בעיית הקונסנזיוס

בעיית הגנרלים הביזאנטים

ייתכנו בוגד)ים( בקרב הגנרלים...

בוגדים פחדני

ם

בוגדים שחצנים

מעביר הודעות שקריותלא מגיב

האלגוריתם לבעיית ההסכמה הגנרלים הביזנטיים

הבוגדים לא יצליחו לפצל את כוחות הבוגדים לא יצליחו לפצל את כוחות המטרה:.הנאמניםהנאמנים

כל הגנרלים הנאמנים יגיעו לאותה (. R או Aהחלטה - לתקוף או לסגת )

ההחלטה תהיה על סמך החלטת רוב ביניהם, אם יש שיוויון - ההחלטה לסגת

(R.)

הנחות: -התקשורת נטולת בעיות ואמינה •

לא יתכן שהודעה לא תגיע או תגיע שגויה.

- האלגוריתם מטפל בכשלים ביזנטיים • כל הבוגדים שחצנים.

מעבירים הודעות לעיתים תמיד הם שקריות.

1אלגוריתם כל צומת )גנרל(:•

Xגנרל יחליט מה דעתו, לתקוף או לסגת–Xשלח לכל שאר הגנרלים את –קבל מכל שאר הגנרלים את דיעותיהם שלהם– Yחשב רוב –

גנרלים 4האלגוריתם מתוכנן עבור . האם הוא נכון ?שחצןשלכל היותר אחד מהם בוגד

ניסיון ראשון לפתרון הבעיה:

עץ מידע מתאר את גילגולה של הודעה

כדי לעקוב אחר האלגוריתם נבנה עצי מידע על כל צומת.

ליאו A

זואי ג’ון

שורש העץ – יוזם ההודעה ונושאה. תוכן ההודעה מופיע •בצומת.

חץ, קשת – ממי נשלחה ההודעה ואל מי.•כאשר שולח ההודעה משקר, יופיע ערך על החץ, שהוא תוכן •

ההודעה החדשה .

כאשר צומת לא מעביר הודעה, לא יצא ממנו חץ.•

זואיR

ג’ון

ג’ון?

זואי ליאו

A R

ליאו A

זואי ג’ון

זהו עץ מידע על . ג’ון הוא ג’ון

בוגד שחצןהמעביר הודעות סותרות לליאו

וזואי.

זואיR

ג’ון

ג’ון?

זואי ליאו

A

R

זהו עץ מידע על . ליאו הוא ליאו

גנרל נאמןשהעביר את

לג’ון A הודעתו וזואי.

זהו עץ מידע . זואי זואיעל

בוגדת היא שלא פחדנית

העבירה את R הודעתה

לליאו אלא .רק לג’ון

המשך - מידע עצי

הביאו תסריט המוכיח כי האלגוריתם אינו נכון.

תסריט המראה כי לא כל הגנרלים הנאמנים יגיעו לאותה החלטה

תיאור התסריט באמצעות עצי מידע ושלחה זאת לבאזיל ליאו וג'ון. Aזואי בחרה •

לזואי וליאו. R לבזיל ו A ג’ון, הבוגד השחצן, שלח•

זואי A

ג'ון ליאובזיל

R

בזיל

ג'ון?

זואיליאו

RA

עץ המידע על זואי:

:עץ המידע על ג’ון

ושלח זאת לבאזיל זואי וג'ון. A ליאו בחר•ליאו

A

ג'ון זואיבזיל

ג’ון

באזילR

זואיליאו

ושלח זאת לג’ון ליאו וזואי. R באזיל בחר•

עץ המידע על ליאו:

עץ המידע על באזיל:

AARRR: ליאוסדרת ההודעות של AARRRסדרת ההודעות של זואי:

AAARA: באזילסדרת ההודעות של

ליאוליאו

ליאוA

ליאו

בזיל

בזיל בזיל

בזילR

זואי

זואי

זואיA

זואי

: מסקנה

.ג’ון הבוגד השחצן הצליח לפצל כוחות ...זואי וליאו ייסוגו ובאזיל יתקוף לבדו וכנראה יושמד

1ניתוח הכשל באלגוריתם

באלגוריתם ההחלטה של כל גנרל הייתה הדעות שקיבל מחבריו + דעתו 3על סמך

שלו. הבוגד שלח הודעות סותרות לצמתים, ש- צמתים היו היו 4ולכן שצברו הדעות

שונות.

וכך • שונים ערכים על הייתה הרוב הכרעת הצליח הבוגד לפצל את הנאמנים.

)הרכילויות( 2אלגוריתם

באלגוריתם זה שני סיבובי הודעות - בסיבוב •כל גנרל מודיע את דעתו , ובשני כל גנרל הראשון

'מרכל' את ההודעות שקיבל ממישהו אל השאר.

האם האלגוריתם נכון ????

ניסיון שני לפתרון הבעיה:

(R( או לסגת)Aבחר דעה ראשונית: לתקוף)–שלח דעתך לכל הגנרלים האחרים.–קבל מכל הגנרלים האחרים את דיעותיהם.–

}סיבוב ראשון{

}סיבוב שני {G עבור כל גנרל אחר-

לכל הגנרלים האחרים )אך לא G שלח את דעתו של )עצמו G ל

G עבור כל גנרל אחר- G קבל את הדעות של הגנרלים האחרים על

G החלט על סמך רוב דעות )הדעה שהתקבלה ישירות מ G) והדעות שהתקבלו בעקיפין על

.G מהי באמת דעתו של

החלט על סמך רוב הדעות שלך ושל הגנרלים האחרים אם לתקוף או לסגת.-

דוגמא לעץ מידע עם שני סיבובי ליאוהודעות

A

בזיל זואיג’ון

זואי ג’ון בזיל זואי

R

. העץ מתאר את גילגולה של זהו עץ מידע על ליאו A ההודעה

.שנשלחה ע”י ליאו

. היא לא העבירה את הודעתו של ליאו זואי היא בוגדת פחדניתלגנרלים האחרים.

