

Основою прямокутного паралелепіпеда є Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат квадрат ABCD ABCD зі стороною 3 см. Бічне ребро зі стороною 3 см. Бічне ребро AAAA11 дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину через вершину AA перпендикулярно до прямої перпендикулярно до прямої BABA11

I I Спосіб одержання перерізуСпосіб одержання перерізу

1. Користуючись тим, що 1. Користуючись тим, що BABA1 1

, одержуємо, що , одержуємо, що проходитьпроходить через через ADAD і і AMAM BABA1 1 ..

IIІІ Спосіб одержання перерізуСпосіб одержання перерізу

1. Побудувати 1. Побудувати AMAM BABA1 1 , ,

провести через провести через AMAM і і ADAD площину площину і довести, що і довести, що BABA1 1 ..

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

MN

I I Спосіб початку обґрунтування Спосіб початку обґрунтування Оскільки Оскільки BABA1 1 , то пряма , то пряма AMAM перетину перетину

площин площин і і AAAA11BB11BB перпендикулярна до перпендикулярна до BABA11

((AMAM BABA11))

Враховуючи, що Враховуючи, що ADAD AAAA11 BB11BB , одержуємо , одержуємо ADAD

BABA1 1 . Але . Але BABA11 , отже, , отже, ADAD лежить в площині лежить в площині

(тобто (тобто проходитьпроходить через через ADAD і і AMAM BABA11 ) )

IIІІ Спосіб початку обґрунтування Спосіб початку обґрунтування Проведемо в площині Проведемо в площині AAAA11BB11BB

AMAM BABA1 1

Через Через AMAM і і ADAD проведемо проведемо

площину площину . Доведемо, що . Доведемо, що BABA1 1 ..

ADAD AAAA11 BB11BB , отже , отже ADAD BABA1 1 . .

Враховуючи, що заВраховуючи, що за

побудовою побудовою AMAM BABA11 ,,

одержуємо одержуємо BABA1 1 ..

Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD ABCD зі стороною 3 см. зі стороною 3 см. Бічне ребро Бічне ребро AAAA11 дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину площиною, що проходить через вершину AA перпендикулярно до прямої перпендикулярно до прямої BABA11

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

M

A

A1 B1

B

M

I I Спосіб одержання перерізуСпосіб одержання перерізу1. Оскільки 1. Оскільки BABA1 1 , то пряма , то пряма AMAM перетину перетину

площин площин і і AAAA11BB11BB перпендикулярна до перпендикулярна до BABA11

((AMAM BABA11). Враховуючи, що ). Враховуючи, що ADAD AAAA11BB11BB , ,

одержуємо одержуємо ADAD BABA1 1 . Але . Але BABA11 , отже, , отже, ADAD

лежить в площині лежить в площині (тобто(тобто проходитьпроходить через через ADAD і і AMAM BABA11 ). ).

2. Оскільки площини протилежних бічних граней 2. Оскільки площини протилежних бічних граней прямокутного паралелепіпеда попарно прямокутного паралелепіпеда попарно паралельні, то відповідні прямі їх перетину з паралельні, то відповідні прямі їх перетину з площиною площиною теж будуть попарно паралельні: теж будуть попарно паралельні: MN MN AD AD,, AM AM DNDN .. Отже, Отже,

AMNDAMND — паралелограм.— паралелограм. Але Але ADAD AAAA11BB11BB , ,

отже, отже, ADAD AMAM , тобто , тобто

AMNDAMND — прямокутник.— прямокутник.

Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD ABCD зі зі стороною 3 см. Бічне ребро стороною 3 см. Бічне ребро AAAA11 дорівнює 4 см. Знайдіть площу дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину вершину AA перпендикулярно до прямої перпендикулярно до прямої BABA11

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

MN

IIІСпосіб одержання перерізуІСпосіб одержання перерізу1. Проведемо в площині 1. Проведемо в площині AAAA11BB11BB AMAM BABA1 1

Через Через AMAM і і ADAD проведемо площину проведемо площину . .

Доведемо, що Доведемо, що BABA1 1 ..

