第六节 带电粒子在匀强磁场中的运动

课标解读

1. 理解带电粒子在 B 和 v 垂直的情况下在匀强磁场中做匀速圆周运动 .

2. 会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期 , 并运用相关规律解答有关问题 .

3. 知道质谱仪和回旋加速器的构造和原理 .

课前自主学习

一､带电粒子在匀强磁场中的运动

1. 沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子 , 在匀强磁场中做匀速圆周运动 , 洛伦兹力的方向始终与速度方向垂直 , 起到了向心力的作用 , 公式 :

2

.mv

qvBr

2. 轨道半径 , 周期mv

rqB

m2

.TqB

二､质谱仪和回旋加速器

1. 质谱仪

(1) 质谱仪是利用电场和磁场控制电荷运动的精密仪器 , 它是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具 , 其结构如图所示 .

(2) 加速 : 带电粒子进入质谱仪的加速电场 , 由动能定理得21.

2qU mv

(3) 偏转 : 带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动 ,

洛伦兹力提供向心力 , 打在照相底片不同的位置 , 在底片上形成若干谱线状细线 , 叫做质谱线 , 每一条谱线对应于一定的质量 , 从谱线的位置就可以知道圆周的半径 , 如果再知道粒子的电荷量 , 就可以算出它的质量 .

2. 回旋加速器

为了探索原子核内部的构造 , 需要高速带电粒子充当微型“炮弹”轰击原子核 , 从而引起原子核内部的变化 , 高速带电粒子需要回旋加速器来加速达到目的 , 其主要由两个D 形盒构成 , 如图所示 .

知识梳理图

课堂互动探究

一､带电粒子在磁场中的运动

带电粒子以一定的初速度 v 进入匀强磁场 , 在只受洛伦兹力的条件下 , 我们讨论三种典型的运动 .

1. 匀速直线运动 : 若带电粒子的速度方向与磁场方向平行( 相同或相反 ), 此时带电粒子所受洛伦兹力为零 , 带电粒子将以入射速度 v 做匀速直线运动 .

2. 匀速圆周运动 : 若带电粒子垂直磁场方向进入匀强磁场 ,

由于洛伦兹力始终和运动方向垂直 , 因此不改变速度的大小 , 但不停地改变速度的方向 , 如果仅受洛伦兹力 , 洛伦兹力在与速度与磁场垂直的平面内没有任何力使带电粒子离开它原来运动的平面 , 所以带电粒子做匀速圆周运动 , 洛伦兹力提供了匀速圆周运动的向心力 .

如下图所示 , 电子以速度 v 垂直磁场方向入射 , 在磁场中做匀速圆周运动 , 设电子质量为 m, 电量为 q, 由于洛伦兹力提供向心力 , 则有 , 得到轨道半径 .①

2vqvB m

r

mvr

qB

由轨道半径与周期的关系得 :

. 周期 ②说明 :① 由公式 知 , 在匀强磁场中 , 做匀速圆周运动的带电粒子 , 轨道半径跟运动速率成正比 .② 由公式 知 ,

在匀强磁场中 , 做匀速圆周运动的带电粒子 , 周期跟轨道半径和运动速率均无关 , 而与比荷 成反比 .

3. 等螺距的螺旋线运动 : 当粒子的速度与磁场有一夹角 θ(θ≠

0° ､ 90° ､ 180°) 时 , 带电粒子将做等螺距的螺旋线运动 .

22 2

mvr mqB

Tv v qB

2 mT

qB

mvr

qB

2 mT

qB

q

m

二､解决带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力做匀速圆周运动的一般方法

在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动规律时 , 着重把握“一找圆心 , 二找半径 三找周期 或时间”的规律 .

,mv

RqB

2 mT

Bq

1. 圆心和半径的确定 : 带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧 , 如何确定圆心是解决问题的前提 , 也是解题的关键 . 首先 ,

应有一个基本的思路 : 即圆心一定在与速度方向垂直的直线上 .

