1

בעיית מקסום הרווחים

מערכת ביקוש/היצע

הביקוש לגורמי ייצור

עודף היצרן

2

מקסום רווחים בטווח הקצר והארוך

נתונים• c(q)פונקציית הוצאות –הוצאות קבועות וקואזי-קבועות (לעיתים מופיעות ישירות –

)cבניסוח ה – מחיר התפוקה–

המטרה – מקסום רווחים•דרך הפעולה•

ייצור הכמות האופטימאלית תוך התחשבות בהוצאות –קבועות, קואזי קבועות, וטווח הזמן בו מדובר.

התוצאה•כמות מיוצרת ורווחים–(ובאופן כללי יותר) עקומות היצע עבור הטווחים השונים –

33

הכנסות ורווח בהינתן פונקציית הוצאות הכנסות ורווח בהינתן פונקציית הוצאות

q qq qqq

p

C/qCq

Pבהינתן מחיר

qהפדיון כשמייצרים כמות

q*

qהעלות כשמייצרים כמות

qהרווח כשמייצרים כמות

הרווח משתנה עם הכמות

רווח מקסימאלי

מחיר שווהלעלות שולית

P=MC

44

מה קורה כשהמחיר מתחת למינימום מה קורה כשהמחיר מתחת למינימום ההוצאה הממוצעת? )נניח טווח ארוך(ההוצאה הממוצעת? )נניח טווח ארוך(

p

C/qCq

price <

Min LRAC

qq* = 0

5

מקסום רווחים בתחרות משוכללתהצגה אלגברית

, MC=P בה qבטווח הקצר יש לייצר אותה כמות •, אחרת יש לייצר אפס.P≥min AVCבתנאי ש –

בטווח הקצר עקומת ההיצע של הפירמה ניתנת • minעל ידי עקומת ההוצאות השוליות מעל ל –

AVC., MC=P בה qבטווח הארוך יש לייצר אותה כמות •

, אחרת יש לייצר אפס.P≥min LRACבתנאי ש – בטווח הארוך עקומת ההיצע של הפירמה ניתנת •

על ידי עקומת ההוצאות השוליות מעל ל –min LRAC.

6

מקסום רווחים בטווח הקצר והארוךדוגמה מספרית

נניח כי C(q)=q2+12q+100 q>0

C(q)=64 q=0מכאן נקבל:

MC=2q+12AVC=q+12+36/qATC=q+12+100/q

AVC – מגיע למינימום ב q=6 24 ברמה.ATC – מגיע למינימום ב q=10 32 ברמה.

ואפס אחרתp≥24 עבור q=p/2-6בטווח הקצר: עקומת ההיצע הינה ואפס אחרתp≥32 עבור q=p/2-6בטווח הארוך עקומת ההיצע הינה

7

מקסום רווחים במישור גורמי הייצור - תפוקה

נתונים• F(z1,z2)פונקציית הייצור –מחירי גורמי הייצור ומחיר התפוקה–

המטרה – מקסום רווחים•דרך הפעולה•

שכירת כמויות אופטימאליות של גורמי הייצור וייצור רמת התפוקה –האופטימאלית. תוך התחשבות בהוצאות קבועות, קואזי קבועות, וטווח

הזמן בו מדובר.

התוצאה•כמויות מבוקשות של גורמי ייצור, כמות תפוקה מוצעת ורווחים. –(ובאופן כללי יותר) מערכת ביקוש-היצע המתארת את הכמויות –

המבוקשות (מגורמי הייצור) והמוצעות (של התפוקה) כפונקצייה של מחירי גורמי הייצור ומחיר התפוקה.

ניתן כמובן גם כאן לבדוק את השפעתן של הוצאות קבועות, •ולדון בטווחי זמן שונים.