. . הוא שיקר לזואי בדבר הודעתו של ליאוג’ון הוא בוגד שחצן

תכנון הבדיקה

את • לבלבל יצליח לא השחצן שהבוגד כדי שלכל לוודא עלינו הנאמנים הגנרלים זו דעות(. )של זהים ערכים יהיו הנאמנים בעצם מטרת הסיבוב השני – סיבוב ה'רכילות'.

האם אנחנו מצליחים?

הגנרלים מתקבלים כל אצל תמידהאם ערכים זהים של דעות ?

גנרלים - שלושה עבור כי תחילה נראה, שחצן בוגד ואחד נאמנים שניים

. הנאמנים דעות את לפצל יצליח כן הבוגד

ון’ ג ליאו

בזילA

R

ליאו ג’ון

ון’ ג

ליאובזיל

A A

בזיל ליאו

עבור כי המראה עבור תסריט כי המראה :33תסריט , במזימתו הצליח אכן הבוגד :גנרלים , במזימתו הצליח אכן הבוגד גנרלים

ון’ ג בזיל

ליאוR

A

בזיל ון’ ג

(.A( ובזיל הנאמן החליט לתקוף )Rליאו הנאמן החליט לסגת )( אבל בסיבוב הרכילות, Aג’ון הבוגד שלח לליאו ולבזיל שדעתו לתקוף )

Aג’ון שיקר לבזיל ומסר לו כי דעתו של ליאו היא .Rושיקר לליאו ומסר לו כי דעתו של בזיל היא

שקיבל ההודעות :ליאוסדרת היא

שקיבל ההודעות :בזילסדרת היא

ליאוR

ליאו

ליאו ליאו

ליאו

(R, (A,R), (A,A))((AA, (, (R,AR,A), (), (A,AA,A))))

בזיל

בזילבזיל

בזיל

בזילA

((RR,,RR,,AA))((AA,,RR,,AA))

RR

AA

גנרלים - 4טענה לנכונות עבור אחד מהם בוגד שחצן

תמיד אצל כל הגנרלים הנאמנים כן, • ערכים זהים של דעות.4מתקבלים

אם זה נכון, אז האלגוריתם נכון. •למה ?

כי כל אחד מחליט על ערך סופי על • הערכים ואם 4סמך הכרעת רוב בין

הם זהים אצל כולם אז גם הערך הסופי זהה.

1טענה במקרה של מידע על גנרל נאמן: יופיע אצל כל הגנרלים הנאמנים •

ערך הזהה לזה שהוא בחר ושלח להם )הבוגד לא יצליח להטעות(.

חבריו. 3הוא ישלח אותו ל-, Dאם נאמן )נאמר בזיל( בחר • מהם נאמנים, והם ירכלו ביושר זה לזה ולבוגד2• והודעה Dז"א שכ"א מהם מחזיק שתי הודעות בעלות אותו ערך •

נוספת עם מה שהבוגד שלח.)החלטת רוב(. Dלכן, כ"א מהם יחליט שדעתו של בזיל היא •

עץ המידע על זואי

Aזואי

ג'ון בזיל

בזיל ג'ון

R

ליאוג'וןבזילליאו

מה יחליט ליאו ?על דעתה של זואי

מה יחליט בזיל?על דעתה של זואי AA A

AAR

AA?A

סדרת ההודעות שהיגיעה :לבזיל וליאו על דעתה של זואי

החלטת רוב

ליאוליאו

ליאו בזילליאו

בזיל

בזיל

הסבר הוכחת הטענה

אצל באזיל, מידע על זואי מגיע מזואי, מג'ון •ומליאו !!

אנו רואים מהעץ שגם לבאזיל וגם לליאו •הנאמנים הגיע המידע על דעתה של זואי

במדויק !!ובלי הגבלת . Aואכן הגיע Aזואי בחרה •

כלליות כל מידע אחר היה מגיע גם. הבוגד לא יכול 'לקלקל'.•

2טענה

הגנרליםכלעבור גנרל בוגד שחצן, יופיע אצל •

!!זהה ערך הנאמנים Zו- לליאו Yלבזיל, X הבוגד )נאמר ג'ון( ישלח•

לזואי. השלושה נאמנים ולכן 'ירכלו' זה לזה בדיוק את מה •

שג'ון שלח להם. ועל סמך זה יקבעו Zו- Y, X לכל אחד מהם יופיע •

את דעתו של ג'ון. לכן, לכולם יהיה ערך זהה של דעתו.•

עץ המידע על ג’וןג'ון ?

זואי בזיל

בזיל זואי

ליאו

ליאוזואיבזילליאו

YXZ

XX

XZ Y

Z Z Y Y

מה האינפורמציה שיש ?לבזיל על ג'ון

האינפורמציה שיש לזואי על ג'ון.

מה האינפורמציה שיש ?לליאו על ג'ון

X XY YZ Z

בזיל

בזיל בזיל ליאו

ליאו

ליאו

סוף ההוכחה

לכל הנאמנים 2 וטענה 1מהוכחת טענה • ערכים זהים עליהם הם מבצעים 4יש

הכרעת רוב ומקבלים את אותו הערך

מ.ש.ל