在实际问题中圆心位置的确定极为重要 , 通常有两个方法 :① 已知入射方向和出射方向时 , 可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线 , 两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心 ( 如下图左所示 , 图中 P 为入射点 ,M 为出射点 ).② 已知入射方向和出射点的位置时 , 可以通过入射点作入射方向的垂线 , 连接入射点和出射点 , 作其中垂线 , 这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心 ( 如下图右所示 ,P 为入射点 ,M 为出射点 .)

说明 : 具体问题应具体分析 , 不同题目中关于圆心位置的确定方法不尽相同 , 以上只是给出了确定圆心的最基本的方法 . 圆心确定 , 画出轨迹图 , 由几何关系确定圆周运动的半径 .

2. 时间的确定 : 粒子在磁场中运动一周的时间为 T, 当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 α 时 , 其运动时间可由下式表示 :

T( 或 ).360t

2t T

说明 :① 式 T 中的 α 以“度”为单位 , 式 T 中 α 以“弧度”为单位 ,T 为该粒子做圆周运动的周期 , 以上两式说明转过的圆心角越大 , 所用时间越长 , 与运动轨迹长度无关 .

② 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时 ,转一周所用时间可用公式 确定 ,且从中可以看出粒子转一周所用时间与粒子比荷有关 ,还与磁场有关 , 而与粒子速度大小无关 . 粒子速度大时 , 做圆周运动的轨道半径大 ; 粒子速度小时 , 做圆周运动的轨道半径小 , 但只要粒子质量和电荷量之比一定 ,转一周所用时间都一样 .

360

2t

2 mT

qB

3. 确定带电粒子运动圆弧所对圆心角的两个重要结论 :① 带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角 φ叫做偏向角 ,偏向角等于圆弧轨道 PM对应的圆心角 α, 即 α=φ, 如图所示 .

② 圆弧轨道 PM 所对圆心角 α 等于 PM弦与切线的夹角 (弦切角 )θ 的 2倍 , 即 α=2θ, 如图所示 .

三､回旋加速器

1. 回旋加速器的原理

回旋加速器的工作原理如图所示 ,放在 A0处的粒子源发出一

个带正电的粒子 , 它以某一速度 v0 垂直进入匀强磁场中 ,

在磁场中做匀速圆周运动 ,经过半个周期 , 进入 AA′间的电场中 , 此时电场向上 , 使正粒子在电场中被加速到 v1, 离

开电场 ,又进入了匀强磁场 , 在磁场中做匀速圆周运动 , 速率为 v1,v1>v0, 我们知道在磁场中粒子的轨道半径跟它的速

率成正比 , 因而粒子将做一个半径增大了的圆周运动 ,再经过半个周期粒子又进入 A′A间电场 , 此时使电场向下 , 使

粒子又一次受电场力而加速 , 离开 A′A间电场时速率增大到v2, 如此继续下去 , 粒子每经过电场时都被加速 ,那么粒子

将沿着如图所示的螺旋线回旋下去 , 速率将一步一步的增大 .

2. 回旋加速器的旋转周期

在 AA′ 间加一个交变电场 , 使它的变化周期与粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同 , 粒子在磁场中的周期 与粒子的速率无关 , 这样保证每当粒子经过电场时都被加速 .

2 mT

qB

典例分析

一､带电粒子在磁场中的运动半径和周期的应用

例 1: 质子 (11H) 和 α 粒子 (4

2He) 从静止开始经相同的电势差

加速后垂直进入同一匀强磁场做圆周运动 , 则这两粒子的动能之比 Ek1Ek2=________, 轨道半径之比 r1r2=_____

___, 周期之比 T1T2=________.

1:2 1: 2

1:2

解析 : 粒子在电场中加速时只有电场力做功由动能定理得 :

故 Ek1:Ek2=q1U:q2U=q1:q2=1:2

由 得 又由牛顿第二定律 , 设粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中做圆周运动 :

故圆周半径

21

2qU mv

21

2qU mv 2

,qU

vm

2mv

qvBr

2 1 2mv m qU mUr

qB qB m B q

故 r1:r2

粒子做圆周运动的周期故

1 2

1 2

: :1 2m m

q q

2T

qB

m

1 21 2

1 2

: : 1: 2.m m

T Tq q

名师点拨 : 带电粒子在电场中加速 , 可用动能定理解得它的动能或速度 , 进入同一匀强磁场后 , 做匀速圆周运动 , 可由半径和周期公式得出最后结果 .