8

בעיית היצרן במקרה של גורם ייצור אחד

()..max zfqtszppq z

בעיית היצרן:•

או:•

zpzpf z()max

9

הצגה גראפית במקרה של גורם ייצור אחד

z

p

pSlope zq

()zfq

*z

*q

רווח במונחי

q

p

pf z'

10

הצגה אלגברית במקרה של גורם ייצור אחד

מהגראף רואים כי הרווח מקסימאלי בנקודה •בה נמצאים על פונקציית הייצור ומשיקים לקו

שווה רווח כלומר:

f’(q)=pz/p(תנאי ההשקה) •

(ערך התפוקה pf’(q)=pzאו בצורה יותר מוכרת •השולית שווה למחיר גורם הייצור)

11

מקסום רווחים במישור גורמי הייצור והתפוקה הצגה אלגברית

בעיית המקסימיזציה שהפירמה תפתור הינה:Max pF(z1,z2)-w1z1-w2z2

z1,z2

גזירה והשוואה לאפס גוררת את תנאי הסדר הראשון הבאים:

pF1-w1=0pF2-w2=0

Fi הינה התפוקה השולית של גורם ייצור i – ו ,PFiהינו ערך התפוקה השולית של .VMPi , ומסומן ב – iגורם ייצור

כלומר יש לשכור כל גורם ייצור עד הנקודה שבה ערך התפוקה השולית שלו שווהלמחירו.

כמובן יש לוודא שתנאי הסדר השני מתקיימים, ולקחת בחשבון את נושא ההוצאותהקבועות.

12

מקסום רווחים במישור גורמי ייצור תפוקה

ʩʣʩʬ̡: דוגמה מספרית ʤhʥ̋ʰʸ ʥʁʩʩʤ̋ʩʩʁʷʰʥɹ 3.0

25.0

121 (,) zzzzF

ʡʸ ʥʁʩʩʤʩʮy ʥʢʩyʩʧʮ̋ ʠʯʮɦ ʰ– w1,w2ʸ ʩʧʮ̋ ʠʥʡʤ̫ʥɹ̋ ʤ– p.

:ʤhʩʤʭʩʧʥʥyʤʭʥɦʷʮ̋ ʩʩ̡ʡ

22113.0

25.0

12,1 zwzwzpzMax zz

:ʭʰʩʤʯʥ́ʠʸ ʸ ʣɦʮʭʩʠʰʺ ʤ

03.0

05.0

27.0

25.0

1

13.0

25.0

1

wzpz

wzpz

:ʤ́ ʲ ʮʬʭʰʩʤʥʬʠʭʩʠʰʺVMPi=wi i=1,2

ʩʠʰʺ ʤ̋ʠʺ ʸ ʸ ʥʢ̋ ʥʠʥʥ́ʮʤʩ̋ʹ ʺ ʷʥʬʧʩʫʡʬʭʩ́ʰ

TRS21=w1/w2ʨy ʴ ʡʸ ʸ ʥʢʭʩʧʥʥyʭʥɦʷʮy ʮʥʬʫ ( .)ʺ ʥʠʶ ʥʤʭʥʮʩhʩʮʬʩʠʰʺ ʤ̋ʠ

13

מקסום רווחים במישור גורמי ייצור תפוקה

1דוגמה מספרית - חישוב הביקושים וההיצע:

נחלק משוואה ראשונה בשנייה ונקבל כי:

2

1

1

2

35

ww

zz :ומכאן

2

112 6.0

wzw

z

הצבה למשוואה הראשונה גוררת כי:

5.12

5.21

4

5.22

5.21

52

5.12

5.31

51

1

3.0

2

115.01

029.0

0087.0

0145.0

06.05.0

wwpq

wwpz

and

wwpz

or

wwzw

pz

( מתקבל מהצבת הביקושים לגורמי ייצור q)ההיצע )

)z1,z2 )בתוך פונקציית הייצור )

מצאנו את מערכת הביקוש/היצע של פירמה זו.

14

מערכת הביקוש/היצע בטווח הארוךz1עבור הפירמה עם פונקציית ייצור

0.5z20.3

מצאנו את מערכת הביקוש היצע הבאה:

5.12

5.21

421

5.22

5.21

5212

5.12

5.31

5211

029.0(,,)

0087.0(,,)

0145.0(,,)

wwppwwq

wwppwwz

and

wwppwwz

ביקושים והיצעים אלו הינם של הטווח הארוך בו

ניתן לשנות את כמויות כל גורמי הייצור.

15

מקסום רווחים במישור גורמי ייצור מהן התכונות המאפיינות מערכת ביקוש היצע? תפוקה

הומוגניות מדרגה אפס במחירי גורמי הייצור

והתפוקה.