ADAD AAAA11 BB11BB , отже , отже ADAD BABA1 1 . Враховуючи,. Враховуючи, щощо заза побудовою побудовою AMAM BABA11 , одержуємо , одержуємо BABA1 1

2. Оскільки площини протилежних бічних 2. Оскільки площини протилежних бічних граней прямокутного паралелепіпеда граней прямокутного паралелепіпеда попарно паралельні, то відповідні прямі їх попарно паралельні, то відповідні прямі їх перетину з площиною перетину з площиною теж будуть попарно теж будуть попарно паралельні: паралельні: MN MN AD AD,, AM AM DNDN .. Отже, Отже,

AMNDAMND — паралелограм.— паралелограм. Але Але ADAD AAAA11BB11BB , , отже, отже, ADAD AMAM , тобто , тобто AMNDAMND — прямокутник.— прямокутник.

Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD ABCD зі зі стороною 3 см. Бічне ребро стороною 3 см. Бічне ребро AAAA11 дорівнює 4 см. Знайдіть площу дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину вершину AA перпендикулярно до прямої перпендикулярно до прямої BABA11

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

MN

Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD ABCD зі зі стороною 3 см. Бічне ребро стороною 3 см. Бічне ребро AAAA11 дорівнює 4 см. Знайдіть дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину через вершину AA перпендикулярно до прямої перпендикулярно до прямої BABA11

І спосіб обчислення площіІ спосіб обчислення площі

SSперерізуперерізу = = SSпрямокутника прямокутника AMND AMND == AD AD AMAM

ІІ спосіб обчислення площіІІ спосіб обчислення площі

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

MN

ортог. проекц.

cos cos cosABCD ABCD

перерізу

S S SS

MAB

1. Оскільки 1. Оскільки BABA1 1 , то , то

пряма пряма AMAM перетину перетину площин площин і і AAAA11BB11BB

перпендикулярна до перпендикулярна до BABA11

((AMAM BABA11). Враховуючи, ). Враховуючи,

що що ADAD AAAA11BB11BB, ,

одержуємо одержуємо ADAD BABA1 1 . .

Але Але BABA11 , отже, , отже, ADAD

лежить в площині лежить в площині , , тобто тобто проходитьпроходить через через ADAD і і AMAM . .

1. Проведемо в площині1. Проведемо в площині

AAAA11BB11BB AMAM BABA11..

Через Через AMAM і і ADAD проведемопроведемо

площину площину . .

Доведемо, що Доведемо, що BABA1 1 ..

ADAD AAAA11BB11BB , отже , отже

ADAD BABA1 1 . .

Враховуючи, що заВраховуючи, що за

побудовою побудовою AMAM BABA11 ,,

одержуємо одержуємо BABA1 1 ..

Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат ABCD ABCD зі стороною 3 зі стороною 3 см. Бічне ребро см. Бічне ребро AAAA11 дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину AA перпендикулярно до прямої перпендикулярно до прямої BABA11

Обґрунтування Обґрунтування (для випадку використання ортогональної (для випадку використання ортогональної проекції)проекції)

2. Оскільки 2. Оскільки ABAB ADAD (як сторони квадрата (як сторони квадрата ABCDABCD ) і ) і MAMA ADAD ( бо ( бо ADAD AAAA11BB11BB), то), то MABMAB — лінійний кут двогранного кута з ребром — лінійний кут двогранного кута з ребром ADAD

( кут між січною площиною і площиною ( кут між січною площиною і площиною ортогональної проекції перерізу)ортогональної проекції перерізу)

D1

A

B

A1

C

D

B1C1

M

Схема оцінюванняСхема оцінювання(якщо використано, що (якщо використано, що AMNDAMND — прямокутник)— прямокутник) 1. Правильно побудований переріз (чотирикутник 1. Правильно побудований переріз (чотирикутник AMNDAMND)) з дотриманням на рисунку з дотриманням на рисунку

паралельності відповідних відрізків та посиланням на те, що паралельності відповідних відрізків та посиланням на те, що пл.пл. AMNDAMND BABA1 1 (тобто з (тобто з обґрунтуванням побудови перпендикулярної обґрунтуванням побудови перпендикулярної

площини площини AMNDAMND або з або з обґрунтуванням того, що площина обґрунтуванням того, що площина проходитьпроходить через через ADAD і і AMAM BABA11) оцінюється ) оцінюється 1 балом.1 балом.