[巩固练习 ]

1. 如右图所示 , 一水平导线通以电流 I, 导线下方有一电子 ,

初速度方向与电流平行 , 关于电子的运动情况 , 下述说法中正确的是 ( )

A.沿路径 a 运动 , 其轨道半径越来越大

B.沿路径 a 运动 , 其轨道半径越来越小

C.沿路径 b 运动 , 其轨道半径越来越小

D.沿路径 b 运动 , 其轨道半径越来越大

答案 :A

解析 : 用安培定则判断通电导线形成的磁场在导线下部为垂直纸面向外 , 电子所受洛伦兹力向下 , 且离导线越远磁场越弱 , 洛伦兹力越小 , 由 可知磁感应强度越小 ,

半径越大 , 故 A 选项正确 .

mvR

qB

二､带电粒子在有界磁场中的偏转问题

例 2: 如图所示 , 在 y<0 的区域内存在匀强磁场 , 磁场方向垂直于 xOy 平面并指向纸外 , 磁感应强度为 B, 一带正电的粒子以速度 v0, 从 O 点射入磁场 , 入射方向在 xOy 平面内 , 与 x

轴正向的夹角为 θ, 若粒子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L,

求该粒子的比荷.q

m

解析 : 带正电粒子射入磁场后 , 由于受到洛伦兹力 , 粒子将沿图所示的轨迹运动 , 从 A 点射出磁场 ,OA间的距离为 L, 射出时速度大小仍为 v, 射出方向与 x轴的夹角仍为 θ

由洛伦兹力提供向心力则根据牛顿第二定律

20

0 ,v

qv B mr

①圆弧轨道的圆心位于 OA 中垂线上 , 由几何关系可得

②由①②两式得

0mvr

qB

2

Lrsin

02.

v sinq

m LB

02:v sin

LB

答案

名师点拨 : 解答此类问题的关键是确立粒子圆周运动的圆心 ,

半径和轨迹 ,找圆心的方法是根据粒子进入磁场时的初始条件和射出磁场时的边界条件 . 确定粒子半径要用到几何知识 ,根据边角关系确定 .

2. 在直径为 d 的圆形区域内存在匀强磁场 , 磁场方向垂直于圆面指向纸外 , 一电荷量为 q ､质量为 m 的粒子 , 从磁场区域的一条直径 AC 上的 A 点射入磁场 , 其速度大小为 v0,

方向与 AC 成 α 角 , 若此粒子恰好能打在磁场区域圆周上的 D 点 ,AD 与 AC 的夹角为 β, 如上图所示 .求该匀强磁场的磁感应强度 B 的大小 .

解析 : 首先确定圆心位置 . 过 A 作 AO v⊥ 0,再作 AD 的垂直

平分线 EO 与 AO 交于 O 点 , 则 O 为带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心 . 设 AO=R.(见右图 )

由牛顿运动定律得 , 即而在等腰三角形 AOD 中 ,

( 设∠ DAO=γ)

20

0

mvqv B

R 0mv

BqR

1

2

ADR

cos

在直角三角形 ADC 中 ,AD=dcosβ

又由图中几何关系得 :α+β+γ=π/2

联立上述四式解得 02 ( ).

mv sinB

qdcos

02 ( ):mv sin

qdcos

答案

三､关于回旋加速器的基本应用

例 3: 回旋加速器 D 形盒中央为质子流 ,D 形盒的交流电压为U=2×104 V,静止质子经电场加速后 , 进入 D 形盒 , 其最大轨道半径 R=1 m, 磁场的磁感应强度 B=0.5 T, 质子质量 :1.

67×10-27 kg 问 :

(1) 质子最初进入 D 形盒的动能多大 ?

(2) 质子经回旋加速器最后得到的动能多大 ?