הביקוש לגורם הייצור יורד במחירו )לא תיתכן תופעת הגיפן(.

היצע התפוקה עולה במחירה.

ההשפעות הצולבות בין מחירי גורמי ייצור והביקוש

ייצור האם לגורמי ייצור תלויות בתכונות של גורמיאו מתחרים. הם מסייעים

ההשפעות הצולבות בין מחיר התפוקה והביקוש

לגורמי הייצור, ומחיר גורמי הייצור והתפוקה תלוי בתכונת הנחיתות של גורמי הייצור.

כאשר גורם הייצור אינו נחות עליה במחירו מורידה את הכמות המוצעת, ועליה במחיר התפוקה מגדילה

את הכמות המבוקשת ממנו. סימולי נגזרות" ראה בשקף הבא ... וב "

16

גורמי ייצור ותפוקה סטאטיקה השוואתית

הינה iהשפעת המחיר העצמית של גורם ייצור

i

i

wz

והינה אי חיובית.

השפעת המחיר הצולבת הינה j

i

wz

ובמקרה של

שני גורמי ייצור סימנה חיובי אם גורמי הייצור

מתחרים ושלילי אם הם מסייעים.

00

00

12

12

Fifwz

Fifwz

j

i

j

i

17

גורמי ייצור ותפוקה1 סטאטיקה השוואתית -

מהן ההשפעות הצולבות של מחיר גורם ייצור ומחיר

תפוקה? כוון ההשפעות תלוי בתכונת הנחיתות של

גורם הייצור. )גורם ייצור הינו נחות אם הכמות

המבוקשת ממנו יורדת כשהתפוקה עולה(

inferioris0

inferiornotis0

ii

ii

zifpz

zifpz

inferioris0

inferiornotis0

ii

ii

zifwq

zifwq

18

סטאטיקה השוואתית (דרך העדפה נגלית)

, p לא יורדת ב- q*(p,w1,w2)פונקצית ההיצע •.wi לא עולה ב- iופונקצית הביקוש לגורם ייצור

את תכנית הייצור )z1,z2,q(: נסמן ב- הוכחה•שמביאה את הרווחים למקסימום כאשר

. )p,w1,w2(המחירים הם

את תכנית הייצור )’z’1,z’2,q(כמו כן, נסמן ב- שמביאה את הרווחים למקסימום כאשר

. )p’,w’1,w’2(המחירים הם

19

מביאה את הרווחים למקסימום )z1,z2,q(כיוון ש- •,)p,w1,w2(כאשר המחירים הם

'22

'112211 ' zwzwpqzwzwpq

2'21

'1

'2

'2

'1

'1 ''' zwzwqpzwzwqp

שמביאה את הרווחים למקסימום )’z’1,z’2,q(כיוון ש- •,)p’,w’1,w’2(כאשר המחירים הם

20

לכן,•

0()()(')'

0()()(')'22

'2

'11

'1

'222

'111

zzwzzwqqp

zzwzzwqqp

,נחסיר את השורה השנייה מהראשונה ונקבל•

0(())(())('()') '22

'22

'11

'11 zzwwzzwwqqpp

, p>p’ w1=w’1, w2=w’2לכן, אם •

.’q≥qאז , p=p’ w1=w’1, w2>w’2כמו כן, אם •

וכו'.z2z’2אז

21

נקודה חשובה

*z( אם תכנית ייצור טענה:•1,z*

2,q*( פותרת את בעיית הפירמה התחרותית כאשר המחירים

*z(, אז צירוף גורמי הייצור )w1,w2,p(הם 1,z*

2( ,*qפותר את בעיית מינימום ההוצאות לייצור

.)w1,w2(כאשר המחירים הם

כלומר,

*c(w1,w2,q*)=w1zא) 1+w2z*

2

*q*≤f(zב) 1, z*

2)

22

הוכחה

(,) ..

21

2211(,,)z 21

zzfqts

zwzwpqMaxqz

(,) ..

21*

2211(,)z 21

zzfqts

zwzwMinz

*22

*112211 zwzwzwzw

*z(נניח כי תכנית ייצור 1,z*

2,q*( פותרת את

*q*≤f(zברור ש-1,z*

2).