2. 2. Обґрунтування того, що чотирикутник Обґрунтування того, що чотирикутник AMNDAMND — прямокутник — прямокутник оцінюється оцінюється 1 балом.1 балом.

3. 3. Якщо учень правильно знайшов Якщо учень правильно знайшов довжину відрізкадовжину відрізка AMAM будь-яким способом будь-яким способом він одержує ще 1 бал.він одержує ще 1 бал.

44. Якщо учень правильно знайшов площу прямокутника . Якщо учень правильно знайшов площу прямокутника AMNDAMND, , то він одержує то він одержує ще 1 бал.ще 1 бал.

Тобто за правильно розвТобто за правильно розв’’язану задачу учень одержує 4 бали.язану задачу учень одержує 4 бали.

Якщо учень припустив помилку при обчисленні довжини відрізка Якщо учень припустив помилку при обчисленні довжини відрізка AMAM , яка , яка привела до неправильної відповіді у завданні, то його результат (за умови привела до неправильної відповіді у завданні, то його результат (за умови правильного виконання п.1 та п.2) складатиме правильного виконання п.1 та п.2) складатиме 33 бали. бали.

Схема оцінюванняСхема оцінювання(якщо використано, формулу площі ортогональної (якщо використано, формулу площі ортогональної

проекції)проекції) 1. Правильно побудований переріз (чотирикутник 1. Правильно побудований переріз (чотирикутник AMNDAMND)) з дотриманням на рисунку з дотриманням на рисунку

паралельності відповідних відрізків та посиланням на те, що паралельності відповідних відрізків та посиланням на те, що пл.пл. AMNDAMND BABA1 1 (тобто з (тобто з обґрунтуванням побудови перпендикулярної площини обґрунтуванням побудови перпендикулярної площини AMNDAMND або з або з обґрунтуванням того, що площина обґрунтуванням того, що площина проходитьпроходить через через ADAD і і AMAM BABA11) оцінюється ) оцінюється 1 балом.1 балом.

2. 2. Обґрунтування того, що кут Обґрунтування того, що кут MABMAB — лінійний кут двогранного кута з ребром — лінійний кут двогранного кута з ребром ADAD (або того, що це кут між січною площиною і площиною ортогональної (або того, що це кут між січною площиною і площиною ортогональної проекції) проекції) оцінюється оцінюється 1 балом.1 балом.

3. 3. Якщо учень правильно знайшов Якщо учень правильно знайшов coscos будь-яким способомбудь-яким способом він одержує ще 1 бал.він одержує ще 1 бал.

44. Якщо учень правильно знайшов площу прямокутника . Якщо учень правильно знайшов площу прямокутника AMNDAMND, , то він одержує ще то він одержує ще 1 бал.1 бал.

Тобто за правильно розвТобто за правильно розв’’язану задачу учень одержує 4 бали.язану задачу учень одержує 4 бали.

Якщо учень припустив помилку при обчисленні Якщо учень припустив помилку при обчисленні coscos , яка привела до неправильної , яка привела до неправильної відповіді у завданні, то його результат (за умови правильного виконання п.1 та п.2) відповіді у завданні, то його результат (за умови правильного виконання п.1 та п.2) складатиме складатиме 33 бали. бали.

БАЖАЮ УСПІХІВБАЖАЮ УСПІХІВ

У ВИКОНАННІУ ВИКОНАННІ

І ПЕРЕВІРЦІІ ПЕРЕВІРЦІ

ВІДКРИТИХ ЗАВДАНЬ !ВІДКРИТИХ ЗАВДАНЬ !

Задача 34Задача 34

У правильній трикутній піраміді У правильній трикутній піраміді SABCSABC з основою АВС бічне ребро з основою АВС бічне ребро удвічі більше за сторону основи. удвічі більше за сторону основи. Точки K і Точки K і L L є серединами ребер АС і є серединами ребер АС і ВС відповідно. Через пряму ВС відповідно. Через пряму KLKL, , паралельно до ребра паралельно до ребра SSС, проведено С, проведено площину площину . Знайдіть кут між . Знайдіть кут між площиноюплощиною і площиною і площиною АВСАВС..