(3) 交流电源的频率是多少 ?

解析 :(1) 粒子在电场中加速 ,根据动能定理得 eU=Ek-0,Ek=e

U=2×104 eV=3.2×10-15 J.

(2) 粒子在回旋加速器的磁场中 ,绕行的最大半径为 R, 则有

解得 :

质子经回旋加速器最后获得的动能为 =1.92×10-12 J.

(3) 7.62×106 Hz.

2mvqvB

R

qBRv

m

2 21 1( )

2 2

qBRE k mv m

m

2 m

1 BqfT

答案 :(1)3.2×10-15 J (2)1.92×10-12 J

(3)7.62×106 Hz

名师点拨 : 回旋加速器把带电粒子在电场和磁场中的应用综合起来 . 也就把力学､电学融为一体 .

[巩固练习 ]

3.1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器 . 其原理如图所示 . 这台加速器由两个铜质 D 形盒 D1、 D2 构成 , 其

间留有空隙 , 下列说法正确的是 ( )

A. 离子由加速器的中心附近进入加速器

B. 离子由加速器的边缘进入加速器

C. 离子从磁场中获得能量

D. 离子从电场中获得能量

解析 : 由 可知 ,随着被加速粒子的速度增大 , 离子在磁场中做圆周运动的轨道半径逐渐增大 , 所以 , 离子必须由加速器的中心附近进入加速器 ,故 A选项正确 ; 离子在电场中被加速 , 使动能逐渐增加 , 在磁场中洛伦兹力对粒子不做功 , 只改变速度的方向 ,故 D选项正确 .

答案 :AD

mvr

qB

四､有关质谱仪的问题

例 4: 如右图所示 , 是一种质谱仪的示意图 , 从离子源 S产生的正离子 ,经过 S1 和 S2之间的加速电场 , 进入速度选择器 ,

P1 和 P2间的电场强度为 E, 磁感应强度为 B1, 离子由 S3 射

出后进入磁感应强度为 B2 的匀强磁场区域 , 由于各种离子

轨迹半径 R 不同 , 而分别射到底片上不同的位置 , 形成谱线 .

(1) 若已知 S1S2间加速电压为 U, 并且磁感应强度 B2, 半径 R

也是已知的 , 则离子的比荷 =________.

(2) 若已知速度选择器中的电场强度 E 和磁感应强度 B1,R 和

B2 也知道 , 则离子的比荷 为 ________.

q

m

q

m

2 22

2U

B R

2 1

E

B B R

(3) 要使氢的同位素氘和氚的正离子经加速电场和速度选择器以相同的速度进入磁感应强度为 B2 的匀强磁场 .( 设进入

加速电场时速度为零 )

A. 若保持速度选择器的 E 和 B1 不变 , 则加速电场 S1S2间的

电压比应为 ________.

B. 它们谱线位置到狭缝 S3间距离之比为 ________.

2:3

2:3

解析 :(1) 由于粒子在 B2区域做匀速圆周运动 , , 这

个速度也就是粒子经加速电场加速后的速度 , 在加速过程中 ,

所以 (2) 在速度选择器中 , 粒子沿直线穿过 ,故 qE=qvB1

E=vB1=

故

2

mvR

qB

21

2qU mv

2 2 2222 2 2

2

2, .

2 2

q B Rq v q U

m U m U m B R

2 1 .qB RB

m

2 1

.q E

m B B R

(3)(A)氘核 21H,氚核 3

1H, 设经加速后二者速度均为 v,经电场

加速 : .

由以上两式得 :

(B) 它们谱线的位置到狭缝 S3 的距离之比实际上就是两种粒

子在磁场中做匀速圆周运动的直径之比 , 也是半径之比 .

2 21 1 1 2 2 2

1 1,

2 2qU m v q U m v

1 1 2

2 2 1

2.

3

U m q

U m q

1

1 1 1 1 2

22 2 2 1

2

2.