*z(צריך להוכיח ש- 1,z*

פותר את)2

*z(אם 1,z*

שמאפשר ליצר )z1,z2( לא פתר את בעיית מינימום הוצאות אז היה קיים צירוף )2q*-כך ש

תכנית ייצור אפשרית המקיימת )*z1,z2,q(אבל אז

*22

*11

*2211

* zwzwpqzwzwpq

*z(בסתירה לכך שתכנית ייצור 1,z*

2,q*(.פותרת את בעיית מקסימום רווח

23

עודף היצרן

עודף היצרן מודד את "הנאת היצרן" מהמסחר.•

עודף היצרן ניתן על ידי השטח בין קו המחיר •).MCועקומת ההיצע (ה

עודף היצרן הינו רווחי היצרן בהתעלם •מההוצאות הקבועות.

24

22.05

שלוש הצגות שקולות של עודף היצרן

25

הביקוש לגורמי ייצור

בטווח הארוך פונקציית הביקוש לגורם הייצור ניתנת על ידי:Z1(w1,w2,p)

עבור מחירי גורם ייצור שני)z1,p1(השרטוט של פונקציה זו במישור בטווח הארוך.1ותפוקה קבועים, הינו עקומת הביקוש לגורם ייצור

שווה לערך 1 של גורם ייצור Aמכיוון שהשכר בו מוכן היצרן להעסיק כמות התפוקה

בטווח הארוך, ניתן לחשוב עליה כעקומת ערך 1השולית של גורם ייצור התפוקה

בטווח הארוך.1השולית של גורם ייצור

z1, כאשר ביחד עם כל כמות של – z1נדגיש כי זהו ערך התפוקה השולית של

מעסיקים את הכמות האופטימאלית של גורם הייצור השני המתאימה לה.

26

הביקוש לגורמי ייצור (הצגה גראפית)

עבור רמה נתונה של מחיר התפוקה וכמויות גורמי הייצור האחרים, ניתן לשרטט את

.,$)zi( במישור כמות-מחיר iעקומת ערך התפוקה השולית של גורם ייצור

עקומה זו מראה למעשה את הכמות המבוקשת מגורם הייצור עבור כל מחיר, בהנחה

שמחיר התפוקה והכמויות של כל גורמי הייצור האחרים קבועים .

נשים לב שכל עוד מחירו של גורם הייצור נמוך מערך התפוקה השולית שלו, הגדלת

הכמות המועסקת תגדיל את הרווח, ויש להגיע (כמובן) לנקודה בה ערך התפוקה

השולית שווה למחירו של גורם הייצור.

בטווח הארוך הכמויות המבוקשות מכל גורם ייצור נקבעות סימולטאנית כך של כל גורם ייצור שווה למחירו. VMPש ה

לסיכום, ניתן לומר כי הביקוש לגורם הייצור ניתן על ידי עקומת ערך התפוקה). לאורך עקומה זו מחיר התפוקה קבוע. הכמויות של גורמי VMPהשולית שלו (

ייצוראחרים יתכן ומשתנות בהתאם לטווח הזמן בו אנו עובדים.

27

הצגת הפתרון במישור עקומות ה - VMP

השוואה בין הטווח הארוך והקצר והשנייה z1נתווה שתי מערכות צירים, אחת עבור •

.z2עבור בכל מערכת קבועים מחיר VMPלאורך עקומת ה – •

התפוקה והכמות המועסקת מגורם הייצור השני.רמות גורמי הייצור נקבעות סימולטאנית.• עלה.1נניח שמחירו של גורם ייצור •בטווח הקצר לא ניתן לשנות את הכמות המועסקת •

מגורם הייצור השני. המקורית ורואים VMPכתוצאה אנו זזים על עקומת ה •

בטווח הקצר. 1מהו השינוי בביקוש לגורם ייצור

28

הצגת הפתרון במישור עקומות ה - VMP

1השוואה בין הטווח הארוך והקצר - . הירידה 2בטווח הארוך ניתן לשנות גם את כמות גורם ייצור •

מורידה (אם הם מסייעים) את התפוקה 1בכמות גורם ייצור חדשה VMP2, ולכן נוצרת עקומת 2השולית של גורם ייצור