Критерії оцінюванняКритерії оцінюванняСхема оцінювання ІСхема оцінювання І

Якщо учень правильно побудував рисунок з Якщо учень правильно побудував рисунок з обґрунтуванням обґрунтуванням кута кута ( (кута між кута між площиною площиною і площиною АВС) то він отримує і площиною АВС) то він отримує 1 бал.1 бал.

Якщо учень використовує рівність кута Якщо учень використовує рівність кута куту куту SCOSCO, то за обгрунтування цього факту він , то за обгрунтування цього факту він отримує ще отримує ще 1 бал.1 бал.

Якщо учень правильно знайшов елементи, Якщо учень правильно знайшов елементи, необхідні для знаходження кута необхідні для знаходження кута ,, то то він він отримує ще отримує ще 1 бал1 бал..

Якщо учень правильно знайшовЯкщо учень правильно знайшов кут кут (або (або будь – яку його тригонометричну функцію)будь – яку його тригонометричну функцію) , , ввіін отримун отримуєє ще ще 1 бал1 бал. .

Тобто, якщо учень одержав правильну відповідь Тобто, якщо учень одержав правильну відповідь з обґрунтуванням усіх ключових моментів з обґрунтуванням усіх ключових моментів розв’язування, то він одержує розв’язування, то він одержує 4 бали.4 бали.

Зауваження.Зауваження.

Якщо учень з рівності Якщо учень з рівності cos cos = = записує записує до відповіді до відповіді

то йому останній бал не зараховується.то йому останній бал не зараховується. Наявність тільки правильної відповіді без Наявність тільки правильної відповіді без

обґрунтування і обчислень оцінюються в 0 балів.обґрунтування і обчислень оцінюються в 0 балів.

1

2 31arccos 2 ,

2 3n n Z

Схема оцінювання ІІ Схема оцінювання ІІ ((використання площі використання площі ортогональної проекції)ортогональної проекції) Якщо учень правильно обґрунтував форму перерізу, то він Якщо учень правильно обґрунтував форму перерізу, то він

одержує одержує 1 бал1 бал.. Якщо учень правильно обґрунтував форму ортогональної Якщо учень правильно обґрунтував форму ортогональної

проекції перерізу, то він одержує ще проекції перерізу, то він одержує ще 1 бал1 бал.. Якщо учень правильно обчислив площу перерізу та його Якщо учень правильно обчислив площу перерізу та його

проекції (або виражає їх через одну змінну), то він отримує проекції (або виражає їх через одну змінну), то він отримує ще ще 1 бал1 бал. .

Якщо учень правильно знайшовЯкщо учень правильно знайшов кут кут , , або будь – яку його або будь – яку його тригонометричну функцію, то тригонометричну функцію, то ввіін отримун отримуєє ще ще 1 бал1 бал..

Тобто, якщо учень одержав правильну відповідь з Тобто, якщо учень одержав правильну відповідь з

обґрунтуванням усіх ключових моментів розв’язування, то обґрунтуванням усіх ключових моментів розв’язування, то він одержує він одержує 4 бали.4 бали.

Схема оцінювання ІІІ Схема оцінювання ІІІ ((координатно – векторний координатно – векторний метод розв’язанняметод розв’язання)) Якщо учень правильно описав введення просторової Якщо учень правильно описав введення просторової

системи координат і записав координати всіх точок системи координат і записав координати всіх точок необхідних для розвнеобхідних для розв`̀язування , то він отримує язування , то він отримує 1 бал1 бал..

Якщо учень правильно записав рівняння площини , то він Якщо учень правильно записав рівняння площини , то він отримує ще отримує ще 1 бал1 бал..

За правильне знаходження За правильне знаходження coscos (або будь – якої іншої (або будь – якої іншої тригонометричної функціїтригонометричної функції кута кута ) учень отримує ще ) учень отримує ще 1 бал1 бал..

За правильну відповідь учень отримує ще За правильну відповідь учень отримує ще 1 бал1 бал..Тобто, якщо учень одержав правильну відповідь з Тобто, якщо учень одержав правильну відповідь з

обґрунтуванням усіх ключових моментів розв’язування, то обґрунтуванням усіх ключових моментів розв’язування, то він одержує він одержує 4 бали.4 бали.