3

m v

d R q B m qm vd R m qq B

答案 :(1) (2) (3)2:3 : 2:32 22

2U

B R2 1

E

B B R

名师点拨 : 解决此类问题的关键是弄清楚粒子经历的各个过程 , 然后确定在不同过程中遵循不同的运动规律 , 列出相应的方程 , 粒子在加速电场中的运动 , 一般可根据动能定理列方程 , 粒子在速度选择器中做匀速直线运动 , 可根据平衡方程 qE=qvB, 粒子在磁场中的偏转 , 则根据洛伦兹力提供向心力 , 即

2

.mv

qvBR

课后巩固提升

巩固基础

1. 运动电荷进入磁场后 ( 无其他场 ), 可能做 ( )

A. 匀速圆周运动 B. 匀速直线运动

C. 匀加速直线运动 D. 平抛运动

解析 : 运动电荷如果垂直磁场进入后做匀速圆周运动 , 即 A

正确 ; 如果运动电荷的速度跟磁场平行 , 则电荷做匀速直线运动 , 即 B 正确 .

答案 :AB

2. 在匀强磁场中 , 一个带电粒子做匀速圆周运动 , 如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度 2倍的匀强磁场中做匀速圆周运动 , 则 ( )

A. 粒子的速率加倍 , 周期减半B. 粒子的速率不变 , 轨道半径减半C. 粒子的速率减半 , 轨道半径变为原来的D. 粒子速率不变 , 周期减半

1

4

答案 :BD

解析 : 由 可知 , 磁场加倍半径减半 , 洛伦兹力不做功 , 速率

不变 , 周期减半 ,故 B ､ D选项正确 .

mvR

qB

3. 电子 e 以垂直于匀强磁场的速度 v, 从 a 点进入长为 d ､宽为 L 的磁场区域 ,偏转后从 b 点离开磁场 , 如下图所示 ,

若磁场的磁感应强度为 B,那么 ( )

A. 电子在磁场中的运动时间B. 电子在磁场中的运动时间C. 洛伦兹力对电子做的功是 W=BevL

D. 电子在 b 点的速度值也为 v

dtv

abt

v

解析 : 洛伦兹力对电子不做功 , 故 D 选项正确 , 在磁场中的运动时间 , 由匀速圆周运动的知识可知 B 选项正确 .

答案 :BD

4. 如右图所示 , 在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场 ,

一对正､负电子分别以相同速率沿与 x轴成 30° 角的方向从原点射入磁场 , 则正､负电子在磁场中运动的时间之比为( )

A.1:2 B.2:1 C.1: D.1:13

解析 : 正､负电子在磁场中运动轨迹如图所示 , 正电子做匀速圆周运动在磁场中的部分对应圆心角为 120°, 负电子圆周部分所对应圆心角为 60°, 故时间之比为 2:1.

答案 :B

5. 如右图所示 , 带负电的粒子速度 v 从粒子源 P处射出 , 若图中匀强磁场范围足够大 ( 方向垂直纸面 ), 则带电粒子的可能轨迹是 ( )

A.a B.b

C.c D.d

解析 : 射出方向必与运动轨迹相切 .

答案 :BD

6. 如图所示 ,ab 是一弯管 , 其中心线是半径为 R 的一段圆弧 ,

将它置于一给定的匀强磁场中 , 方向垂直纸面向里 . 有一束粒子对准 a端射入弯管 , 粒子的质量､速度不同 , 但都是一价负粒子 , 则下列说法正确的是 ( )

A. 只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管

B. 只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管

C. 只有质量和速度乘积大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管

D. 只有动能大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管

解析 : 由 可知 , 在相同的磁场 , 相同的电荷量的情况下 ,

粒子做圆周运动的半径决定于粒子的质量和速度的乘积 .

mvR

qB

答案 :C

7.(2009·安徽 ) 如图是科学史上一张著名的实验照片 ,显示一个带电粒子在云室中穿过某种金属板运动的径迹 .云室放置在匀强磁场中 , 磁场方向垂直照片向里 .云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用 . 分析此径迹可知粒子( )

A. 带正电 , 由下往上运动

B. 带正电 , 由上往下运动

C. 带负电 , 由上往下运动

D. 带负电 , 由下往上运动

解析 : 由于金属板的阻挡 , 粒子的动能减小 , 即速度减小 , 粒子穿过金属板后做匀速圆周运动的半径减小 ,故粒子由下向上运动 , 由照片可知 , 粒子向左偏转 ,根据左手定则可以确定粒子带正电 ,故 A选项正确 .