קטנה וזה 2משמאל לעקומה המקורית. הכמות של גורם ייצור חדש משמאל לקודם וירידה חזקה יותר של גורם VMP1גורר , וכן הלאה עד שמגיעים לצירוף גורמי הייצור החדש.1ייצור

ניתן לעשות דיון דומה עבור גורמי ייצור מתחרים.•המסקנה הסופית בשני המקרים היא שהשינוי בטווח הארוך •

חריף יותר מאשר בטווח הקצר.תגיעו למסקנות דומות עבור שינויים במחיר התפוקה.•Le Chatelierכל אלו דוגמאות לתופעה של עיקרון •

29

גמישויות בטווח הארוך והקצר - דוגמהʤʮy ʩɹʤ̡ʶ ʩʤʥʩ́ʥ̫ʩʡʺ ʠʥhʡʹ ʩʧʺ ʮʣʥ̫ʤʤʮʢʥʣʡ

:ʩʣʩʬ̡ ʤhʥ̋ʰʤʬ́ ʸ ʥʁʩʩʤ̋ʩʩʁʷʰʥɹ́3.0

25.0

121 (,) zzzzF :ʥhʬʡʩ̫ʥ

5.12

5.21

421

5.22

5.21

5212

5.12

5.31

5211

029.0(,,)

0087.0(,,)

0145.0(,,)

wwppwwq

wwppwwz

wwppwwz

ʭʸ ʥʢʬ́ ʥ̫ʩʡʤ̋ʥ́ʩʮʢʪʥyʠʤʧʥʥʨʡʺ ʠʦy ʥʠʬ

ʸ ʥʁʩʩ1ʤhʩʤʥyʩʧʮʬɦ ʧʩʡ-3.5ʹ ʥ̫ʩʡʤ̋ʥ́ʩʮʢʥ , ʸ ʥʁʩʩʭʸ ʥʢʬ1ʤhʩʤʤ̫ʥɹ̋ ʤyʩʧʮʬɦ ʧʩʡ5.

ʸ ʶ ʷʤʧʥʥʨʡʩʫʧʩhhz2=1.

:ʤʮy ʩɹʤyʥ̋ʴ ʺ ʺ ʲ ʫMax pz1

0.5-w1z1 :ʥhʩʤʯʥ́ʠʸ ʤyʣɦʤʩʠʰʺ0.5pz1

-0.5=w1 :ʬʡʷʺ ʮʥz1)w1,p(=p2/)4w1

2( ʸ ʥʁʩʩʭʸ ʥʢʬ́ ʥ̫ʩʡʤ̋ʥ́ʩʮʢy ʶ ʷʤʧʥʥʨʡʸ ʮʥʬʫ1

ʠʩʤʥyʩʧʮʬɦ ʧʩʡ-2ʠʩʤʤ̫ʥɹ̋ ʤyʩʧʮʬɦ ʧʩʡʥ ,2.

30

תשואה לגודל ומקסום רווחים

המקרה הקל הוא המקרה של תשואה יורדת לגודל

במקרה זה בעיית מקסום הרווחים גוררת בדרך כלל

פתרון יחיד עם רמת רווח חיובית ממש.

דוגמאות ראינו בשקפים הקודמים.

המקרה היותר בעייתי הינו של תשואה קבועה לגודל.

במקרה כזה העלות לייצור יחידה )שתלוייה כמובן

בטכנולוגיה הספציפית ובמחירי גורמי הייצור(

קובעת את כל מבנה העלויות. העלות לייצור כל

. C)1(q ניתנת על ידי qכמות

qהסיבה לכך היא שהדרך הזולה ביותר לייצר את

היא להכפיל את הכמויות ששימשו לייצור יחידה

.qאחת פי

31

תק"ל ומקסום רווחיםʤ̫ʥɹ̋ ʤyʩʧʮʭʠ)p( ,ʤʣʩʧʩyʥʁʩʩʬ̋ ʥʬ̡ ʤʮʤʥʡʢ

ʳ ʠʹ ʺ ʤʮy ʩɹʤʥʭʩʧʥʥyʤʭʥɦʷʮ̋ ʩʩ̡ʡʬʯʥyʺ ʴ ʯʩʠ

.ʺ ʥʩɹʥɦʰʩʠʺ ʥʩʥʮʫ̫ ʩɦʲ ʤʬʥyʶ ʩʩʬ

ʭʩyʨɦ ʮɦ ʤʬ́ ʭʩʬʥ̫ʩ́ʸ ʡʫʥʬʠʥ (ʤʦʡʶ ʮʡ

ʬ́ ʥʮʥʫʩɦʡʹ ,ʪʫʬʥʠʩʡʩʭʩyʩʧʮʡʭʩʩʥhʩ́ )ʭʩʠʡʤ

ʸ ʥʁʩʩʬ̋ ʥʬ̡ ʤyʮʥʬʫ ,ʥɦʴ ʠʺ ʩʤʮy ʩɹʤʩʧʥʥyʸ ʡʣ

.ʤ̫ʥɹ̋ ʤyʩʧʮʭʲ ʣʫʬ̋ ʺ ʤʣʩʧʩ

ʩʧʥʥy ,ʤʣʩʧʩyʥʁʩʩʬ̋ ʥʬ̡ ʬʤʥʥ́ʤ̫ʥɹ̋ ʤyʩʧʮʭʠ

ʸ ʥʁʩʩ̋ʥʩhʫʥ̋ʳ ʥɦʰʩʠʥʩʤʩʥɦʴ ʠʥʩʤʩʤʮy ʩɹʤ

.ʤʦʧʥʥyʥʡʩhʩ́

,ʤʣʩʧʩyʥʁʩʩʬ̋ ʥʬ̡ ʤʮʪʥʮh ʤ̫ʥɹ̋ ʤyʩʧʮʭʠ

.ʱ ʴ ʠʧʩʥʥyʺ ʥɦʴ ʠʺ ʥʮʫy ʶ ʩʩ̋ʤʮy ʩɹʤ

32

תק"ל ומקסום רווחים - דוגמה

נניח כי פונקציית הייצור הינה:

F)z1,z2(=z10.25z2

0.75

בעיית מינימום העלות הינה:

Min w1z1+w2z2

S.T.

z10.25z2

0.75≥ q

שפתרונה ניתן על ידי פתרון שתי המשוואות:

qzz

w

w

z

z

75.02

25.01

2

1

1

2

)תנאי ההשקה ומגבלת התפוקה( 3

מהמשוואה הראשונה מתקבל כי:

qwzw

z

hence

wzw

z

75.0

2

1125.01

2

112

3

3

33

1תק"ל ומקסום רווחים – דוגמה - ולכן:

qww

qwwz

qww

qwwz

25.0

2

1212

75.0

1

2211

33

(,,)

3(,,)

ופונקציית ההוצאות מתקבלת מהצבת הפתרון לתוך

w1z1+w2z2פונקציית המטרה

והינה:

qww

qww

qwwc

75.02

25.01

75.02

25.01

25.075.0

21

7548.1

(33)

(,,)

–כלומר העלות לייצור יחידה הינה קבועה ושווה ל

75.02

25.017548.1 ww

זו העלות השולית שבמקרה זה מתלכדת גם עם

העלות הממוצעת.

34

2תק"ל ומקסום רווחים – דוגמה -

75.0 גדול מ - pאם מחיר התפוקה 2

25.017548.1 ww

אין פתרון לבעיית מקסום הרווחים, הפירמה תשאף

לייצר אינסוף.

75.0 קטן מ - pאם מחיר התפוקה 2

25.017548.1 ww

הפירמה תפסיד בכל רמת ייצור חיובית ותבחר לא

לייצר כלל ולהרוויח אפס.

75.0 שווה ל - pאם מחיר התפוקה 2

25.017548.1 ww

הפירמה תרוויח אפס בכל רמת ייצור חיובית ותהיה

אדישה בין כל צירופי גורמי הייצור שמקיימים:

2

1

1

2

3 ww

zz

35

דרך נוספת להראות ש תק"ל ותחרות גוררים רווח אפס

: אם הטכנולוגיה מקיימת תק"ל ופירמה טענה•תחרותית מביאה את רווחיה למקסימום, אז

.0הרווחים הם

: נשים לב שאם הטכנולוגיה מקיימת הוכחה• 0 תפוקה באמצעות 0תק"ל אז אפשר ליצר ) תכנית ייצור 0,0,0גורמי ייצור. (כלומר, (

אפשרית.)