答案 :A

提升能力

8. 在竖直放置的光滑绝缘环中 , 套有一个带负电 -q, 质量为m 的小环 , 整个装置放在如右图所示的正交电磁场中 , 电场强度 , 当小环从大环顶端无初速下滑时 , 在滑过什么弧度时 , 所受洛伦兹力最大 ( )

mgE

q

3. . . .4 2 4

A B C D

解析 : 小圆环 c 从大圆环顶点下滑过程中 , 重力和电场力对小圆环做功 , 当速度与重力和电场力的合力垂直时 ,外力做功最多 , 即速度最大 , 如下图所示 , 可知 C选项正确 .

答案 :C

9. 目前 ,世界上正在研究一种新型发电机叫磁流体发电机 .

如下图所示 ,表示了它的原理 : 将一束等离子体 ( 即高温下电离的气体 ,含有大量带正电和负电的微粒 , 而从整体来说呈中性 ),喷射入磁场 , 磁场中有两块金属板 A ､ B, 这时金属板上就会聚集电荷 ,产生电压 . 如果射入的等离子体的初速度为 v, 两金属板的板长 (沿初速度方向 ) 为 L,板间距离为 d,金属板的正对面积为 S, 匀强磁场的磁感应强度为 B, 方向垂直于离子初速度方向 ,负载电阻为 R, 电离气体充满两板间的空间 , 当发电机稳定发电时 , 电流表的示数为 I.那么板间电离气体的电阻率为 ( )

. ( ) . ( ) . ( ) . ( )S Bdv S BLv S Bdv S BLv

A R B R C R D Rd I d I L I L I

解析 : 磁流体发电机的电动势为 E, 等离子体在 AB板间受洛伦兹力和电场力平衡 , 即 =qvB, 所以 E=dvB, 由闭合电路欧姆定律得 可得由电阻定律则 ρ

Eq

d

,E

IR r

Er R

I ,d

rS

( ) ( ).rS S E S Bdv

R Rd d I d I

答案 :A

10.(2009·广东高考 ) 如图是质谱仪的工作原理示意图 . 带电粒子被加速电场加速后 , 进入速度选择器 . 速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为 B 和 E. 平板 S 上有可让粒子通过的狭缝 P 和记录粒子位置的胶片 A

1A2. 平板 S 下方有磁感应强度为 B0 的匀强磁场 . 下列表述

正确的是 ( )

A. 质谱仪是分析同位素的重要工具B. 速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外C. 能通过狭缝 P 的带电粒子的速率等于D. 粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝 P, 粒子的荷质比越小

E

B

答案 :ABC

解析 : 质谱仪是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具 ,故 A选项正确 ; 速度选择器中电场力和洛伦兹力是一对平衡力 , 即 :qvB=qE,故 根据左手定则可以确定 , 速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外 ,故 B ､ C选项正确 . 粒子在匀强磁场中运动的半径 即粒子的荷质比 由此看出粒子的运动半径越小 , 粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝 P, 粒子的荷质比越大 ,故 D选项错误 .

,E

vB

0

,mv

rqB

0

,q v

m B r

11. 如下图所示 , 正､负电子垂直磁场方向沿与边界成 θ=30°

角的方向射入匀强磁场中 ,求在磁场中的运动时间之比 .

解析 : 首先画出正､负电子在磁场中的运动轨迹如右图所示 ,

上边轨迹为正电子的 , 下边轨迹为负电子的 , 由几何知识知 :

正电子圆弧轨迹所对圆心角 φ1=2θ=60°= , 而负电子的圆周

轨迹所对圆心角 φ2=360°-2θ=300°= , 由 t= T,故 ,

t1:t2=φ1φ2=1:5.