, 0מכיוון שהרווחים הנובעים מתכנית ייצור זו הם רווחי הפירמה המקסימאליים הם אי-שליליים.

36

שבאופטימום הרווחים הם חיוביים. בסתירהנניח •*z( אפשריתכלומר, נניח שקיימת תכנית ייצור •

1,z*2,q*(

כך ש-

2211*22

*11

* zwzwpqzwzwpq

ו- )z1,z2,q( אפשריתלכל תכנית ייצור

0*22

*11

* zwzwpq

*2z(כיוון שהטכנולוגיה מקיימת תק"ל, גם •1,2z*

2,2q*( . אבל תכנית זו מביאה לרווח אפשריתתכנית ייצור

השווה ל-*22

*11

**22

*11

* ()2 zwzwpqzwzwpq *z(בסתירה לכך ש- •

1,z*2,q*( מביאה את הרווחים

למקסימום.

37

מסקנה

המצב היחיד המתיישב עם פירמה תחרותית •בעלת טכנולוגיה תק"ל שמביאה את ריווחיה

.0למקסימום הוא מצב בו הרווחים הם

38

תע"ל ומקסום רווחים

ʬ́ ʤyʷʮʥhʩʤʬʣʥʢʬʤʬʥ̡ʤʠʥ́ʺ ʬ́ ʤyʷʮʤ

ʸ ʮʥʬʫ )ʭʩʠʡʤʭʩyʨɦ ʮɦ ʤʬ́ ʧʰʥʮ ( "ʷʥ́ʯʥʬ́ ʫ "

.ʣ̫ ʴ ʺ ʬʬʥʫʩʥhʩʠʩ̋ʥyʧʺ ʷʥ́ʥʡʡʶ ʮ

ʩyʩʧʮʬ̋ ʱ ʧʩʩ̋ʮʤʮy ʩɹʤʩ̋ʥyʧʺ ʷʥ́ʡʩʫy ʥʫʦh

ʤʠʥ́ʺ ʭʲ ʤʮy ʩɹ .ʭʩhʥ̋ʰʫʤ̫ʥɹ̋ ʤʥyʥʁʩʩʤʩʮy ʥʢ

ʤʩʧʥʥyʺ ʠʭʱ ʷʮʬʤʦʫʤyʷʮʡʬʫʥ̋ʠʬʬʣʥʢʬʤʬʥ̡

ʬʫʫʥʬʣʢʩʥʥʫʬʩʤʩʧʥʥy ,ʳ ʥɦʰʩʠʸ ʶ ʩʩʬr ʠʹ ʺ ʥ

.ʸ ʺ ʥʩyʶ ʩʩ̋ʹ

39

תע"ל ומקסום רווחים - דוגמה F)z1,z2(=z1z2נניח כי פונקציית הייצור הינה:

בעיית מינימום העלות הינה:

Min w1z1+w2z2

S.T.

z1z2≥ q

שפתרונה ניתן על ידי פתרון שתי המשוואות:

qzz

ww

zz

21

2

1

1

2

)תנאי ההשקה ומגבלת התפוקה(

מהמשוואה הראשונה מתקבל כי:

qwzw

z

hence

wzw

z

2

111

2

112

40

1תע"ל ומקסום רווחים – דוגמה -

ולכן:

5.05.0

2

1212

5.05.0

1

2211

(,,)

(,,)

qw

wqwwz

qw

wqwwz

ופונקציית ההוצאות מתקבלת מהצבת הפתרון לתוך

w1z1+w2z2פונקציית המטרה

והינה:

5.05.02

5.0121 2(,,) qwwqwwc

הביטוי עבור הרווח של הפירמה שניתן על ידי:

5.05.02

5.012 qwwpq

שואף לאינסוף. q –שואף לאינסוף כש

עקומת ההיצע עבור שלושת תרחישי התשואה

לגודל: ...

41

מה קורה אם מנסים למקסם רווחים ישירות?

ʯ̋ ʩhʭʩʮʣʥ̫ʤʭʩɹʷʹ ʡʥ̡h ʢʤʯʤʩʬʠʺ ʥh̫ ʱ ʮʤʬʫʬ

ʩʬʡʮʭʩʧʥʥyʤʭʥɦʷʮ̋ ʩʩ̡ʡʮ̋ ʥyʩ́ʩʭʢ̡ ʩʢʤʬ

.ʺ ʥʠʶ ʥʤʤ̋ʩʩʁʷʰʥɹʪy ʣyʥʡʲ ʬ

ʥhʩʤ̋ ʥʠʶ ʥʤʤ̋ʩʩʁʷʰʥɹʪy ʣyʡʲ ʮʡʺ ʥhʥyʺ ʩʤʣʧʠ

ʤʬʥ̡ʤʠʥ́ʺ ʬ́ ʭʩyʷʮʡʭʢ̋ ʸ ʣʢʥʮʥʦʤʩʩʁʷʰʥɹ́

ʺ ʥʩhʩʣʮʡʡʥ́ʧʣʩ̫ʴ ʺ ʺ ʷʧʹ ʮʥʦʤʩʩʁʷʰʥɹʥ ,ʬʣʥʢʬ

ʸ ʶ ʥhʭʤʡʬʣʥʢʬʤʬʥ̡ʤʠʥ́ʺ ʭʲ ʭʩɹʰʲ ʬ̡ ʧʥ̫ʩɹʤ

ʭʩyʨɦ ʮɦ ʡʸ ʡʱ ʤ (ʩ̡ʡʨʬʥɹʥhʥʮ̋ ʥʡʸ ʭʩ̋ʩ̡ʬ

.)ʭʩʠʡʤ

ʭʲ ʤʩʢʥʬʥhʫʨy ʥʡʲ ʭʩʧʥʥyʤʭʥɦʷʮ̋ ʩʩ̡ʡʧʥɦʩhʡ

ʠʬʩh́ ʸ ʣɦʩʠʰʺ ʹ ʤʠʸ ʰʬʣʥʢʬʤʬʥ̡ʤʠʥ́ʺ

ʸ ʣɦʤʩʠʰʺ ʭʩʮʩʩ̫ʺ ʮʤʡʤʣʥ̫ʰʤʥ ,ʭʩʮʩʩ̫ʺ ʮ

ʠʬʥʭʩʧʥʥyʭʥʮʩhʩʮ̋ ʣʥ̫ʰʤ́ ʲ ʮʬʤhʩʤʯʥ́ʠʸ ʤ

.ʭʩʧʥʥyʭʥʮʩɦʷʮ

42

מה קורה אם מנסים למקסם רווחים ישירות -1

בניסוח בעיית מקסום הרווחים עבור טכנולוגיה עם

תשואה קבועה לגודל נראה שתנאי הסדר הראשון

מטילים למעשה תנאי על הפרמטרים )מחירי גורמי

הייצור והתפוקה( של הבעייה ואינם מאפשרים

לפתור עבור כמויות של גורמי ייצור ורמות תפוקה.

התנאי על הפרמטרים הינו למעשה התנאי שמחיר

התפוקה שווה לעלות לייצור יחידה.

43

חזרה לדוגמת התק"לF)z1,z2(=z1נחזור לדוגמה עם:

0.25z20.75

בעיית מקסימום הרווחים הינה:

Max p z10.25z2

0.75 - w1z1 - w2z2

שפתרונה ניתן על ידי פתרון שתי המשוואות:

275.0

225.0

1

125.0

275.0

1

75.0

25.0

wzpz

wzpz

( VMPi=wi i=1,2 )

מחלוקת שתי המשוואות הראשונות מתקבל כי:

2

112

2

1

1

2

3

3

wzw

z

hence

ww

zz

הצבה לתוך המשוואה הראשונה גוררת:

44

1חזרה לדוגמה -

75.02

25.01

75.0

1

75.0

2

1175.01

325.0

325.0

wwp

thus

wwzw

pz

כלומר לא ניתן לפתור עבור כמויות גורמי ייצור יחידות והתנאי המתקבל הינו:

75.0

225.0

17548.1 wwp

כלומר מחיר תפוקה שווה לעלות לייצור יחידה.