3

5

3

2

1 21 2, ,

2 2t T t T

答案 :1:5

12. 一磁场宽度为 L, 磁感应强度为 B, 如下图所示 , 一电荷质量为 m ､带电荷量为 -q, 不计重力 , 以一速度 ( 方向如图 )

射入磁场 . 若不使其从右边界飞出 , 则电荷的速度应为多大 ?

解析 : 若要粒子不从右边界飞出 , 当达到最大速度时运动轨迹如图 , 由几何知识可求得半径 r, 即 r+rcosθ=L

又 Bqv 所以,1

Lr

cos

2

,mv

r .

(1 )

Bqr BqLv

m m cos

:(1 )

BqL

m cos答案

13. 一回旋加速器用来加速质子 , 设质子轨道的最大半径为 R

=60 cm, 要把质子从静止加速到 Ek=4 MeV 的能量时 ,求 :

(1) 所需磁感应强度 B;

(2) 设两 D 形盒电极间的距离为 d=1 cm, 电压为 U=2×104 V,

其间电场是均匀的 .那么加速到上述能量 , 质子在回旋加速器里运动的时间为多少 ?( 质子质量 m=1.67×10-27 kg;

电子电荷量 e=1.6×10-19 C)

解析 :(1) 质子加速后的动能 Ek= mv2 ①

质子的最大轨道半径 ②由①②式得

=0.48 T.

1

2mvR

Be

27 6 19

19

2

2 1.67 10 4 10 1.6 10

0.6 1.6 10

kmEB

Re

T

(2) 设质子在 D 形盒电极间被加速的次数为 n, 则

质子在 D 形盒内运动时间为

质子在两 D 形盒电极间被加速可以看做匀变速运动 ,故可用平均速度关系式 . 设电极间距离为 d, 质子在 D 形盒电极间运动的总时间为 t2, 则

6

4

4 10200

2 10 kE eV

neU eV

次

27

1 19

23.14 1.67 10

200 1.4 10 52 2 0.48 1.6 10

mT Bet n n s s

2.2

vnd t

式中 , 由此得

质子在回旋加速器里运动时间为t=t1+t2=1.4×10-5 s+1.4×10-7 s ≈1.4×10-5 s.

2.k

Ev

m

2 6 19

27

2 2 200 0.011.4 10 7

2 / 2 4 10 1.6 101.67 10

k

ndt s s

E m

答案 :(1)0.48 T (2)1.4×10-5 s

14.(2010·全国新课标 ) 如图所示 , 在 0≤x≤a ､ 0≤y≤ 范围内有垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场 , 磁感应强度大小为 B.

坐标原点 O处有一个粒子源 , 在某时刻发射大量质量为 m ､电荷量为 q 的带正电粒子 , 它们的速度大小相同 , 速度方向均在 xOy 平面内 , 与 y轴正方向的夹角分布在 0~90°范围内 .

已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 到 a之间 , 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一 .求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

2

a

2

a

(1) 速度的大小 ;

(2) 速度方向与 y轴正方向夹角的正弦 .

解析 :(1) 设粒子的发射速度为 v, 粒子做圆周运动的轨道半径为 R, 由牛顿第二定律和洛伦兹力公式 , 得

①由①式得 ②当 <R<a 时 , 在磁场中运动时间最长的粒子 , 其轨迹是圆心为 C 的圆弧 , 圆弧与磁场的上边界相切 , 如图所示 . 设该粒子在磁场中运动的时间为 t,依题意 , 得∠ OCA=

③

2vqvB m

R

mvR

qB

2

a

4

Tt

2

设最后离开磁场的粒子的发射方向与 y轴正方向的夹角为 α,

由几何关系可得 Rsinα=R- ④Rsinα=a-Rcosα ⑤又 sin2α+cos2α=1 ⑥由④⑤⑥式得 a ⑦由②⑦式得

2

a

62

2R

62 .

2

aqBv

m

(2) 由④⑦式得 sinα= .6 6

10

6 6 6: (1) 2 (2)

2 10

aqBsin

m

答案